【KS5U解析】安徽省滁州市定远中学2019-2020学年高二下学期第六次素质检测数学（理）试题 Word版含解析

1、定远中学20192020学年高二年级第六次素质检测理科数学试题一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）1. 已知复数z（1+2i）（1+ai）（ar），若zr，则实数a（ ）a. b. c. 2d. 2【答案】d【解析】【分析】化简z（1+2i）（1+ai）=，再根据zr求解.【详解】因为z（1+2i）（1+ai）=，又因为zr，所以，解得a-2.故选：d【点睛】本题主要考查复数的运算及概念，还考查了运算求解的能力，属于基础题.2. 已知椭圆满足条件：成等差数列，则椭圆离心率为( )a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】根据满足条件成等差数列可得椭圆为,求出再求椭圆的离心

2、率即可.【详解】,椭圆为,得,又,.则椭圆离心率为，故选b.【点睛】一般求离心率有以下几种情况：直接求出，从而求出;构造的齐次式，求出;采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;根据圆锥曲线的统一定义求解3. 设随机变量，则等于（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】由二项分布概率公式直接求得结果.【详解】由二项分布概率公式可得：故选：【点睛】本题考查二项分布概率的求解问题，属于基础题.4. 已知在的展开式中，各项系数之和与二项式系数之和的等差中项是528，则展开式中二项式系数最大的项为（ ）a. 与b. 与c. 与d. 与【答案】a【解析】【分析】根据题意，列出关于的方程，求

3、出的值，再利用展开式的通项公式求出其系数的最大项【详解】因为各项系数之和与二项式系数之和的等差中项是528，所以，即，解得，故展开式中第3项和第4项的二项式系数同时取得最大值，又，故选：a.【点睛】本题考查二项式系数的概念及二项式定理，考查运算求解能力，考查数学运算核心素养，属于中档题.5. 某产品的广告费用万元与销售额万元的统计数据如下表：广告费用（万元）2345销售额（万元）264954根据上表可得回归方程，则为（ ）a 36b. 37c. 38d. 39【答案】d【解析】由回归方程的性质，线性回归方程过样本中心点，则： ，解得： .本题选择d选项.6. 下列等式不正确的是（ ）a. b.

4、 c. d. 【答案】a【解析】【分析】根据排列和组合公式求解即可.【详解】根据组合公式得，则a错误；根据排列公式得，则b正确；根据排列公式得，则c正确；根据组合公式得即，则d正确；故选:a【点睛】本题主要考查了排列和组合公式的应用，属于中档题.7. 某程序框图如图所示，执行该程序，若输入的p为24，则输出的n，s的值分别为（ ）a. ，b. ，c. ，d. ，【答案】b【解析】【分析】由已知中的程序框图及已知中输入，可得：进入循环的条件为，即s0，1，2，3，模拟程序的运行结果，即可得到输出的，值【详解】开始时，；此时，退出循环，故最后输出的，值分别为，.故选：b.【点睛】本题考查根据框图循

5、环语句结构求输出值，属于简单题.8. 如图，已知，则等于（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】依题意建立直角坐标系，根据已知角，可得点b、c的坐标，利用向量相等建立关于m、n的方程，求解即可【详解】以oa所在的直线为x轴，过o作与oa垂直的直线为y轴，建立直角坐标系如图所示：因为，且，a（1，0），b（），又令，则=，=7，又如图点c在aob内，=，sin=,又，c（），（m，nr），（）=（m,0）+（）=(m，）即 m，解得n=，m=，故选a【点睛】本题考查了向量的坐标运算，建立直角坐标系，利用坐标解决问题是常用的处理向量运算的方法，涉及到三角函数的求值，属于中档题9.

6、已知函数，若是的导函数，则函数的图象大致是（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】先求导数，再利用二次求导研究导函数零点以及对应区间导函数符号，即可判断选择.【详解】因此当时，；当时，；当时，；故选：a【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性以及零点，考查基本分析判断能力，属中档题.10. 天干地支，简称为干支，源自中国远古时代对天象的观测.“甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸”称为十天干，“子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥”称为十二地支.干支纪年法是天干和地支依次按固定的顺序相互配合组成，以此往复，60年为一个轮回.现从农历2000年至2019年共20个年份中

7、任取2个年份，则这2个年份的天干或地支相同的概率为（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】利用古典概型概率计算方法分析出符合题意的基本事件个数,结合组合数的计算即可出求得概率.【详解】20个年份中天干相同的有10组（每组2个），地支相同的年份有8组（每组2个），从这20个年份中任取2个年份，则这2个年份的天干或地支相同的概率.故选:b.【点睛】本小题主要考查古典概型的计算,考查组合数的计算,考查学生分析问题的能力,难度较易.11. 己知函数，函数有四个不同的零点，从小到大依次为，则的取值范围为（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】利用导数得出函数的单调性，将函

