探索规律问题

1、探索规律问题 WORD文档使用说明：探索规律问题 来源于PDFWORDPDF转换成WROD 本WOED文件是采用在线转换功能下载而来，因此在排版和显示效果方面可能不能满足您的应用需求。如果需要查看原版WOED文件，请访问这里探索规律问题 文件原版地址: 探索规律问题|PDF转换成WROD_PDF阅读器下载2011-2-101探究型问题是近年中考比较常见的题目， 探究型问题是近年中考比较常见的题目，解 答这类问题的关键是牢固掌握基本知识， 答这类问题的关键是牢固掌握基本知识，加强 “一题多解”、“一题多变”等的训练；需要有 一题多解” 一题多变”等的训练； 较 强的发散思维能力、创新能力。具体做

2、题时， 强的发散思维能力、创新能力。具体做题时， 要仔细分析题目的有关信息、合情推理、联想， 要仔细分析题目的有关信息、合情推理、联想， 并要运用类比、归纳、 并要运用类比、归纳、分类讨论等数学思想全 面考虑问题，有时还借助图形、 面考虑问题，有时还借助图形、实物或实际操 作来打开思路。 作来打开思路。2011-2-10 2规律型问题 探 究 型 问 题 存在型问题 实 验操作题动态型问题2011-2-10 31.条件的不确定性 2.结构的多样性 2.结构的多样性 3.思维的多向性 4.解答的层次性 5.过程的探究性 6.知识的综合性2011-2-10 4规律探索试题是中考中的一棵常青树，一直

3、 受到命题者的青睐，主要原因是这类试题没有固 定的形式和方法，要求学生通过观察、分析、比 较、概括、推理、判断等探索活动来解决问题2011-2-1051数式规律例1：(2009 (2009 2， 5， 4， 7，归纳与猜想湖北十堰) 湖北十堰)观察下面两行数： 8， 16， 32， 11， 19， 35， 64， 67， 根据你发现的规律，取每行数的第10个数，求得 它们的和是（写出最后的结果 写出最后的结果） 2051 写出最后的结果分析：第一行的第10个数是 210 = 1024 ,第二行 分析： 的每个数总比第一行同一位置上的数大3，所以第 每个数总比第一行同一位置上的数大3 每个数总比

4、第一行同一位置上的数大 二行的第10个数是1024+3=1027. 10个数是 二行的第10个数是1024+3=1027.2011-2-10 61数式规律例2：(2009北京)一组按规律排列的式子： (2009北京 北京)归纳与猜想b b b b ? , 2, ? 3, 4 a a a a其中第7个式子是25811（ab0），第n个式子是（n为正整数）本题难点是，变化的部分太多，有三处发生变 化：分子、分母、分式的符号。学生很容易发现各 部分的变化规律，但是如何用一个统一的式子表示 7 出分式的符号的变化规律是难点.2011-2-101数式规律归纳与猜想例3：（09年陕西）观察下列各式： 1&

5、#215;3=122×1； 2×4=222×2； 3×5=322×3； 请你将猜想到的规律用正整数n ( n 1) 方法总结： 横向熟悉代数式、算式的结构； 表示出来：_.2011-2-10纵向观察、对比，研究各式之间的 关系，寻求变化规律； 按要求写出算式或结果。82图形规律2008黑龙江哈尔滨 观察下列图形： 黑龙江哈尔滨) 例4:(2008黑龙江哈尔滨)观察下列图形：归纳与猜想它们是按一定规律排列的，依照此规律， 它们是按一定规律排列的，依照此规律，第20 个图形共有 方法一: 方法一:2011-2-103n个三角形每条边上的 星数相同,

6、再减去 三个顶点的数93(n+1)-3=3n 3(n+1)-3=3n2图形规律2008黑龙江哈尔滨 观察下列图形： 黑龙江哈尔滨) 例4:(2008黑龙江哈尔滨)观察下列图形：归纳与猜想3个图形共有2011-2-1063n9个12它们是按一定规律排列的，依照此规律， 它们是按一定规律排列的，依照此规律，第20102图形规律归纳与猜想例5（2009海南省）用同样大小的黑色棋子按图所示 2009海南省） 海南省 的方式摆图形，按照这样的规律摆下去， 的方式摆图形，按照这样的规律摆下去，则第n个图 形需棋子 枚（用含n的代数式表示）. 的代数式表示）第1个图 第2个图 第3个图方法一:除第一个图形有

