知识讲解平面向量全章复习与巩固提高

1、知识讲解平面向量全章复习与巩固提高TPMK standardization office TPMK5AB- TPMK0& TPMK2C- TPMK18LCYOI R 平 面 向 量全章 复 习 与 巩 固编稿：孙永钊审稿：王静伟【学习目标】1. 平面向量的实际背景及基本概念通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义, 理解向量的儿何表示;2. 向量的线性运算(2)通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其儿何意义;通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其儿何意义，以及两个向量共线的含义;(3)了解向量的线性运算性质及其儿何意义.3. 平面向量的基本定理及坐标

2、表示(1)了解平面向量的基本定理及其意义;(2)掌握平面向量的正交分解及其坐标表示;(3)会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算;(4)理解用坐标表示的平面向量共线的条件.4平面向量的数量积通过物理中"功"等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义;(2)体会平面向量的数量积与向量投影的关系;掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算;能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.向量的应用经历用向量方法解决某些简单的平面儿何问题、力学问题与其他一些实际问题的过 程，体会向量是一种处理儿何问题、物理问题等的工具，发展运算能力和解决实际问

3、题的 能力.【知识网络】【要点梳理】要点一：向*的有关概念1.向量:既有大小乂有方向的量叫做向量向量的大小叫向量的模（也就是用来表示向量的有向 线段的长度）.2.向*的表示方法:（1）字母表示法：如NkN等.(2) 儿何表示法：用一条有向线段表示向量如丽，筋等.(3) 坐标表示法：在平面直角坐标系中，设向量05的起点0为在坐标原点，终点A坐标为(兀y)，则(x,y)称为04的坐标，记为0A=(兀y)3相等向量:长度相等且方向相同的向量向量可以自由平移，平移前后的向量相等两向量：与厶 相等，记为a = h.4. 零向量:长度为零的向量叫零向量零向量只有一个，其方向是任意的.5. 单位向量:长度等

4、于1个单位的向量单位向量有无数个，每一个方向都有一个单位向量.6共线向量:方向相同或相反的非零向量，叫共线向量任一组共线向量都可以移到同一直线上规 定：0与任一向量共线注：共线向量乂称为平行向量.7相反向量:长度相等且方向相反的向量.要点二、向*的运算L运算定义运算图形语言符号语言坐标语言加法与减法记 OA = (x：, 71) r OB = (Xayj则 OA + OB = (xi+x2 Yi+y：)而-页二(x?-xi, y：-yi)实数与向量的乘积T记 o = (x, y)则2a =(/lx» 2y)两个向量的数量积记 a = (x.yb = (Xy.y,)> *则 a

5、b =XiX：+yiyu2.运算律加法:®a-i-b = h + a(交换律);(d + Z?)+ c = a + ( + c)(结合律)实数与向量的乘积: + 5) = Aa + Abi ®A+/ia = Aa + pa ；兄(“")=(久“)a两个向量的数量积: a b=h a : ®(Aa) b=a (Ah = A (a b)；T T T T T(a+h) c=a c+b c3运算性质及重要结论(1) 平面向量基本定理：如果是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这个平面内任一向量二 有且只有一对实数人4，使2 =祐+爲&,称人彳+易&

6、;为的线性组令 其中石,a叫做表示这一平面内所有向量的基底; 平面内任一向量都可以沿两个不共线向量石,a的方向分解为两个向量的和，并且这 种分解是唯一的 当基底是两个互相垂直的单位向量时，就建立了平面直角坐标系，因此平面向 量基本定理实际上是平面向量坐标表示的基础向量坐标与点坐标的关系：当向量起点在原点时，定义向量坐标为终点坐标,即若A(x, y),则OA = (x, y):当向量起点不在原点时，向量RS坐标为终点坐标减去起点坐标，即若 A(X" Yi). B(x?, yj,贝J AB = (x：-Xi, y汀yj(2) 两个向量平行的充要条件符号语言：a/h<a=Ah(h=Z

7、)坐标语言为：设非零向量« =*则d 方O(X” yj=/l(x" yJ ,或Xiy2-x：yi=0.(3) 两个向量垂直的充要条件符号语言：丄b O £1b = 0坐标语言：设非零向量4 =(州)乙讯勺亠)，贝9"丄bo 炉2 +川2 =0(4) 两个向量数量积的重要性质:®a' =1 a -即|；|=厅(求线段的长度):丄/? O 4b = 0 (垂直的判断)；b<r A|J|cos a®cos0 = 4r.L (求角度). a b要点诠释:1.向量的线性运算(1) 在正确掌握向量加法减法运算法则的基础上能结合图形进

