2.4波的多解问题

1、2.4波的多解问题1. 造成波动问题多解的主要因素周期性： 时间周期性：时间间隔At与周期T的关系不明确。 空间周期性：波传播距离Ax与波长 入的关系不明确。双向性： 传播方向双向性：波的传播方向不确定。 振动方向双向性：质点振动方向不确定。女口： a.质点达到最大位移处，则有正向和负向最大位移两种可能。b. 质点由平衡位置开始振动，则起振方向有向上、向下(或向左、向右)两种可能。c. 只告诉波速不指明波的传播方向，应考虑沿两个方向传播的可能，即沿x轴正方向 或沿x轴负方向传播。d. 只给出两时刻的波形，则有多次重复出现的可能。波形的隐含性形成多解：在波动问题中，往往只给出完整波形的一部分，或

2、给出几个特殊点，而其余信息均处于隐含状态。这样，波形就有多种情况，形成波动问题的多解性。2. 解决波的多解问题的思路一般采用从特殊到一般的思维方法，即找出一个周期内满足条件的关系At或Ax,若此关系为时间，则t= nT+At(n= 0, 1,2)；若此关系为距离，则x= n入+Ax(n= 0,1, 2)。1时间的多解问题例1一列简谐横波在x轴上传播，如图4所示，实线是这列波在 t1 = 0.1 s时刻的波形，虚 线是这列波在t2= 0.2 s时刻的波形，求：图4(1) 如果此波沿x轴正方向传播，波速的最小值；(2) 如果此波沿x轴负方向传播，波速的可能值.答案 (1)30 m/s (2)v=

3、(80k+ 50) m/s(k= 0,1,2, 3)解析 (1)由波形图知波长 X= 8 m3波沿x轴正方向传播时，传播距离Ax满足Ax= kH 3 Xk= 0,1,2,3)8由v= Ax知，当k= 0时波速取最小值.解得最小波速 Vmin = 30 m/s5波沿x轴负方向传播时，传播距离Ax= k H 8?(k= 0,1,2,3),AX/白由v= 得tv= (80k+ 50) m/s(k= 0,1,2,3)1一列简谐横波在 x轴上传播，在ti = 0和t2= 0.05 s时刻，其波形图分别如图中的实线和虚 线所示，求：(1) 该波的振幅和波长；(2) 若这列波向右传播，波速是多少？若这列波向

4、左传播，波速是多少？解析：(1)由图可知：A= 2 cm, = 8 m若波向右传播，则1xi = 4 H n = 2+ 8n(n= 0,1,2,)x12 + 8nV1= "= 40 + 160n(n= 0,1,2,)3若波向左传播，则Ax2 = 4 H n = 6 + 8n (n = 0,1,2,)V2 =x2 云=6 + 8n0.05=120+160n(n = 0,1,2,)答案： (1)2 cm 8 m (2)40 + 160n(n = 0,1,2,)，120 + 160n(n= 0,1,2 ,)2如图所示，实线是某时刻的波形图，虚线是0.2 s后的波形图.(1) 若波向左传播，

5、求它的可能周期和最大周期；(2) 若波向右传播，求它的可能传播速度；(3) 若波速是45 m/s，求波的传播方向.答案(1)4°3 s(n = 0,1,2,)0.27 s (2)5(4n+ 1) m/s(n = 0,1,2,)(3)向右解析(1)波向左传播，传播的时间为=沢“丄2，)，所以t=兴=4爭s 波向右传播，t = T+ nT(n= 0,1,2,)0.84n + 3s(n= 0,1,2,)，最大周期为T maxs 0.27 s.所以 T =' . s(n = 0,1,2,)，而=4 m4n + 1 所以 v= T= 5(4n+ 1) m/s(n= 0,1,2,).(3

6、) 波速是45 m/s,设波向右传播，由上问求得的向右传播的波速公式得：45 m/s= 5(4n+ 1) m/s，解得n = 2.故假设成立，因此波向右传播.例2.如图5所示，图中的实线是一列简谐横波在t = 0时刻的波形图，虚线对应的是t = 0.5s时的波形图.求：(1)如果波沿x轴负方向传播，且周期T> 0.5 s,则波的速度多大？如果波沿x轴正方向传播，且周期T满足0.3 sv T v 0.5 s,则波的速度又是多少？答案 (1)0.12 m/s (2)0.84 m/s1 1解析 如果波沿x轴负方向传播，且周期T> 0.5 s,则波向左传播的距离 x=二匕-X24 cm44

