【KS5U解析】江苏省镇江市2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题 Word版含解析

1、 江苏省镇江市20192020学年度第一学期期末考试试卷高一数学2020.1一单项选择题1.若集合，集合，则（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】利用并集的定义可求.【详解】.故选：b.【点睛】本题考查集合的并，运算时注意公共元素在并集中只能出现一次，本题属于基础题.2.命题“，”的否定是（ ）a. ，b. ，c. ，d. ，【答案】c【解析】【分析】根据全称命题的否定的结构特点写出即可.【详解】命题“，”是全称命题，故其否定为“，”.故选：c.【点睛】全称命题的一般形式是：，其否定为.存在性命题的一般形式是，其否定为.3.若幂函数的图象过点，则（ ）a. b. c. 2d.

2、 【答案】d【解析】【分析】将已知点代入函数解析式后可求的值.【详解】因为函数图象经过，故，故.故选：d.【点睛】本题考查幂函数解析式的求法，一般将其所过的点代入表达式后可求幂指数，本题属于基础题.4.设函数，则（ ）.a. -1b. 1c. d. 【答案】a【解析】【分析】由题意结合函数的解析式求解函数值即可.详解】函数，故故选a【点睛】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题5.求值（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】利用诱导公式化简后再利用特殊角的正切值可得所求结果.【详解】.故选：d.【点睛】诱导公式有五组，其主要

3、功能是将任意角的三角函数转化为锐角或直角的三角函数记忆诱导公式的口诀是“奇变偶不变，符号看象限”6.已知方程的解在内，则（ ）a. 0b. 1c. 2d. 3【答案】b【解析】【分析】构造函数，利用零点存在定理可求的值.【详解】令，则方程的解是的零点.因为、均为上的增函数，故为上的增函数.又，.因为的图象在上不间断，故有且只有一个零点且零点在区间内，故方程的解在，所以.故选：b.【点睛】本题考查不可解方程的根，此类问题常把不可解方程转化为函数的零点来考虑，后者应利用零点存在定理来判断，本题属于中档题.7.函数在的图象大致为（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】先判断函数的奇偶

4、性，再结合、的正负可得正确的选项.【详解】设，则，故为上的偶函数，故排除b.又，排除c、d.故选：a.【点睛】本题考查图象识别，注意从函数的奇偶性、单调性和特殊点函数值的正负等方面去判断，本题属于中档题.8.九章算术是我国古代著名数学经典，其对勾股定理的论述比西方早一千多年.其中有这样一个问题：“今有勾五步，股十二步，间勾中容方几何?”其意为：今有直角三角形abc，勾(短直角边)bc长5步，股(长直角边)ab长为12步，问该直角三角形能容纳的正方形debf(d，e，f分别在边ac，ab，bc上)边长为多少?在如图所示中，在求得正方形debf的边长后，可进一步求得的值为（ ）a. b. c. d

5、. 【答案】b【解析】【分析】先求出正方形边长，再求出，最后利用两角差的正切可求的值.【详解】设正方形的边长为，则，解得，故.又，而.故选：b.【点睛】本题以数学文化为背景，考查两角差的正切，注意角的正切值常放置在直角三角形中来计算，本题属于基础题.二多项选择题9.若，则下列不等式中正确的是（ ）a. b. c. d. 【答案】bd【解析】【分析】由不等式的性质及函数的单调性可得正确的选项.【详解】因为在为减函数，故当时，有，故a不正确.因为在为增函数，故当时，有，故c错误.，因为，故，所以即，故b正确.因为，故，所以，故d正确.故选：bd.【点睛】本题考查不等式的性质和函数的单调性，一般地，

6、代数式的大小比较有作差法、作商法，也可以根据其形式选择合适的函数来讨论，本题属于基础题.10.在下列各函数中，最小值为2的函数是（ ）a. b. c. d. 【答案】bcd【解析】【分析】逐次求出各选项中函数的最小值后可得正确的选项.【详解】因为，故函数的最小值为1，故a错.由基本不等式可得，当且仅当时等号成立，所以的最小值为2，故b正确.因为，故，当且仅当时等号成立，故的最小值为2，故c正确.因为，故，当时等号成立，故的最小值为2，故d正确.故选：bcd.【点睛】本题考查函数的最值，注意复杂函数的最值可以利用常见函数的性质或基本不等式来求，本题属于中档题.11.使不等式成立的一个充分不必要条