7、4枚棋子外,每多一个图形, 方法一:除第一个图形有4枚棋子外,每多一个图形, 枚棋子. 多3枚棋子.43（n1）=3 n+1 +12011-2-10112图形规律归纳与猜想例5（2009海南省）用同样大小的黑色棋子按图所示 2009海南省） 海南省 的方式摆图形，按照这样的规律摆下去， 的方式摆图形，按照这样的规律摆下去，则第n个图 形需棋子 3n+1 枚（用含n的代数式表示）. 的代数式表示）第1个图 第2个图 第3个图方法二:每个图形,可看成是序列数与3 方法二:每个图形,可看成是序列数与3的倍数 又多1 又多1枚棋子 2011-2-10122图形规律归纳与猜想例5（2009海南省）用同样

8、大小的黑色棋子按图所示 2009海南省） 海南省 的方式摆图形，按照这样的规律摆下去， 的方式摆图形，按照这样的规律摆下去，则第n个图 形需棋子 枚（用含n的代数式表示）. 的代数式表示）第1个图 第2个图 第3个图方法三: 方法三:2011-2-10方法总结： 认真观察 研究图案（形） 2n+(n+1)=3n 2n+(n+1)=3n+1 提取数式信息 仿照数式规 13 律得到结论复练1： 复练 ：05 观察右面的图形（每个正方形的边长均为 1）和相应的等式，探究其中的规律： 1 1 1× = 1 ? 2 2 2 2 = 2? 3 3 3 3 3× = 3 ? 4 4 4

9、4 4× = 4 ? 5 5 2× （1）写出第五个等式，并在右边给出的五个正方形上画出与之对应的图示；（2）猜想并写出与第 n 个图形相对应的等式2011-2-10 14复练2： 复练 ：06 观察下面的点阵图形和与之相对应的等式，探究其中的规律： （1）请你在和后面的横线上分别写出相对应的等式： 4×014×13； 4×114×23； 4×214×33； 4 2 1 4 3 3 _；_； （2）通过猜想，写出与第 n 个图形相对应的等式2011-2-10返表一15探究规律题的一般步骤为： 探究规律题的一般步骤为

10、： (1)观察（发现特点） 观察（发现特点） 观察 (2)猜想（可能的规律） 猜想（可能的规律） 猜想 (3)实验（用具体数值代入猜想） 实验（用具体数值代入猜想） 实验2011-2-1016二、填空题1、有一组数：1，2，5，10，17，26，请观察这组数的构 、有一组数： ， ， ， ， ， ， ， 成规律，用你发现的规律确定第8个数为 成规律，用你发现的规律确定第 个数为 50 2、把正整数1，2，3，4，5，按如下规律排列： 、把正整数 ， ， ， ， ， ，按如下规律排列： 1 2，3， ， ， 4，5，6，7， ， ， ， ， 8，9，10，11，12，13，14，15， ， ，

11、， ， ， ， ， ， n-1 按此规律，可知第n行有 个正整数 按此规律，可知第 行有 2 个正整数2011-2-10173、将正数按如图所示的规律排律下去。 将正数按如图所示的规律排律下去。 将正数按如图所示的规律排律下去 若用有序实数对（ 表示第n排 若用有序实数对（n , m)表示第 排，从 表示第 左到右第m个数 个数， 左到右第 个数，如（4，3）表示实数 ， ， ）表示实数9， 则（7，2）表示的实数 ， ）表示的实数_ 23 4、试观察下列各式的规律，然后填空： 、试观察下列各式的规律，然后填空：( x ? 1)( x + 1) = x 2 ? 1( x ? 1)( x 2 +

12、 x + 1) = x 3 ? 1( x ? 1)( x 3 + x 2 + x + 1) = x 4 ? 1 ( x ? 1)( x10 + x 9 + ? + x + 1) = _ 则 x11 ?12011-2-10185、观察下列各式 15 = 1× 1 + 1 ×100 + 5 = 225 （ ）2 2252 = 2 × 2 + 1） 100 + 52 = 625 （ × 352 = 3 × 3 + 1） 100 + 52 = 1225 （ × ? 依此规律，第n个等式（n为正整数）为 (10n+5)2 = n(n+1 

13、15;100+52 )2011-2-10196、如图6，AOB=450，过OA到点 的距离分别 、如图 ， 到点O的距离分别 到点 的点作OA的垂线与 的垂线与OB 为1，3，5，7，9，11，-的点作 的垂线与 ， ， ， ， ， ， 的点作 相交，得到并标出一组黑色梯形， 相交，得到并标出一组黑色梯形，它们的面积分别 为S1、S2、S3、S4-观察图中的规律，求出第 个黑色梯形的面积 观察图中的规律，求出第10个黑色梯形的面积 76 S10=_S4 S2 S1 0 1 3 5 7 9 11 13 图6 S39 16 25 36 , , , 7、一个巴尔末的中学教师成功地从光谱数据， , 、