7、=6 cmx 0.06 m波速 v= = 0.12 m/st 0.5 s如果波是沿x轴正方向传播的，且周期 T满足0.3 sv Tv 0.5 s,则波向右传播了 1个波长 多，所以波传播的距离为x = 3入+ X= 7x24 cm = 42 cm44x 0.42 m 小 c,波速 v= ；= 0.84 m/s.t 0.5 s1. 如图所示实线是一列简谐横波在t1 = 0时刻的波形，虚线是这列波在t2 = 0.5 s时刻的波形，这列波的周期T符合：3Tvt2-4T,问：(1) 若波速向右，波速多大？(2) 若波速向左，波速多大？若波速大小为74 m/s，波速方向如何？解析(1)波向右传播时，传播

8、距离Ax满足3Ax= k?(k= 0,1,2,3 )8由 At= 知v3传播时间满足 At= kT+ §T(k= 0,1,2,3)由于 3T v t2 11 v 4T因此k取3故 At= 3T+ 3T由波形图知匸8 m波速v=彳解得 v= 54 m/s(2)波向左传播时，传播距离Ax满足5Ax= k H ?(k= 0,123,)8传播时间满足 At= kTH ：T(k= 0,1,2,3)由 3Tv t2 tiV 4T 可知 k 取 3 故 At= 3T+ 5T8波速v=彳解得 v= 58 m/s(3) 波速大小为74 m/s时，波在 At时间内传播的距离为Ax= vAt= 74 &g

9、t;0.5 m = 37 m = (4入+ 5) m所以波向左传播答案(1)54 m/s (2)58 m/s (3)波向左传播2. (2019绵阳三诊)如图所示，一简谐横波在t = 0时的波形是图中实线，在ti= 0.2 s时的波形是图中虚线，P为介质中x = 4 m处的质点，贝U ()A .该波一定沿x轴正方向传播B .该波的传播速度可能为5 m/sC. 从t= 0开始，质点P经过0.2 s沿x轴正方向运动1 mD. t = 0.4 s时，质点P的位置y= 4 cm330.84n + 1解析当波向左传播时，传播的距离x= n H 4入=4n+ 3,0.2 = nT + T,波速v= 20n

10、+0.815(m/s)，T = 4n + 3，n= 0、1、2、3当波向右传播时，1 1传播的距离 x= n 入+ 4入=4n+ 1,0.2= nT + -T,波速 v= 20n+ 5(m/s), Tn= 0、1、2、3 由于波传播方向的不定性，所以据波形图与时间无法判断该波的传播方向，故A错误。据以上分析可知，当波向右传播时，该波的波速可能为5 m/s，故B正确。据波传播特点可知，各质点并不随波迁移，而是在平衡位置附近做简谐运动，故C错误。根据波的图像和以上分析可知，t= 0.4 s时，质点P的位置不可能y= 4 cm,故D错误。答案B2.空间的多解问题例3如图所示是一列简谐横波上A、B两点

11、的振动图像，A、B两点相距8 m。求:(1) 这列波可能的波长；(2) 这列波可能的波速。解析：若波由A传向B时，由图有：3xab= n 入+ 4 = 8 m (n= 0,1,2,3,)32解得： A4nT3 m (n= °'1'2,3,)此时的波速 v= T=m/s(n= 0,1,2,3,)当波由B向A传播时有：14 入+ n 冶 8 m(n = 0,1,2,3,)32得波长 入=m (n = 0,1,2,3,)4n+ 1此时的波速 v= £=i m/s (n= 0,1,2,3,)80(2)v =荷3232答案：(1)入=4n3 m(n= 0,1,2,3,