7、件是（ ）a. b. c. 或d. 【答案】ac【解析】【分析】先求出的解集，考虑该解集与各选项中的集合的包含关系后可得不等式成立的充分不必要条件.【详解】不等式等价于，也就是，故不等式的解集为.a、b、c、d四个选项中，只有a、c中的不等式（不等组）对应的集合为的真子集.故选：ac.【点睛】（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；（2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集；（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；（4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含12.如图，摩天轮的半径为40米，摩天轮的轴o点距离地面的高度为45米，摩天轮匀

8、速逆时针旋转，每6分钟转一圈，摩天轮上点p的起始位置在最高点处，下面的有关结论正确的有（ ）a. 经过3分钟，点p首次到达最低点b. 第4分钟和第8分钟点p距离地面一样高c. 从第7分钟至第10分钟摩天轮上的点p距离地面的高度一直在降低d. 摩天轮在旋转一周的过程中有2分钟距离地面不低于65米【答案】abd【解析】【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，求出点的坐标后可求高度关于的函数关系式，结合函数关系逐项判断后可得正确的选项.【详解】以为原点，过且平行于地面的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，为摩天轮，为圆上的动点，设到地面的高为.由题设有，故，其中.对于a，令，则，解得，故点p首次到达

9、最低点所需的时间为分钟，故a正确.对于b，当时，当时，因为，故，故b正确.对于c，当，而且在是单调递增的，故在上是单调递增函数，故c错.对于d，考虑时不等式的解，故，解得或，故摩天轮在旋转一周的过程中有2分钟距离地面不低于65米，故d正确.故选：abd.【点睛】本题考查函数三角函数在实际中的应用，注意根据问题的特征建立合适的坐标系，便于构建时间和高度的时间关系，本题属于综合题，有一定的难度.三填空题13.有一块半径为30cm，圆心角为的扇形钢板，则该钢板的面积为_cm2.【答案】【解析】【分析】求出圆心角的弧度数后利用公式可求扇形的面积.【详解】因为圆心角为，故其弧度数为，所以扇形的面积为，故

10、答案为：.【点睛】本题考查扇形的面积计算，扇形的面积公式有两个，注意根据题设条件合理选取，还要注意角的大小为弧度数，不是角度，本题属于基础题.14.函数为_(在“奇”“偶”“非奇非偶”中选一个填空)函数，值域为_.【答案】 (1). 偶 (2). 【解析】【分析】利用函数的奇偶性定义可判断该函数为偶函数，根据函数的单调性可求该函数的值域.【详解】的定义域为，它关于原点对称.，故为偶函数.当时，因为在上为增函数，为增函数， 故在上为增函数，所以在为增函数，故在上为减函数，所以即的值域为.故答案为：偶，.【点睛】本题考查函数的奇偶性以及函数的最值，考虑前者时要优先考虑定义域，考虑后者时可用函数的单

11、调性、基本不等式等工具，本题属于中档题.15.在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度v(单位:)和燃料的质量m(单位:kg)火箭(除燃料外)的质量m(单位:kg)的函数关系是.已知该火箭的最大速度可达到，则燃料质量与火箭(除燃料外)质量的比值为_.【答案】【解析】【分析】令后可求燃料质量与火箭(除燃料外)质量的比值.【详解】令，则，故，故答案为：.【点睛】本题考查对数方程解，利用指数式和对数式的互化可得方程的解，本题属于容易题.16.已知x，y为正数，且，则的最小值为_.【答案】7【解析】【分析】由题设等式有，利用基本不等式可求的最小值，从而可得的最小值.【详解】，由基本不等式有，当且仅当时

12、等号成立，故的最小值为即的最小值为.故答案为：.【点睛】应用基本不等式求最值时，需遵循“一正二定三相等”，如果原代数式中没有积为定值或和为定值，则需要对给定的代数变形以产生和为定值或积为定值的局部结构.求最值时要关注取等条件的验证.四解答题17.已知全集为r，设函数的定义域为集合a，函数的定义域为集合b.（1）求和；（2）若集合，求实数p的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）求出后可求和；（2）根据可得满足的不等式，其解即为实数p的取值范围.【详解】（1），.故，.（2）因为，故即.故实数p的取值范围为.【点睛】本题考查函数的定义域、集合的运算（交和补）、一元二次不等式的解