8、行向量的il算，将数和形有机结合，并能利用向量运算完成简单的儿何证明;（2）向量的加法表示两个向量可以合成，利用它可以解决有关平面儿何中的问题，减法的三角形法则应记住：连接两端（两向量的终点），指向被减（箭头指向被减数）记清法则 是灵活运用的前提2.共线向量与三点共线问题向量共线的充要条件实质上是山实数与向量的积得到的通常用来判断三点在同一条直 线上或两直线平行该定理主要用于证明点共线、求系数、证直线平行等题型问题.用向量证明儿何问题的一般思路:先选择一组基底，并运用平面向量基本定理将条件和结论表示成向量的形式，再通过量的运算来证明.向量在儿何中的应用: 证明线段平行问题，包括相似问题，常用向

9、量平行（共线）的充要条件all h o a =几 b(b H 0) o (x：, yi) = /l (x；r yj 证明垂直问题，常用垂直的充要条件 求夹角问题，利用cos& = <"a 求线段的长度，可以利用1：1=厅 或耳可=応二产乔二7【典型例题】类型一：平面向S的概念例1给出下列命题:若【a = i I r则nJ ； 若A, B, C, D是不共线的四点，则AB = DC是四边形ABCD为平行四边形的充要条件; 若。b = c.则帖8； 4“的充要条件是丨d匸币且&/乙; 若«/h, b/c .则a/C 其中正确的序号是=am ； （2）若 与

10、 平设无为单位向量，（1）若为平面内的某个向量，贝恂行，则方: (3)若a 与 “0 平行且 a = if 则 d=石上述命题中，假命题个数是（A. 0B. 1C. 2D. 3【思路点拨】利用平面向量的相关基本概念和基本知识进行判断。【解析】（1）不正确两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同;正确：T 丽=况， IASHDCI且丽氐，乂 A, B, C, D是不共线的四点，四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形,则AB/DC且I而 1=1 反I,因此，AB = DC.正确；T a=h. A a. S的长度相等且方向相同；乂 b=c . A b.C的长度相等且方向相同

11、，C的长度相等且方向相同，故a = &不正确：当0/灯且方向相反时，即使a = h.也不能得到7=4故a = b 且7/不是5莎的充要条件，而是必要不充分条件:不正确；考虑=0这种特殊悄况；综上所述，正确命题的序号是.(2)向量是既有大小乂有方向的量,"与"绻模相同，但方向不一定相同，故(1)是假命题；若：与石平行，则方与石方向有两种情况：一是同向二是反向，反向时a =，故(2)、(3)也是假命题综上所述，答案选D.【总结升华】本例主要复习向量的基本概念向量的基本概念较多，因而容易遗忘为 此，复习时一方面要构建良好的知识结构，另一方面要善于与物理中、生活中的模型进行

12、 类比和联想向量的概念较多，且容易混淆，故在学习中要分清，理解各概念的实质，注 意区分共线向量、平行向量、同向向量等概念.举一反三:【变式】判断下列各命题正确与否:(1) 0-«=0； 6a=o；(3) 若a=a'C f 则b = c ；（4）若a b=a-c.则"当且仅当«=0时成立; ab）cr（5C对任意a.b.c向量都成立;（6）对任意向量氣有a- = a【解析】（1）错；（2）对；（3）错；（4）错；（5）错；（6）对.【总结升华】通过该题我们清楚了向量的数乘与数量积之间的区别与联系，重点清楚0盲为零向量，而0盲为零.类型二：平面向*的运算法则例

13、2如图所示，已知正六边形ABCDEF, 0是它的中心，若Jc=b.试用4,乙将向量況，5?, 丽，而表示出来.【思路点拨】根据向量加法的平行四边形法则和减法的三角 形法则，用向量来表示其他向量，只要考虑它们是哪些平 行四边形或三角形的边即可【解析】因为六边形ABCDEF是正六边形，所以它的中心0及顶点儿B, C四点构成平行四边形ABCO,所以丽+就=丽+而=而，而=5 + ,匪= = a+h.山于A, B, 0, F四点也构成平行四边形AB0F.所以BF二BO +OF = BdBA = a+b +a=2a + h ,同样在平行四边形BCD0中，丽二就+页二就+而二乙+ （玄+小=刀+2从而=就

14、-丽=口【总结升华】其实在以儿B, G D. E, F及0七点中，任两点为起点和终点，均可用a. 表示，且可用规定其中任两个向量为5, b.列外任取两点为起点和终点，也可用表示.举一反三【变式1】设A、B、C、D、0是平面上的任意:五点，试化简:丽+就+,一页-无 +而一而.【解析】原式=（丽+5r）+ es = z?+前= 15； 原式=(DB + BD) + AC = 0 + AC = AC； 原式=（西-刃）+ （-况-？5）=而-（况 + 可）=而+ 6 = 殛【变式2】设X为未知向量，万、5为已知向量，解方程2x?(5a+3x?45)+- a?3b=0,2【解析】原方程可化为：（2吓