14、一个巴尔末的中学教师成功地从光谱数据， 5 12 21 32-中得到巴尔末公式，从而打开了光谱奥秘的大门，请你按照这 中得到巴尔末公式，从而打开了光谱奥秘的大门， 中得到巴尔末公式 种规律，写出第n(n1)个数据是 个数据是_. 种规律，写出第 个数据是（ +2)2 （ +2)2 n n 解 ： 或 n(n+4) (n+2)2 ?42011-2-10 202 2 3 3 4 4 5 5 2 2 2 2 9、已知：+ = 2 × ，+ = 3 × ,4 + = 4 × ，+ 2 3 5 = 5 × ?， 3 3 8 8 15 15 24 24 b b 2

15、若10 + = 10 × , 符合前面式子的规律，则a + b = _ 。 109 a a 、填在下面三个田字格内的数有相同的规律，根据此规律， 、填在下面三个田字格内的数有相同的规律，根据此规律， 108 C= 1 5 3 20 3 7 5 56 5 B A C、古希腊数学家把 ， ， ， ， ， ， 、古希腊数学家把1，3，6，10，15，21，叫做三角 ， 形数，根据它的规律，则第100个三角形数与第 个三角形数的 个三角形数与第98个三角形数的 形数，根据它的规律，则第 个三角形数与第 差为 199 2011-2-1021、观察下列各式： 、观察下列各式：1 1 1 1 1

16、1 1 + = 2 , 2 + = 3 , 3 + = 4 ,. 3 3 4 4 5 5请你将发现的规律用含自然数n(n1)的等式表示出 请你将发现的规律用含自然数 的等式表示出 n+ 1 =(n+1) 1 来n+2 n+22011-2-102215、按如下规律摆放三角形： 、按如下规律摆放三角形：则第（ ）堆三角形的个数为_； 则第（4）堆三角形的个数为 ； 堆三角形的个数为_ 第(n)堆三角形的个数为 n+2 堆三角形的个数为2011-2-102316、柜台上放着一堆罐头，它们摆放在的形状见 右图： 第一层有×听罐头； 第二层有×听罐头； 第三层有×听罐头。

17、根据这堆罐头排列规律，第n（n为正整数）层有 n2+3n+2 听罐头（用含n的式子表示）2011-2-1024实验操作型问题是让学生在实际操作 的基础上设计问题，主要有：裁剪、折 的基础上设计问题，主要有： 裁剪、 叠、拼图等动手操作问题，往往与面积、 拼图等动手操作问题，往往与面积、 对称性质相联系； 与画图、测量、猜想、 对称性质相联系；与画图、测量、猜想、 证明等有关的探究型问题。 证明等有关的探究型问题。2011-2-1025实验操作型问题折纸与剪纸主要考查： （1）全等、相似、平移、对称、旋转、翻折等几何 操作变换的若干方法和技巧； (2）综合运用相关知识解决应用问题分割与拼合201

18、1-2-10展开与叠合26动手操作型的折纸与剪纸，图形的分割与拼合、几何体 的展开与叠合，几乎触及了每份试卷，从单一的选择、填空， 到综合性较强的探索猜想、总结规律，判断论证存在与否， 以及分类讨论等综合题，几乎无处不在1.基础题型 1.基础题型2011-2-10271.折纸问题 1.折纸问题操作与探究基础 题型例6（2008泰州）如图，把一张长方形纸片对折，折痕为AB， 再以AB的中点O为顶点把平角AOB三等分，沿平角的三等分 线折叠，将折叠后的图形剪出一个以O为顶点的等腰三角形， 那么剪出的等腰三角形全部展开铺平后得到的平面图形一定 是（ ）解题策略1 重过程 折 解题策略1：重过程“折”

19、A正三角形 C正五边形2011-2-10B正方形 D正六边形 :看清步骤，仔细操作. 温馨提示: 温馨提示 看清步骤，仔细操作.28温馨提示:带齐工具。 温馨提示:带齐工具。试一试： 试一试：复练（08山东）：将一正方形纸片按下列顺序折叠 山东）：将一正方形纸片按下列顺序折叠， 复练（08山东）：将一正方形纸片按下列顺序折叠， 然后将最后折叠的纸片沿虚线剪去上方的小三角 C 将纸片展开，得到的图形是（ 形将纸片展开，得到的图形是（ ）2011-2-10ABCD29.拼图问题操作与探究基础 题型顺义一模）如图1 ABC是直角三角形 是直角三角形， 例7（08 顺义一模）如图1，ABC是直角三角形