12、)或者 入=4n m(n= 0,1,2,3,), 80m/s(n= 0,1,2,3,)或者波速 v= n十m/s(n= 0,1,2,3,)1. 一列横波在x轴上传播，a、b是x轴上相距Sab= 6 m的两质点，t = 0时，b点正好到达最 高点，且b点到x轴的距离为4 cm,而此时a点恰好经过平衡位置向上运动。已知这列波 的频率为25 Hz。(1) 求经过时间1 s, a质点运动的路程；(2) 质点a、b在x轴上的距离大于一个波长，求该波的波速。 解析：(1)质点a 一个周期运动的路程 s0= 4A= 0.16 m11 s内的周期数是n = t = 251 s内a质点运动的路程 s= ns0=

13、 4 m3波由a传向b, sab = (n + 4)入600v=入 fm/s( n= 1,2,3 )4n+ 31波由b传向a, Sab= (n + 4)入600v=入=仆+ 1 m/s( n= 1,2,3 )答案：(1)4 m (2)见解析2.一列横波在x轴上传播，a、b是x轴上相距xab= 8m的两质点，t = 0时，b正好到达正 方向最大位移处，且b到x轴的距离为8 cm，而此时a恰好经过平衡位置向上运动。已知这列波的频率为25 Hz。(1) 求经过时间1 s, a运动的路程；(2) 若a、b在x轴上的距离大于一个波长，求该波的波速。 解析：(1)a在一个周期内运动的路程 s°=

14、 4A= 0.32 m1 s1 s内的周期数是n =丰=251 s内运动的路程s= nso= 8 m。(2)由题意可知，若波由 a传向b, xab = n+ 4 Rn= 1,2,3,)800v=入=m/s(n = 1,2,3,)4n +3若波由 b 传向 a, Xab = n +1 Xn = 1,2,3,)800v= X= m/s(n = 1,2,3 ,)。4n +3答案：(1)8 m (2)见解析3简谐横波在均匀介质中沿水平方向直线传播，A、B为介质中的两个质点，其振动图像分别如图9甲和乙所示，AB间的水平距离x= 2 m，求：图9(1) 该简谐横波传播速度的可能值；(2) 若改变波源的振动

15、频率，使A、B两质点的振动同步，求频率的可能值.1答案 (1)v= 277 m/s(n= 0,1,2,)m(2)f= 4n72 Hz (n = 0,1,2,，m= 1,2,3,)解析(1)由图像可知，该简谐波的周期 T = 4 sx= (2n+ 1)X (n= 0,1,2,)设传播速度为v,则有v= T解得该简谐横波传播速度的可能值1 _v= 277 m/s (n= 0,1,2 ,)(2)设波源振动频率为f,则有x= mT (m= 1,2,3,)v= T解得频率的可能值mf = 4n72 Hz (n = 0,1,2,，m= 1,2,3,)4.(多选)(2019天津7)一列简谐横波沿直线传播，该

16、直线上平衡位置相距9 m的a、b两质点的振动图象如图7所示，下列描述该波的图象可能正确的是()图7答案 AC解析 由振动图象可知，在t = 0时，质点a处在波峰位置，质点 b处在平衡位置且向下运动若简谐横波沿直线由a向b传播，有3 H n冶9 m，解得波长的表达式：冶m（n44n+ 3=0,1,2,3,4 ,），其波长可能值为12 m, 5.14 m,，选项C正确；若简谐横波沿直线由b136向a传播，有n X= 9 m，解得波长的表达式：入=严 m（n = 0,1,2,3,4,），其波长可44n + 1能值为36 m,7.2 m,4 m ,，选项A正确.课后巩固题组一时间的多解问题1. 一列简

17、谐横波在t= 0时刻的波形如图5中的实线所示，t = 0.02 s时刻的波形如图中虚线 所示.若该波的周期 T大于0.02 s,则该波的传播速度可能是（）图5A . 2 m/sB . 3 m/sC. 4 m/sD . 5 m/s答案 B解析因t<T,故：若波向右传播，则波传播的距离X1 = 0.02 m ,贝V波速 V1 = ¥=m/s= 1 m/s;若波向左传播，则波传播的距离X2= 0.06 m ,则波速 V2=学=m/s= 3 m/s,故正确选项为B.2. （多选）（2019衡水冀州中学模拟）如图所示，实线和虚线分别为一列沿x轴传播的简谐横波在t1 = 0、t2= 0.0