15、）+ （?5护訂）+ （4列3小0,：.x = -a+b .2【总结升华】平面向量的数乘运算类似于代数中实数与未知数的运算法则，求解时兼 顾到向量的性质类型三：平面向量的坐标及运算例3.己知点A(40)”(44)C(2,6),试用向量方法求直线AC和08 (O为坐标原点)交点【解析】设 P(x,y),则 =(X, yX AP = (x- 4, y)因为P是AC与OB的交点，所以P在直线AC上，也在直线上.即得丽面丽走，山点人(4O),B(44)C(26)得，XC = (-2,6),OB = (4,4).得方程组彳3-4)+ 2)u0,解之得(4x-4y =0x = 3丿=3故直线AC *j O

16、B的交点P的坐标为G3) 例4已知a =(4,3), 5=(72),用=12氏亓= 2N+石，按下列条件求实数几的值.(1) nj 丄 n ； (2) mlln ； (3) m =【解析】历=«疝=(4 +入3-2/1), « =沏+ 5 = (7,8)57(1)帀丄亓=>(4+ 2)x7+(3 22)x8 = 0 n 几=一(2) /n/i =>(4 + /l)x8-(3-2A)x7=0=>/l = -；25【总结升华】此例展示了向量在坐标形式下的平行、垂直、模的基本运算.举一反三:【变式】平面内给定三个向量5 = （3.2）Z = （-1.2）E =（

17、4），回答下列问题:求满足5 =+ nc的实数皿，n；若W +妊）/（莎一可，求实数k；若 J 满足 p-c)/(«+),且求 2.【解析】山题意得（3,2）= /H（-t2）+«（4J）.所以'+ 4冒得2in + n = 25/ft =98 ft =9(2) a +転=(3+4匕2 + 約.莎-«=(-5.2),.2x(3 + 4R)_(_5)(2 + R)=(VM=-空1(3) 2-C =(x-4.y-l),a+/? =(2,4)山题意得Z或b=T If4(x-4)-2(>-l) = 0 Ib-4)2+(y-l)-5'侍例 5-已知 =

18、 (1.0歸=(2J).求怖+ 30；（2）当&为何实数时，ka-h与万+ 3方平行，平行时它们是同向还是反向？【解析】（1）因为7 = （1,0）$ = （2）所以« + 3h = （7J）,则|方+ 3力=厅厨=辰(2)ka-ha + 3h =(7,3)因为& 5-h与N + 35平行，所以3伙一2) + 7=0即得 -7_此时k a-b =(jt-2,-l) = (-,-l), a + 3h =(7,3),则a + 3h =-3(Jt«-h),即此时向量a + 3h与辰丿方向相反.【总结升华】上面两个例子重点解析了平面向量的性质在坐标运算中的体现，重点

19、掌 握平面向量的共线的判定以及平面向量模的讣算方法.举一反三:【变式】已知"(3, 4), h=(4f 3) r求X, y的值使(xa+yb )丄7,且| xa+yh I =1【解析】山 5 = (3, 4), 5 = (4, 3).有 x7+yF = (3x+4y, 4x+3y)；乂(xa+yb )丄 a O (xa+yh ) a= 0 O3(3x+4y)+4(4x+3y)=0；即 25x+24y=0乂 I xa+yb I =10 I xa+yb |O ( 3 x+4y) 2 + ( 4 x+3y) '= 1 :整理得 25x"+48xy+25y'= 1

20、即 x(25x+24y)+24xy+25y'= I ;III有 24xy+25y2= 1:将变形代入可得：y二土*再代回得：24X =35和524X =355 厂7【总结升华】这里两个条件互相制约，注意体现方程组思想.类型四：平面向址的夹角问题例6. I方1=1, |h 1=2, “ «+ h.且？丄则向量与5的夹角为（）A. 30" B 60°C. 120°D. 150°【答案】C【解析】设所求两向量的夹角为&C = a+hf/. C* a = ("+ h' a = a +a b = 0即：cos e=-/J

21、 a l"= I « II h I COS& ,I" I" I h所以0 = 120。*【总结升华】解决向量的夹角问题时要借助于公式COS& = Qh，要掌握向量坐标 lal"l形式的运算向量的模的求法和向量间的乘法计算可见一斑对于a.h=ahcos0这个公式的变形应用应该做到熟练，另外向量垂直（平行）的充要条件必需掌握.举一反三【变式】与向量"=的夹角相等，且模为】的向量是)(C)(4313飞f 4 3)I 5'5,22 f厂3/(D)或一【解析】设所求平面向量为C(4 3、I 5勺-时，C =时，cos &