20、， 如果用四张与ABC全等的三角形纸片恰好拼成 如果用四张与ABC全等的三角形纸片恰好拼成 一个等腰梯形，如图2，那么在RtABC中， 一个等腰梯形，如图2 那么在RtABC中 RtAC BC 的值是方法二: 观察角度, 两个较小的锐 2011-2-10 角的和等于较大的锐角方法一: 观察边长,两条较短的直角 边的和等于斜边的长 30.拼图问题操作与探究基础 题型例8：（08常州）如图,这是一张等腰梯形纸片,它的 ：（08常州）如图,这是一张等腰梯形纸片, 08常州 上底长为2,下底长为4,腰长为2,这样的纸片共有5 上底长为2,下底长为4,腰长为2,这样的纸片共有5张. 2,下底长为4,腰长

21、为2,这样的纸片共有 打算用其中的几张来拼成较大的等腰梯形, 打算用其中的几张来拼成较大的等腰梯形,那么你能 拼出哪几种不同的等腰梯形?分别画出它们的示意图, 拼出哪几种不同的等腰梯形?分别画出它们的示意图, 并写出它们的周长. 并写出它们的周长.2 2 42011-2-10 312.拼图问题基础 题型2 22 34 2 4 2202011-2-1022324.网格问题 4.网格问题操作与探究基础 题型例10（08年石景山一模）如图，在由12个边长都为1 且有一个锐角为60°的小菱形组成的网格中，点P是 其中的一个顶点，以点P为直角顶点作格点直角三角 形（即顶点均在格点上的三 角形）

22、，请你写出所有可能 的直角三角形斜边的 长_.1 22011-2-10334.网格问题 4.网格问题操作与探究基础 题型例10（08年石景山一模）如图，在由12个边长都为1 且有一个锐角为60°的小菱形组成的网格中，点P是 其中的一个顶点，以点P为直角顶点作格点直角三角 形（即顶点均在格点上的三 角形），请你写出所有可能 的直角三角形斜边的 长_.1 2评析：这类题型主要以学生熟悉的、感兴趣的图形为背景，提供观察和操作的机会，让学生通过动手操作，亲自发现结果的准确性， 评析：这类题型主要以学生熟悉的、感兴趣的图形为背景，提供观察和操作的机会，让学生通过动手操作，亲自发现结果的准确性，

23、在思想 和行动上逐步消除理论和实践之间的阻隔网格试题具有操作性，趣味性，体现了“在玩中学，在学中思，在思中得”的课标理念 和行动上逐步消除理论和实践之间的阻隔网格试题具有操作性，趣味性，体现了“在玩中学，在学中思，在思中得”的课标理念2011-2-10342.综合题型 2.综合题型动手操作型试题是指给出操作规则， 动手操作型试题是指给出操作规则，在操作过程 中发现新结论，自主探索知识的发展过程； 中发现新结论，自主探索知识的发展过程；它为解题 者创设了动手实践，操作设计的空间，考察了学生的 者创设了动手实践，操作设计的空间， 数学实践能力和创新设计才能 数学实践能力和创新设计才能2011-2-

24、1035题型一： 题型一： 画图与拼图操作与探究综合 题型北京）请阅读下列材料: 例11（2006 北京）请阅读下列材料 （问题: 现有5个边长为 的正方形，排列形式如图1, 个边长为1的正方形 问题 现有 个边长为 的正方形，排列形式如图 请把它们分割后拼 接成一个新的正方形要求：画出分割线并在正方形网格图（ 接成一个新的正方形要求：画出分割线并在正方形网格图（图中每个小 正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形 正方形的边长均为 ）中用实线画出拼接成的新正方形 小东同学的做法是: 设新正方形的边长为x（ 小东同学的做法是 设新正方形的边长为 （x >0）. 依题意，割补前后

25、） 依题意， 图形面积相等， 图形面积相等，有x2=5,解得 x = 5由此可知新正方形的边长等于两个小正 解得 方形组成的矩形对角线的长. 于是，画出如图2所示的分割线 拼出如图3所 所示的分割线, 方形组成的矩形对角线的长 于是，画出如图 所示的分割线 拼出如图 所 示的新正方形 示的新正方形 请你参考小东同学的做法， 请你参考小东同学的做法，解 决如下问题: 决如下问题图1 图2现有10个边长为 的正方形 排列形式如图4, 现有 个边长为1的正方形，排列形式如图 请把它们分割后拼接成一 个边长为 的正方形， 个新的正方形要求： 在图4中画出分割线 并在图5的正方形网格图 中画出分割线,

26、的正方形网格图（ 个新的正方形要求： 在图 中画出分割线 并在图 的正方形网格图（图中 每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形 每个小正方形的边长均为 ）中用实线画出拼接成的新正方形 说明：直接画出图形，不要求写分析过程. 说明：直接画出图形，不要求写分析过程图32011-2-10图 图36小东同学的做法是： 小东同学的做法是： 设新正方形的 边长为x(x>0). 依题意，割补前后图形的 依题意， 边长为 面积相等， 解得x= 5 . 由此可知 面积相等，有x2=5,解得 解得 新正方形的边长等于两个小正方形组成的矩 形对角线的长. 于是，画出如图 所示的分 于是，画出如