8、数有四个不同的零点，转化为两函数与图象有四个不同的交点，数形结合求解即可.【详解】当时，；则函数在上单调递减，在上单调递增，且当时，；则函数在上单调递减，在上单调递增，函数有四个不同的零点，即两函数与图象有四个不同的交点如下图所示由图可知，是方程两根，即的两根所以是方程的两根，即的两个所以故选：d【点睛】本题主要考查了根据函数零点的个数求参数范围，属于难题.12. 已知曲线与恰好存在两条公切线，则实数的取值范围是（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】的导数的导数为，设与曲线相切的切点为相切的切点为，则有公共切线斜率为，又，即有，即为，即有，则有，即为，恰好存在两条公切线，即有两解，

9、令，则，当时，递减，当时，递增，即有处取得极大值，也为最大值，且为，由恰好存在两条公切线可得与 有两个交点，结合函数的图象与单调性可得的范围是，故选d.【方法点睛】本题主要考查导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性、函数的零点以及转化与划归思想，数形结合思想的应用，属于难题.解答方程根的问题最常见的方法是转化为函数交点后，利用数形结合解答：一是转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为的交点个数的图象的交点个数问题.二、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分）13. 已知点的直角坐标是，则点的极坐标是_【答案】【解析】【分析】利用直角

10、坐标化极坐标的方法求解即可.【详解】极径由，且点在第二象限，则极角为所以点的极坐标是故答案为：【点睛】本题主要考查了直角坐标化极坐标，属于中档题.14. 某组委会要从五名志愿者中选派四人分别从事翻译导游礼仪司机四项不同工作,若其中甲不能从事翻译工作,乙不能从事导游工作,其余三人均能从事这四项工作,则不同的选派方案共有_种.【答案】【解析】【分析】根据题意,按甲乙两人是否被选中分种情况讨论,求出每一种情况的选派方法数目,由加法原理计算可得答案.【详解】根据题意,分种情况讨论:,从五名志愿者中选派的四人中的有甲但没有乙,甲有种安排方法,剩下三人全排列即可得,此时有=种选派方法;,从五名志愿者中选派

11、的四人中的有乙但没有甲,乙有种安排方法,剩下三人全排列即可得,此时有=种选派方法;,从五名志愿者中选派的四人中既有甲又有乙,需要在剩下人中选出人,有种选法,选出人的安排方法有种,则此时有=种选派方法;故一共有=种选派方法;故答案为：【点睛】本题考查了排列、组合、分步计数原理以及分类计数原理，考查了分类讨论的思想。属于基础题.15. 袋中有5只大小相同的乒乓球，编号为1至5，从袋中随机抽取3只，若以表示取到球中的最大号码，则的数学期望是_.【答案】【解析】【分析】分别分析最大号码为3,4,5的情况再根据所对应的概率求解数学期望即可.【详解】所有可能的情况一共有种,其中最大号码为3的情况一共有种；

12、其中最大号码为4的情况一共有种；其中最大号码为5的情况一共有种；故的数学期望是.故答案为：【点睛】本题主要考查了排列组合解决数学期望的问题,根据题意分析所有可能的情况再利用数学期望公式求解即可.属于中等题型.16. 已知是边长为2的等边三角形，当三棱锥体积最大时，其外接球的表面积为_【答案】【解析】【分析】当三棱锥体积最大时，分析得出点c的位置，再根据球的性质，在直角三角形中解出球的半径，从而求得球的表面积.【详解】解：取的中点，连接，设的外接圆的圆心为，的外接圆的圆心为，因为是边长为2的等边三角形，所以面积确定，要使三棱锥体积最大，即要使点到平面的距离最大，只有当平面平面时，体积最大，即点到

13、边的距离最大，三棱锥的体积最大，因为，且，外接圆的半径为，又为的外心，在的中垂线上，且,当点满足时，共线，点到边的距离最大，三棱锥的体积最大.此时三棱锥的高即为的长，此时外接圆的圆心在上，根据球的性质可知，故四边形为矩形，故，在中，球的半径平方为，所以球的表面积为.【点睛】本题考查了锥体与球体的位置关系，解题的关键是要确定锥体上各点、线、面与球体之间的关系，同时还要对球体的性质有清晰的认识.三、解答题（本题共5大题，第17题10分，其余每题12分共70分）17. 已知函数，. （1）求函数的单调增区间；（2）若对任意的恒成立，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用二倍角

14、公式和辅助角公式将整理为，将整体对应的单调增区间，求出的范围即可；（2）将问题转化为，通过还原将问题转化为，；根据单调性求得，从而得到结果.【详解】（1）由得：单调增区间为：（2）由得： 当时，令，则，又在单调递增 【点睛】本题考查的单调区间的求解、与三角函数有关的恒成立问题.解决恒成立问题的关键是通过分离变量的方式将问题转化为变量与函数最值之间的关系，需要注意的是自变量的取值范围.18. 为增强学生法治观念，营造“学宪法、知宪法、守宪法”的良好校园氛围，某学校开展了“宪法小卫士”活动，并组织全校学生进行法律知识竞赛.现从全校学生中随机抽取50人，统计他们的竞赛成绩，并得到如表所示的频数分布表