18、2 s两个时刻的波形图像，已知 t2- t1<2（T为该波的周期），下列说法正确 的是（）A .波沿着x轴负方向传播B .波的传播速度是 100 m/sC.在t2 -11= 0.02 s时间内，x= 24 m的质点运动的路程为 5.2 cmD .在t= 0.4 s时刻，x= 4 m的质点的速度最大E. 在t = 1.6 s时刻，x= 64 m的质点加速度为零1解析：选BCE 由题图知波长为 入=16 m,由t2- t1<-T，知周期T>0.04 s，由波形平移的距离易知，波沿 x轴正方向传播，故 A错误；由题意知0.02 s= 所以T= 0.16 s,波入 16i速m/s=

19、100 m/s，故 B 正确；T = 0.16 s, 0.02 s=;T,贝U x= 24 m 的质点运动的T 0.1682路程为 a 迈A = 5 ,2 cm，故C正确；t= 0.4 s= 2.5T, x= 4 m的质点在波谷，速度为零， D错误；t= 1.6 s= 10T, x= 64 m的质点在平衡位置，质点加速度为零，E正确。3. 列横波在x轴上传播，t1= 0和t2= 0.005 s时的波形如图2中的实线和虚线所示.图2(1)设周期大于(t2 ®，求波速；设周期小于(t2 t1)，并且波速为6 000 m/s.求波的传播方向.解析 当波传播时间小于周期时，波沿传播方向前进的

20、距离小于一个波长；当波传播的时间大于周期时，波沿传播方向前进的距离大于波长.这时从波形的变化上看出的传播距离加上n个波长才是波实际传播的距离.(1)因At= t211< T,所以波传播的距离可以直接由图读出.若波向右传播，则在 0.005 s内传播了 2 m，故波速为v= 2= 400 m/s.0.005 s若波向左传播，则在 0.005 s内传播了 6 m，故波速为vt6# = 1 200 m/s.0.005 s因At = t2 t1>T,所以波传播的距离大于一个波长，在0.005 s内传播的距离为 Ax = vAtAx 3033=6 000 >0.005 m= 30 m，

21、匚=学=3 ,即卩 Ax= 3 入+ 芦入入844因此，可得波的传播方向沿x轴负方向.答案 (1)波向右传播时 v=400 m/s 波向左传播时，v= 1 200 m/s (2)x轴负方向4. 一列简谐横波t1时刻的波形如图中实线所示，t2时刻的波形如图中虚线所示，已知At =t211 = 0.5 s.问： (1)这列波的传播速度是多少?若波向左传播，且 3T<At<4T，波速是多大?若波速等于68 m/s，则波向哪个方向传播?解析(1)有两组解：若波向右传播，传播距离G+%又有V右=A(16n+ 4) m/s(n= 0,1,2,)；若波向左传播，传播距离n +0.5m/s =d

22、一 s s=亡+ 4丿人又有V左=Atm/s= (16n+ 12) m/s(n = 0,1,2，).因波向左传播，且 3T< At<4T，则必有 3Xs<4人 故n = 3，V左=(16n+ 12) m/s = 60 m/s. 因波速v= 68 m/s，所以s= vt= 68 >0.5 m = 34 m = 4 +才入 故波向右传播.答案(1)若波向右传播，V右=(16n+ 4) m/s(n = 0,1,2，)；若波向左传播，V左=(16n + 12)m/s(n= 0,1,2,)(2)60 m/s (3)向右归纳总结造成波动问题多解的主要因素(1)周期性 时间周期性：时

23、间间隔At与周期T的关系不明确. 空间周期性：波传播距离Ax与波长入的关系不明确.双向性 传播方向双向性：波的传播方向不确定. 振动方向双向性：质点振动方向不确定.5. (2019哈尔滨第三中学模拟)一列横波在x轴上传播，在ti= 0时刻波形如图中实线所示，1t2= 0.05 s时刻，波形如图中虚线所示。若周期大于-(t1- t2)，则最小波速和最大波速分别是多少？传播方向如何？解析：由题图可知，匸8 m。当波沿x轴正方向传播时，有 At= nT + 4 且 n= 0 或 1,3T当波沿x轴负方向传播时，有 A = nT + 且n = 0或1,4由波速公式v=t可知，当速度最小时，周期最大，当