27、图2所示的分 形对角线的长 割线，如图3所示的新正方形 所示的新正方形. 割线，如图 所示的新正方形2011-2-10再现操作情境37小东同学的做法是： 小东同学的做法是： 设新正方形的 边长为x(x>0). 依题意，割补前后图形的 依题意， 边长为 面积相等， 面积相等，有x2=5, 解得 10 解得x= 5 . 由此 10 可知新正方形的边长等于两个小正方形组成 的矩形对角线的长. 于是，画出如图4所示 的矩形对角线的长 于是，画出如图 所示 理清操作步骤 的分割线， 如图5所示的新正方形 所示的新正方形. 的分割线， 如图 所示的新正方形发现变化， 发现变化， 类比迁移2011-2

28、-1038小东同学的做法是： 小东同学的做法是： 设新正方形的 边长为x(x>0). 依题意，割补前后图形的 依题意， 边长为 面积相等， 面积相等，有x2=5, 解得 10 解得x= 5 . 由此 10 可知新正方形的边长等于两个小正方形组成 的矩形对角线的长. 于是，画出如图4所示 的矩形对角线的长 于是，画出如图 所示 理清操作步骤 的分割线， 如图5所示的新正方形 所示的新正方形. 的分割线， 如图 所示的新正方形发现变化， 发现变化， 类比迁移析解： 析解：本例是将矩形分割后拼成正方形，而试题又提供了拼接方法， 解决这类问题除要有平时的分割和拼接经验外，还要密切关注 试题中的阅

29、读材料2011-2-1039题型二： 题型二： 折叠与变换?透过现象看本质: 透过现象看本质:综合 题型例12（08北京） 已知等边三角形纸片的边长为8，D为AB边 12（08北京） 已知等边三角形纸片的边长为8 北京 AB边 上的点，过点D DGBC交AC于点G DEBC于点E 过点G 上的点，过点D作DGBC交AC于点GDEBC于点E，过点G作 于点 于点 GFBC于 GFBC于F点，把三角形纸片ABC分别沿DG,DE,GF按图1所示方 把三角形纸片ABC分别沿DG,DE,GF按图1 ABC分别沿DG,DE,GF按图 式折叠， A,B,C分别落在点A，B，C处 若点A， 式折叠，点A,B,

30、C分别落在点A，B，C处若点A， 分别落在点A A B，C在矩形DEFG内或其边上，且互不重合，此时 B，C在矩形DEFG内或其边上，且互不重合， 在矩形DEFG内或其边上 我们称ABC（即图中阴影部分）为“重叠三角形” 我们称ABC（即图中阴影部分） 重叠三角形”折 叠轴 实质 对 称402011-2-10题型二： 题型二： 折叠与变换综合 题型（1）若把三角形纸片ABC放在等边三角形网格中（图 中每个小三角形都是边长为1的等边三角形），点 A,B,C,D恰好落在网格图中的格点上如图2所示， 请直接写出此时重叠三角形ABC的面积_；观察图形可知: 重叠三角形是 边长为2的等边 三角形2011

31、-2-10 41题型二： 题型二： 折叠与变换综合 题型（2）实验探究：设AD的长为m，若重叠三角形ABC存在 试用含m的代数式表示重叠三角形ABC的面积，并写 出m的取值范围（直接写出结果，备用图供实验，探究用）m 8-m m 8-2m8-2m>08 ? 2m 8 3评析：本题设计精巧，颇具新意，是以学生喜闻乐见的“折纸”为背景，展示了数学的丰富内涵，材料鲜活、亲切，表述简明直观。本题的另一巧 妙之处在于构成网格的图形是正三角形，令人耳目一新。第一问折叠是轴对称性质的应用，应注意折叠中出现的不变量；第二问体现了由 特殊到一般的认知规律，在直观操作的基础上，将直觉与简单推理相结合，考察了

32、学生的建模能力2011-2-1042题型二： 题型二： 折叠与变换综合 题型例13（08浙江）已知直角梯形纸片OABC在平面直角坐标系中 13（08浙江） 浙江 的位置如图所示，四个顶点的坐标分别为O(0，0)，A(10，0) 2 ，B(8， 3 )，C(0，2 3 )，点T在线段OA上(不与线段端点重 合)，将纸片折叠，使点A落在射线AB上(记为点A)，折痕经 过点T，折痕TP与射线AB交于点P，设点T的横坐标为t，折叠 后纸片重叠部分(图中的阴影部分)的面积为S； (1)求OAB的度数，并求当点A在线段AB上时，S关于t的 函数关系式； (2)当纸片重叠部分的图形是四边形时，求t的取值范围