13、、绝对值不等式的解以及集合的包含关系，依据集合的包含关系求参数的取值范围时，注意两个集合中的范围的端点是否可以重合，本题属于中档题.18.如图，在平面直角坐标系xoy中，两锐角，的始边都为x轴非负半轴，终边分别与单位圆o交于a，b两点，若点a的横坐标为，点b的纵坐标为.（1）分别求，的值；（2）求的值.【答案】（1）， ；(2).【解析】【分析】（1）求出的纵坐标、的横坐标后可求的值.（2）根据（1）中的结果可得，再求出的值后可求的值，从而可求的值.【详解】（1）因为点a的横坐标为，点b的纵坐标为，且，都是锐角，故点a的纵坐标为，点b的横坐标为，所以.（2）由（1）可得，而，故，因为，为锐角，

14、故，因为，为锐角，故，故，而，故，所以，所以，故.【点睛】本题考虑三角函数的定义、同角的三角函数的基本关系式、二倍角的正切以及两角和的正切，根据角的三角函数值求角的大小时，需结合特殊角的三角函数值来估算角的范围，本题为中档题.19.已知函数.（1）求函数的最小正周期和增区间；（2）当时，求函数的最大值和最小值.【答案】（1），；（2）最大值2，最小值-1.【解析】【分析】（1）利用倍角公式和辅助角公式可得，根据周期公式和正弦函数的性质可求的最小正周期和增区间.（2）求出的范围后利用正弦函数的性质可得的最大值和最小值.【详解】（1），故最小正周期为.令，故，故函数的单调增区间为：.（2）当时，所

15、以，故，当时，；当时，.【点睛】形如的函数，可以利用降幂公式和辅助角公式将其化为的形式，再根据复合函数的讨论方法求该函数的单调区间、对称轴方程和对称中心等20.某市将举办2020年新年大型花卉展览活动，举办方将建一块占地10000平方米的矩形展览场地abcd，设计要求该场地的任何一边长度不得超过200米.场地中间设计三个矩形展览花圃，其中花圃与是全等的矩形，每个花圃周围均是宽为5米的赏花路径.其中号花圃的一边长度为25米.如图所示，设三个花圃占地总面积为s平方米，矩形展览场地的bc长为x米.（1）试将s表示为x的函数，并写出定义域；（2）问应该如何设计矩形场地的边长，使花圃占地总面积s取得最大

16、值.【答案】（1），；（2），s取得最大值为7350.【解析】【分析】（1）花圃的另一条边的长为，花圃与一边的长为，另一条边的长为，求出3个矩形的面积后可得关于的函数解析式.（2）利用基本不等式可求的最小值及何时取最小值.【详解】（1）花圃的另一条边的长为，花圃与一边长为，另一条边的长为，所以 ,因为，故，故，.（2）由基本不等式可得，当且仅当时等号成立，故当(米)时，（）.答：当(米)时，（）.【点睛】本题考查分式函数在实际中的应用，建模时注意自变量的范围，利用基本不等式求最值时注意检验等号成立的条件，本题属于基础题.21.已知函数(为常数，).给你四个函数：；.（1）当时，求不等式的解集；

17、（2）求函数的最小值；（3）在给你的四个函数中，请选择一个函数(不需写出选择过程和理由)，该函数记为，满足条件：存在实数a，使得关于x的不等式的解集为，其中常数s，且.对选择的和任意，不等式恒成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）令，则解为或，由后者可得的解.（2）令，则，分类讨论后可求，的最小值，该最小值即为原来函数的最小值.（3）取，可以证明满足条件，再利用换元法考虑任意，不等式恒成立可得实数的取值范围.【详解】（1）当时，.令，因为的解为或，所以（舍）或，故，所以的解集为.（2）令，则，函数的最小值即为，的最小值.当即时， .当即时，；当即时，

18、.故.（3）取，令，设的解集为闭区间，由得，故的解集为，取，则，故满足条件.当时，故在上恒成立，故，解得，所以实数的取值范围是.【点睛】本题考查复合函数的性质及复合函数对应的不等式的解与恒成立问题，此类问题可通过换元法把复合函数问题转化为二次函数的最值问题或恒成立问题，本题有一定综合性，是难题.22.已知函数.（1）证明函数在上为减函数；（2）求函数的定义域，并求其奇偶性；（3）若存在，使得不等式能成立，试求实数a的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2），奇函数；（3）.【解析】【分析】（1）利用单调性定义证明即可.（2）根据条件可得，其解集即为函数的定义域，可判断定义域关于原点对称，再根据奇偶性定义可判断函