15、.分数段人数5151512（）求频数分布表中的的值，并估计这50名学生竞赛成绩的中位数（精确到0.1）；（）将成绩在内定义为“合格”，成绩在内定义为“不合格”.请将列联表补充完整.合格不合格合计高一新生12非高一新生6合计试问：是否有95%的把握认为“法律知识的掌握合格情况”与“是否是高一新生”有关？说明你的理由；（）在（）的前提下，在该50人中，按“合格与否”进行分层抽样，随机抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，求恰好2人都合格的概率.附：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828，.【答案】（），中位数73.3（）见解析，有（）0.3【解析】【分析】

16、（）先利用样本总数减去前面各组样本数，即可求得的值，再利用中位数的定义列方程，即可求解；（）根据频数分布表，填写2×2列联表，再代入公式中进行计算，查表，即可得解；（）先求出分层抽样的比例，再利用枚举法分别求得事件总数和所求的基本事件数，利用古典概型的概率公式，即可得解.【详解】（）.设成绩的中位数为，则，解得.（）补全2×2列联表如下所示：合格不合格合计高一新生121426非高一新生18624合计302050，所以有95%的把握认为“法律知识的掌握合格情况”与“是否是高一新生”有关.（）分层抽样的比例为，故抽取的5人中成绩合格的有（人），分别记为，；成绩不合格的有（人），

17、分别记为，.从5人中随机抽取2人基本事件有，共10种，2人都合格的基本事件有，共3种，所以恰好2人都合格的概率.【点睛】本题考查利用样本数字特征估计总体、独立性检验、古典概型的概率公式，考查运算求解能力、数据处理能力，考查数据分析、数学运算核心素养.19. 如图，在四棱锥中，侧面底面，且，是的中点（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）根据条件可得，两两垂直，因此可建立空间直角坐标系，然后将平面的问题转化成用向量证明，的问题；（2）求出平面，平面的法向量，利用两向量的夹角求出二面角的平面角【详解】（1）证明：因为侧面底面，且，所以，如图，以点为

18、坐标原点，分别以直线，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系. 设，是的中点，则有，于是，因为，所以，且，因此平面 （2）由（1）可知平面的一个法向量为，设平面的法向量为，则 所以不妨设，则，由图形知，二面角为钝角，所以二面角的余弦值为【点睛】（1）向量法通过空间坐标系把空间图形的性质代数化，避免了寻找平面角和垂线段等诸多麻烦，使空间点线面的位置关系的判定和计算程序化、简单化（2）用向量法解题的主要步骤为：建系、设点、计算向量的坐标、利用数量积的夹角公式计算（3）求平面间的夹角的方法就是分别求出两个平面的法向量，通过两个平面的法向量的夹角得到所求角的大小，但要注意平面间的夹角的范围为0,，所以在求得两

19、向量的夹角后还要根据图形判断二面角的大小.20. 某商场举行有奖促销活动，顾客购买每满元的商品即可抽奖一次.抽奖规则如下：抽奖者掷各面标有点数的正方体骰子次，若掷得点数大于，则可继续在抽奖箱中抽奖；否则获得三等奖，结束抽奖，已知抽奖箱中装有个红球与个白球，抽奖者从箱中任意摸出个球，若个球均为红球，则获得一等奖，若个球为个红球和个白球，则获得二等奖，否则，获得三等奖（抽奖箱中的所有小球，除颜色外均相同）.若，求顾客参加一次抽奖活动获得三等奖的概率；若一等奖可获奖金元，二等奖可获奖金元，三等奖可获奖金元，记顾客一次抽奖所获得的奖金为，若商场希望的数学期望不超过元，求的最小值.【答案】；.【解析】【

20、分析】设顾客获得三等奖为事件，因为顾客掷得点数大于的概率为，顾客掷得点数小于，然后抽将得三等奖的概率为，求出；由题意可知，随机变量的可能取值为，相应求出概率，求出期望，化简得，由题意可知，即，求出的最小值.【详解】设顾客获得三等奖为事件，因为顾客掷得点数大于的概率为，顾客掷得点数小于，然后抽将得三等奖的概率为，所以；由题意可知，随机变量的可能取值为， 且，所以随机变量的数学期望，化简得，由题意可知，即，化简得，因为，解得，即的最小值为.【点睛】本题主要考查概率和期望的求法，属于常考题.21. 如图，为坐标原点，椭圆左，右焦点分别为，离心率为，双曲线的左，右焦点分别为，离心率为，已知， （1）求，的方程；（2）过作的不垂直于轴的弦，为弦的中点，当直线与交于，两点时，求四边形面积的最小值【答案】（1），；（2）【解析】【分析】(1)由可推出,从而,因此,推出,从而得到的方程;(2)设直线的方程为,联立,利用韦达定理和中点坐标公式求出,从而得到直线的方程为,再联立,由韦达定理和弦长公式求出,再利用点到直线的距离公式求出到直线的距离以及到直线的距离,进而得到四边形的面积的最小值.【详解】(1),即,的方程为,的方程为.(2)依题意,直线的方程可设为,设,由消去可得,中点坐标为,直线的方程为,由消去,可得,且,设到直线的距离为,则到直线的距离也为,又,四边形的面积,当时,取