33、； (3)S存在最大值吗？若存在，求出这个最大值，并求此时t 的值；若不存在，请说明理由评析： 这是一道翻折实验题，可以让学生在亲手操作中学习知识，充分考查学生的作图能力、空间想象能力和探索能力。 也可利用课件演示几个关键点2011-2-1043解题策略2 重结果 解题策略2：重结果“叠” 叠 心得：先标等量，再构造方程。 心得：先标等量，再构造方程。 折叠问题中构造方程的方法： 折叠问题中构造方程的方法： 把条件集中到一Rt Rt 根据勾股定理得方程。 （1）把条件集中到一Rt中，根据勾股定理得方程。 寻找相似三角形，根据相似比得方程。 （2）寻找相似三角形，根据相似比得方程。2011-2-

34、1044轴对称 质 本 折 折叠问题 精 髓 方程思想 重结果对称性叠利用Rt 利用 利用 利用2011-2-1045题型三： 题型三： 旋转与探索实验与推理综合 题型例14（06顺义二模）把两个全等的等腰直角板ABC和OPQ叠放在一起， 14（06顺义二模）把两个全等的等腰直角板ABC和OPQ叠放在一起， 顺义二模 ABC 叠放在一起 如图1 且使三角板OPQ的直角顶点O与三角板ABC的斜边中点重合 如图1，且使三角板OPQ的直角顶点O与三角板ABC的斜边中点重合 OPQ的直角顶点 ABC的斜边中点重合 现将三角板OPQ绕点O按顺时针方向旋转（ 现将三角板OPQ绕点O按顺时针方向旋转（旋转角

35、 OPQ绕点 ），四边形CDOE是旋转过程中两三角板的重叠部 四边形CDOE 0° < < 90°），四边形CDOE是旋转过程中两三角板的重叠部 分（如图2，图3所示），已知两个三角板的直角边长均为4 如图2 所示），已知两个三角板的直角边长均为4 ），已知两个三角板的直角边长均为 探究：（1 在上述旋转过程中，线段OD与OE之间有怎样的数量关 探究：（1）在上述旋转过程中，线段OD与OE之间有怎样的数量关 ：（ OD 系,以图2为例证明你的猜想. 以图2为例证明你的猜想.A O E C P图1 满足条件A P O C图2A E O BB QPD QBC QD图

36、32011-2-1046题型三： 题型三： 旋转与探索实验与推理例 15（06 河北） （ 河北） 如图 131，一等腰直角三角尺 GEF 的两条直角边与正方形 ABCD 的两条边分别重合 ， 在一起 保持不动， 在一起现正方形 ABCD 保持不动，将三角尺 GEF 绕斜边 EF 的中点 O（点 O 也是 BD 中 （ 按顺时针方向旋转 点）按顺时针方向旋转 （1）如图 132，当 EF 与 AB 相交于点 M，GF 与 BD 相交于点 N 时，通过观察或测 ） ， ， 长度， 满足的数量关系，并证明你的猜想； 量 BM，FN 的长度，猜想 BM，FN 满足的数量关系，并证明你的猜想； ， ，

37、 （2）若三角尺 GEF 旋转到如图 133 所示的位置时，线段 FE 的延长线与 AB 的延长 ） 所示的位置时， （1） 线相交于点 M，线段 BD 的延长线与 GF 的延长线相交于点 N，此时， ）中的 ， ，此时， （ 猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由 猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由F D( F ) O G A( G ) 图 1312011-2-10N C D F O O E CCD NB( E )AM B E 图 132A G 图 133BM47【点评】以上两题都是通过三角板的旋转来构造探索性问题，学生在探 以上两题都是通过三角板的旋转来构造探索

38、性问题， 以上两题都是通过三角板的旋转来构造探索性问题 索过程中，可以表现出自己在从事观察、实验、数学表达、 索过程中，可以表现出自己在从事观察、实验、数学表达、猜 想、证明等数学活动方面的能力此题关注了学生认识数学对 证明等数学活动方面的能力 象的过程与方法 象的过程与方法 为了考查和培养学生的创新思维能力，中考试题中也越来 为了考查和培养学生的创新思维能力， 越多地引入了开放性问题，使学生通过对开放性试题的解答， 越多地引入了开放性问题，使学生通过对开放性试题的解答， 亲自经历做数学的过程，加深学生对数学知识的认识和理解 亲自经历做数学的过程，加深学生对数学知识的认识和理解 这也对我们今后