24、速度最大时，周期最小。分析上面两类情况可知当周期最大时，波沿 x轴正方向传播，且在At= nT+ T中取n=0,即At = £贝卩T大=440.2 s,最小速度 v小=“=40 m/s,方向为沿 x轴正方向。T大当v最大时，波沿x轴负方向传播，且在 At = nT +乎中取n= 1，即At= T+，则T小441y=s，最大速度 v大= =280 m/s，方向为沿x轴负方向。35T小答案：最小波速40 m/s，方向为沿x轴正方向；最大波速280 m/s，方向为沿x轴负方向题组二空间的多解问题1一列简谐横波沿直线由A向B传播，A、B相距0.45 m，如图5所示是A处质点的振动图像.当A处

25、质点运动到波峰位置时，B处质点刚好到达平衡位置且向y轴正方向运动，这列波的波速可能是()图5A. 4.5 m/sB. 3 m/sC. 1.5 m/sD. 0.7 m/s解析 从图中可知周期为 0.4 s.由题可知质点 A、B间最简单波形如图所示， A、B间距和 波长的关系为x= （n + 4）入再由公式v=辛得v= 44? *n= 0,1,2 ,），代入数据可知波速 v 可为4.5 m/s,选项A正确.答案 A2. （多选）一列波长大于3 m的横波沿着x轴正方向传播，处在 xi= 1.5 m和4.5 m的两 质点A、B的振动图像如图所示.由此可知（）A. 1s末A、 B两质点的位移相同B. 2

26、 s末A点的振动速度大于 B点振动速度C .波长为4 mD .波速为1 m/s答案 BCD解析 从A、B两点的振动图像可以看出，1 s末质点A的位移为2 cm,质点B的位移为0, 选项A错误；2 s末A点处于平衡位置，速度最大，B点处于负向最大位移处，速度为零，3选项B正确；从A、B两点的振动图像可以看出， A、B两点间的距离为（n + R个波长（n = 0,1,2，），结合题给条件可得：（n +弓）入=x2 X1，代入数据解得波长为： A2 m（n =44n+ 30,1,2，），由题意知波长大于 3 m，则n = 0，波长为：入=4 m，选项C正确；从振动图像 可以看出周期为：T= 4 s，

27、则波速为：v=T= 1 m/s，选项D正确.3. 一列横波在t = 0时刻的波形如图中实线所示，在t= 1s时的波形如图中虚线所示.由此可以判定此波的（）A .波长一定是 4 cmB .周期一定是4sC .波长一定是2 cmD .传播速度一定是 1 cm/s答案 A解析 直接从题图上读出波长是 4 cm，故A选项正确，C选项错误；1 s时间与周期的关系 是nT + 1t= 1 s（n = 0,1,2,3，），是不确定解，因此 B选项错.同理，传播速度 v=彳也不确 定，D选项也错.4. 一列简谐横波沿 x轴正方向传播，已知x轴上相距d= 3.6 m的两个质点M、N的振动图像 分别如图甲和乙所示

28、，已知质点M比N质点先起振，则该波（）A .波长可能为4.8 mB .频率可能为0.2 HzC. 传播速度可能为 3.6 m/sD .质点M在波谷时，质点 N在波峰解析 据题质点M比N质点先起振，波从 M传到N.由振动图像可知t= 0时刻M点位于波 峰时，N通过平衡位置向下，则有： d= (n+弓)人(n = 0,1,2)，波长为 冶 4d = 4><3.6 m4 ' '八4n+ 3 4n+ 314.41=厶门+ 3 m，当n = 0时，匸4.8 m,故A正确；由图读出周期 T= 4 s,则频率为f=0.25Hz,故B错误；波速为v=入-y m/s，因为n是整数，v不可能为3.6 m/s,故C错误；4n+ 33由上面分析知，d = (n + 4)人则质点M在波谷时，N通过平衡位置，故 D错误.答案 A5. 如图所示，一列简谐波沿一直线向左传播，当直线上某质点 a向上运动到达最大位移时，a点右方相距0.15 m的b点刚好向下运动到最大位移处，则这列波的波长可能是()A. 0.6 mB. 0.3 m；:左右C. 0.2 mD. 0.1 m解析 由题意可知，a、b两点的振动方向始终相反，a、b间的距离为半波长的奇数倍，