《利用仰俯角解直角三角形》教案

1、28.2.2应用举例第 2 课时利用仰俯角解直角三角形1使学生掌握仰角、俯角的意义，并学会正确地判断；(重点 )2初步掌握将实际问题转化为解直角三角形问题的能力(难点 )一、情境导入在实际生活中，解直角三角形有着广泛的应用，例如我们通常遇到的视线、水平线、铅垂线就构成了直角三角形 当我们测量时， 在视线与水平线所成的角中， 视线在水平线上方的角叫做仰角， 在水平线下方的角叫做俯角 今天我们就学习和仰角、 俯角有关的应用性问题二、合作探究探究点：利用仰(俯 ) 角解决实际问题【类型一】利用仰角求高度星期天，身高均为1.6 米的小红、小涛来到一个公园，用他们所学的知识测算一座塔的高度如图，小红站在

2、 A 处测得她看塔顶 C 的仰角 为 45°，小涛站在 B 处测得塔顶 C 的仰角 为 30°， 他们又测出 A、B 两点的距离为 41.5m，假设他们的眼睛离头顶都是10cm，求塔高 ( 结果保留根号 )解析： 设塔高为xm，利用锐角三角函数关系得出PM 的长，再利用 CP tan30°，求出PNx 的值即可解：设塔底面中心为O，塔高 xm，MN AB 与塔中轴线相交于点P，得到 CPM 、CPN是直角三角形， 则 x（ 1.6 0.1） tan45°，tan45° 1，PM CP x 1.5.在 Rt CPN PM第1页共4页中， CP t

3、an30°，即x1.53，解得 x833 89x 1.5 41.54.PN3答：塔高为 83389m.4方法总结： 解决此类问题要了解角与角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形变式训练： 见学练优本课时练习“课堂达标训练”第 7 题【类型二】 利用俯角求高度如图，在两建筑物之间有一旗杆EG，高 15 米，从 A 点经过旗杆顶部E 点恰好看到矮建筑物的墙角C 点，且俯角 为 60°，又从 A 点测得 D 点的俯角 为 30° .若旗杆底部 G 点为 BC 的中点，求矮建筑物的高CD .解析：根据点 G

4、 是 BC 的中点， 可判断 EG Rt AFD 中，利用特殊角的三角函数值分别求出是 ABC 的中位线， 求出 AB.在 Rt ABC 和BC、DF ，继而可求出 CD 的长度解： 过点 D 作 DF AF 于点 F，点 G 是 BC 的中点， EG AB， EG 是 ABC 的中位线， AB 2EG 30m. 在 Rt ABC 中， CAB 30°， BC ABtan BAC 30× 333103m.在 Rt AFD 中， AF BC 103m， FD AF ·tan 10 3× 3 10m， CD AB FD 30 1020m.答：矮建筑物的高为2

5、0m.方法总结： 本题考查了利用俯角求高度， 解答本题的关键是构造直角三角形， 利用三角函数的知识求解相关线段的长度变式训练： 见学练优本课时练习“课堂达标训练”第6 题【类型三】利用俯角求不可到达的两点之间的距离如图，为了测量河的宽度AB，测量人员在高21m 的建筑物CD 的顶端 D 处测得河岸 B 处的俯角为 45°，测得河对岸 A 处的俯角为 30° (A、 B、C 在同一条直线上 )，则河的宽度 AB 约是多少 m(精确到 0.1m，参考数据： 2 1.41， 31.73)?解析： 在 Rt ACD 中，根据已知条件求出AC 的值，再在RtBCD 中，根据 EDB

6、第2页共4页45°，求出BC CD 21m，最后根据ABAC BC，代值计算即可解： 在 Rt ACD 中， CD 21m， DAC 30°， ACCD 21 21 3m.在tan30°33Rt BCD 中， EDB 45°， DBC 45°， BC CD 21m， AB AC BC 213 21 15.3(m)则河的宽度 AB 约是 15.3m.方法总结：解决此类问题要了解角之间的关系， 找到与已知和未知相关联的直角三角形，把实际问题化归为直角三角形中边角关系问题加以解决变式训练： 见学练优本课时练习“课后巩固提升”第 3 题【类型四】仰角和

7、俯角的综合某数学兴趣小组的同学在一次数学活动中，为了测量某建筑物AB 的高，他们来到与建筑物AB 在同一平地且相距12m 的建筑物CD 上的 C 处观察，测得此建筑物顶部A的仰角为30°、底部B 的俯角为45° .求建筑物 AB 的高 ( 精确到 1m，可供选用的数据：2 1.4， 3 1.7)解析： 过点 C 作 AB 的垂线 CE，垂足为 E，根据题意可得出四边形 CDBE 是正方形，再由 BD 12m 可知 BE CE 12m，由 AE CE·tan30°得出 AE 的长，进而可得出结论解：过点 C 作 AB 的垂线，垂足为E， CD BD，AB

8、BD ， ECB 45°，四边形3CDBE 是正方形 BD 12m， BE CE 12m， AE CE·tan30° 12× 3 43(m) ， AB 43 12 19(m) 答：建筑物AB 的高为 19m.方法总结： 本题考查的是解直角三角形的应用中仰角、俯角问题， 根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键变式训练： 见学练优本课时练习“课后巩固提升”第7 题三、板书设计1仰角和俯角的概念；2利用仰角和俯角求高度；3利用仰角和俯角求不可到达两点之间的距离；4仰角和俯角的综合备课时尽可能站在学生的角度上思考问题，设计好教学过程中的每一个细节上课前多揣摩， 让学生更多地参与到课堂的