39、的教学的方向性起着导向作用 这也对我们今后的教学的方向性起着导向作用2011-2-1048题型三： 题型三： 旋转与探索实验与推理综合 题型08义乌 如图1 义乌） 是正方形， 例16 （08义乌）如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一 不重合) 个动点( 个动点(点G与C、D不重合)，以CG为一边在正方形ABCD外作正 BG， 方形CEFG，连结BG，DE我们探究下列图中线段BG、线段DE的 长度关系及所在直线的位置关系： 长度关系及所在直线的位置关系： 猜想如图1 （1）猜想如图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的 位置关系； 位置关系； 将图1 按顺时针(或逆时针) 将

40、图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转 任意角度，得到如图2 如图3情形请你通过观察、 任意角度，得到如图2、如图3情形请你通过观察、测量等方 法判断中得到的结论是否仍然成立,并选取图2 法判断中得到的结论是否仍然成立,并选取图2证明你的判 断2011-2-1049题型三： 题型三： 旋转与探索实验与推理综合 题型（2）将原题中正方形改为矩形（如图46），且AB=a，BC=b，CE=ka， CG=kb (ab，k0)，第(1)题中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图5为例简要说明理由评析： 本题考查学生探索知识、发现知识、应用知识的综合创新能力。学生在探究时的猜想一

41、般来说都是一些可预见的结果，如：大小关系一般是相等或 和差相等，平面内两直线关系一般是平行、垂直等。因此，学生的猜想可有一个大方向。同时，此类题型由于条件的变化，其探索过程也由简到难， 可运用类比的方法依次求出，从而使学生在身临数学的情境中潜移默化，逐渐感悟到数学思维的力量。（3）在第(2)题图5中，连结DG、BE，且a=3，b=2，1 k= ，求 BE 2 + DG 2 的值 2011-2-10 250题型三： 题型三： 旋转与探索综合 题型【点评】这些试题均体现新课标所倡导的“操作猜想 点评】 探究证明”理念。每题在课本中均能找到落脚点，但 改变了过去直接要求学生对命题证明的形式，而是按照

42、： “给出特例猜想一般推理论证再次猜想”要求 呈现，这对考查学生的创新意识是十分有益的，对教学也起 到了正确的引导作用2011-2-1051存在性探索问题是指在某种题设条件下， 存在性探索问题是指在某种题设条件下，判 断具有某种性质的数学对象是否存在的一类问题 断具有某种性质的数学对象是否存在的一类问题 这类问题的知识覆盖面较广，综合性较强， 这类问题的知识覆盖面较广，综合性较强，题意 构思非常精巧，解题方法灵活，对学生分析问题 构思非常精巧，解题方法灵活， 和解决问题的能力要求较高， 和解决问题的能力要求较高，是近几年来各地中 考的“热点”。 考的“热点”2011-2-10这类题目解法的一般

43、思路是： 假设存在推理论证得出结 论。若能导出合理的结果，就 做出“存在”的判断，导出矛 盾，就做出不存在的判断。52解决的方法 主要是借助于 构造方程“存在性”问题大体可分为两类： 存在性”问题大体可分为两类： 存在性 1由数量关系确定的“存在性”问题 由数量关系确定的“存在性” （即要找的是满足一个“特殊”数量方面的要求） 即要找的是满足一个“特殊”数量方面的要求） 2由位置关系确定的“存在性”问题 由位置关系确定的“存在性” （即要找的是满足一个“特殊”位置方面的要求） 即要找的是满足一个“特殊”位置方面的要求）解决的方法 主要是借助于构 造基本图形2011-2-10 53解决此类问题的

44、关键是将运动的 几何元素当作静止来加以解答，即“化 动为静”的思路；并能从相对静止的瞬 间清晰地发现图形变换前后各种量与 量之间的关系，通过归纳得出规律和 结论，并加以论证.2011-2-1054例17： （06顺义一模）已知，如图，ABC中，AB=6， 17： AC=8，M为AB上一点（M不与点A、B重合），MNBC交 AC于点N. （1）当AMN的面积是四边形MBCN面积的2倍时，求AM的长； （2）若A=90°，在BC上是否存在点P，使得MNP为等腰 直角三角形？若存在请求出MN的长；若不存在，请说 明理由.M A NB2011-2-10C552 例18：（08大兴二模）已知,

45、抛物线 y = ax + bx + c 18：过点A(-3,0),B(1,0), C (0, 3 ) ，此抛物线的顶点为D. （1）求此抛物线的解析式； （2）把ABC绕AB的中点M旋转180°，得到四边形AEBC. 求E点的坐标； 试判断四边形AEBC的形状，并说明理由 （3）试探求：在直线BC上是否存在一点P，使得PAD的周长 最小，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理 由2011-2-1056动态探究题能够真实的考查学生的知识水 平、理解能力，有较好的区分度，具有较好的 理解能力，有较好的区分度， 选拔功能；同时，依托图形的变化（动点、 选拔功能；同时，依托图形的变化（