22、lt; a,c >=；2当一亠上时，COSV旅丄I 5 5丿2故平面向嬴与向量讨雪丿的夹角相等.故选B.例7设向量方与h的夹角为0,且2 = (33), 2h-a = (-A).则cos&二【思路点拨】本题主要考查平面向量的坐标运算和平面向量的数量积，以及用平面向 量的数量积处理有关角度的问题.解析】设乙=3 y)，tll2h-rt = 2(x, y)-(3r3) = (2%-S2y-3) = (-14)加-3 = _1.2y 3 = 1=>S二7)cos/ah ="'3xl+3x2»««b角.例&己知两单位向量ab的

23、夹角为120%若c = 2a - h.d = 3h - a,试求？与J的夹【解析】山题意，5=5=1.且a与方的夹角为120°,所以，a-h =诃sl2(r= 2C " =c-c = (2a-h)(2a-h) =4a -4ab +戸=7 ,同理可得 J =y/i317 而 ed = (2a-b)(3b-a) = 7ab-3h2-2a2=217贝畑"=2182例9已知"、h都是非零向量，且"+3&与7a-5b垂直，a-4b 7a-2b垂直，求【思路点拨】把向量垂直转化为数量积为0T联立求ab的关系T应用夹角公式求 结果。【解析】例10已知

24、向量方=(心(")柚(")応(心(尹),吨")，(1)求证：;(2)若存在不等于0的实数k和t, x =(i + (r + 3)ft,y = -ka+tb, 丄y试求jlt时 y的最小值。【思路点拨】(1)可通过求方易=0证明a丄处(2)山匚丄亍得Ly = O,即求出关于k, t的一个方程，从而求出也的代数表达式，消去一个量k,得出关于t的函数，从而求出最小值。【解析】(1)(2)山X丄y得xy = O,即举一反三:【变式】已知(1)求证：7与：一了互相垂直;若ka+ h k a-h伙HO)的长度相等，求0-a.【解析】(1)因为(“ + b) (G /?) =

25、a a b + b a b所以7与：一7互相垂直.(2) ka + h =(kcosa + cos0, Rsina + sin0),k a h = (kcosa -cos0, £ sin a - sin0),所以ka+ h= Jr 2 +2Rcos(0-a)+ 1 ,Ik a- bi= Jk? _2kcos(0- a) +1 ,因为Ik rt+ b=k a-h,所以 +2Acos(0-a)+ I =-2/:cos(0 a)+ 1 有 2k cos(J3 - a) = -2k cos(0 - a),因为k H 0,故cos(0-a) = 0 ,乂因为Ovav0v加 O<0-a&l

26、t;/r,所以p-a=-2【总结升华】平面向量与三角函数在“角”之间存在着密切的联系如果在平面向量与三角函数的交汇处设计考题，其形式多样，解法灵活，极S思维性和挑战性若根据所给的三角式的结构及向量间的相互关系进行处理可使解题过程得到简化，从而提高解题的类型五平面向盘综合问题例II.已知向量U =(X,>)与v=(”2y-x)的对应关系用v = /(帀)表示.证明：对于任意向量及常数nb n恒有f (ma + nh) = ntf (a) + nf h)成立;设« = (lJXh=(tO),求向量/佰)及/(5)的坐标:求使f(c) = (p.q).(P，q为常数)的向量C的坐标【

27、解析】设a = («, 9勺)# =(勺“2)，则翻+ nb =+ “叫+ nby),故 f (tnd+nh) = (nia + nh,+2fib厂ng 一祐J ="?(«2,2«2 -绚)+ (切,乃2 勿)，/. f (ma + nh = ntf (a) +)山已知得 /(«) = (b Dr /(h) = (O, -1)(3)设 c = (x, y),则 f(c) = (y2y-x) = (p,q),/. y=p, x=2p-q,即 c = (2p-q, p) 例12求证：起点相同的三个非零向量b. 3a-2b的终点在同一条直线上.证明：

28、设起点为 0, M=a.OC=3a-2b.贝i = OC-OA=2a-h). AB = -OA=b-a. 疋=-2而,T 犹，丽共线且有公共点A,因此，A, B, C三点共线,即向量d, h , 3d-2h的终点在同一直线上【总结升华】(1)利用向量平行证明三点共线，需分两步完成： 证明向量平行； 说明两个向量 有公共点;(2)用向量平行证明两线段平行也需分两步完成：证明向量平行；说明两向量无公共点例 13已知"2 +/?" = L C- + cP = b 求证:ac + hd< 1.【思路点拨】/ +/异=1,，= 1,可以看作向量X =（G h）fy = （Cr ）的模的平 方，而ae + hd则是；、彳的数量积，从而运用数量积的性质证出该不等式.【证明】设X = («> h)fy = (Cf )则 y = ac + hib 1