46、动点、动 线段、动图问题），能很好地考查学生学习数 线段、动图问题），能很好地考查学生学习数 ）， 学的探究能力和综合素质，体现开放性。 学的探究能力和综合素质，体现开放性。 主要以中档题与综合题形式出现， 主要以中档题与综合题形式出现，有时也会 以选择题形式出现。 以选择题形式出现。2011-2-1057题型一： 题型一： 点动型探索 例19综合 题型解题策略1 化动为“ 解题策略1：化动为“静”分析：前两问利用相似三角形或者三角函数等知识可解决， 分析 ：前两问利用相似三角形或者三角函数等知识可解决， 第（3）问是一个点在线上运动问题，需要先探索点P使 PQR为等腰三角形的可能性，这时应分

47、类讨论，抓住 为 为等腰三角形的可能性， 分类讨论， 为等腰三角形的可能性 这时应分类讨论 抓住PQ为 等腰三角形的腰或底分别求解，注意x的取值范围 的取值范围 等腰三角形的腰或底分别求解，注意 的取值范围2011-2-10 58题型一： 题型一： 点动型探索 例19综合 题型略解（ ） 得到DH= 略解（1）由BC=10,BD=3,BHDBAC 得到2011-2-1059题型一： 题型一： 点动型探索综合 题型解题策略2 分类画出图形 解题策略2：分类画出图形综上所述，当x为或6或时，PQR为等腰三角形 综上所述， 为 或 或 时 为等腰三角形 为等腰三角形2011-2-10 60题型一：

48、题型一： 点动型探索小结一要注意在单点运动变化的过程中，哪些图形（ 一要注意在单点运动变化的过程中，哪些图形（如 线段、三角形等）随之运动变化，即确定整个单点运动 线段、三角形等）随之运动变化， 变量和不变量 变化过程中图形中的变量和不变量 变化过程中图形中的变量和不变量如本题中线段PQ和 PQR是两个不变量，线段BQ、QR是两个变量，以及 是两个不变量， BQ、 是两个变量， PQR的形状也在变化 的形状也在变化几何知识， 二要运用相应的几何知识 二要运用相应的几何知识，用单点运动引起的某一 表示图形中其它的变量 图形中其它的变量 变量x，表示图形中其它的变量如本题中运用RQC ABC ，用

49、变量x表示变量y 三要结合具体问题，建立方程或函数等数学模型， 三要结合具体问题，建立方程或函数等数学模型， 达到解决问题的目的如本题中， 达到解决问题的目的如本题中，假设PQR为等腰三 为等腰三 角形，则分PQ=PR,QP=QR,RP=RQ三种情况建立相等关系， PQ=PR,QP=QR,RP=RQ三种情况建立相等关系 角形，则分PQ=PR,QP=QR,RP=RQ三种情况建立相等关系， 列出方程求解 列出方程求解2011-2-10 61题型二： 题型二： 线动型探索综合 题型例20：已知：如图，AB是O的一条弦，点C为AB的中点，CD是 20： O的直径，过C点的直线l交AB所在直线于点E，交

50、O 于点F. (1)判断图中CEB与FDC的数量关系，并写出结论； (2)将直线l绕C点旋转(与CD不重合)，在旋 转过程中，E点、F点的位置也随之变化， 请你在下面两个备用图中分别画出l在不 同位置时， 予证明.2011-2-10 62使(1)的结论仍然成立的图形，标上相应字母，选其中一个图形给题型三： 题型三： 图动型探索综合 题型例 21 07 河北） （ 河北） 在ABC 中，AB=AC，CGBA 交 BA 的延长线于点 G一等腰直角三角尺按如 ， 所示的位置摆放， 图 15-1 所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为 F，一条直角边与 AC 边在一条直线 ， G F 另一条直角边恰好经

51、过点 上，另一条直角边恰好经过点 B A 中请你通过观察、 （1）在图 15-1 中请你通过观察、测量 BF 与 CG 的 ） 长度， 满足的数量关系， 长度，猜想并写出 BF 与 CG 满足的数量关系， B 然后证明你的猜想； 然后证明你的猜想； C 所示的位置时， （2）当三角尺沿 AC 方向平移到图 15-2 所示的位置时， ） 三角尺沿 图 15-1 G 边在同一直线上， 一条直角边仍与 AC 边在同一直线上，另一条 F A 直角边交 BC 边于点 D，过点 D 作 DEBA 于 ， 点 E此时请你通过观察、测量 DE、DF 与 CG 此时请你通过观察、 、 E 长度， 的长度，猜想并写出 DEDF 与 CG 之间满足 C B D 的数量关系，然后证明你的猜想； 的数量关系，然后证明你的猜想