《直角三角形的性质和判定》教案湘教版

1、第1章 直角三角形1 1直角三角形的性质和判定()第 1 课时直角三角形的性质和判定1掌握“直角三角形两个锐角互余”，并能利用“两锐角互余”判断三角形是直角三角形； (重点 )2探索、理解并掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的性质 (重点、难点 )一、情境导入在小学时我们已经学习过有关直角三角形的知识， 同学们可以用手上的三角板和量角器作直角三角形， 并和小组成员一同探究直角三角形的性质二、合作探究探究点一：直角三角形两锐角互余如图， AB DF ，AC BC 于 C， BC 与 DF 交于点 E，若 A 20，则 CEF等于()A110 B100 C80 D 70解析： AC BC

2、 于 C， ABC 是直角三角形， ABC 90 A 9020 70， ABC 1 70， AB DF ， 1 CEF 180 ，即 CEF 180 1 180 70 110 .故选A.方法总结： 熟知直角三角形两锐角互余的性质，并准确识图是解决此类题的关键探究点二： 有两个角互余的三角形是直角三角形如图所示， 已知 AB CD， BAF F， EDC E，求证： EOF 是直角三角形解析：三角形内角和定理是解答有关角的问题时最常用的定理， 是解决问题的突破口，本题欲证 EOF 是直角三角形， 只需证1 E F 90即可，而 E 2(180 1BCD)， F 2(180 ABC)，由AB CD

3、 可知 ABC BCD 180，即问题得证证明： BAF F， BAF F1ABF180，F2(1801 ABF)同理， E 2(180 ECD )1EF1802(ABF ECD ) AB CD， ABF ECD 1180 . E F 180 2 18090， EOF 是直角三角形第1页共3页方法总结： 由三角形的内角和定理可知一个三角形的三个内角之和为 180，如果一个三角形中有两个角的和为 90，可知该三角形为直角三角形探究点三： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半如图， ABC 中， AD 是高， E、 F 分别是 AB、 AC 的中点(1)若 AB 10，AC 8，求四边形 AEDF

4、 的周长；(2)求证： EF 垂直平分AD.解析：(1)根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DE AE 12AB，DF 1AF 2AC ，再根据四边形的周长的公式计算即可得解； (2)根据 “ 到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上 ”证明即可(1)解： AD 是高， E、 F 分别是 AB、11AC 的中点， DE AE 2AB 2 10 5，11DF AF2AC 2 84，四边形AEDF的周长 AEDEDF AF 5 5 44 18；(2)证明： DE AE，DF AF， E 是 AD 的垂直平分线上的点， F 是 AD 的垂直平分线上的点， EF 垂直平分 AD .方法总结

5、： 当已知条件含有线段的中点、直角三角形等条件时，可联想直角三角形斜边上的中线的性质， 连接中点和直角三角形的直角顶点进行求解或证明探究点四： 直角三角形性质的综合运用【类型一】利用直角三角形的性质证明线段关系如图，在 ABC 中， AB AC， BAC 120， EF 为 AB 的垂直平分线，交 BC 于 F，交 AB 于点 E.求证： FC 2BF.解析： 根据 EF 是 AB 的垂直平分线，联想到垂直平分线的性质，因此连接AF ，得到 AFB 为等腰三角形又可求得B C BAF 30，进而求得 FAC90 .取 CF 的中点 M，连接 AM ，就可以利用直角三角形的性质进行证明证明：如图

6、，取 CF 的中点 M，连接 AF、AM . EF 是 AB 的垂直平分线， AF BF. BAF B.AB AC ， BAC 1120 ， B BAF C 2(180120 ) 30 . FAC BAC BAF 90 .在 Rt AFC 中， C30， M 为 CF1的中点，AFM 60， AM 2FC1FM . AFM 为等边三角形 AF AM 21FC .又 BF AF， BF 2FC ，即 FC 2BF.方法总结： 当已知条件中出现直角三角形斜边上的中线时， 通常会运用到 “ 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ” 这个性质， 使用该性质时，要注意找准斜边和斜边上的中线【类型二】 利

7、用直角三角形的性质解决实际问题如图所示，四个小朋友在操场上做抢球游戏， 他们分别站在四个直角三角形的直角顶点A、 B、C、D 处，球放在EF 的中点 O 处，则游戏 _(填“公平”或“不公平” )解析： 游戏是否公平就是判断点A、B、C、D 到点 O 的距离是否相等四个直角三角形有公共的斜边 EF ，且 O 为斜边 EF 的中点连接 OA、OB、OC、OD .根据 “直角第2页共3页三角形斜边上的中线等于斜边的一半” 的1性质可知， OAOB OC OD 2EF ，即点A、B、C、D 到 O 的距离相等由此可得出结论：游戏公平方法总结： 题目中如果出现 “ 直角三角形 ” 和 “ 中点 ” 这

8、两个条件时， 应连接直角顶点与斜边中点， 再利用 “ 斜边上的中线等于斜边的一半的性质 ” 解题【类型三】 利用直角三角形性质解动态探究题如图所示， 在 Rt ABC 中，AB AC ， BAC 90， O 为 BC 的中点(1)写出点 O 到 ABC 的三个顶点A、B、C 的距离的数量关系；(2)如果点 M、N 分别在线段AB、AC 上移动，移动中保持 AN BM.请判断 OMN 的形状，并证明你的结论解析： (1) 由于 ABC 是直角三角形， O是 BC 的中点， 得 OA OBOC 1BC；(2) 2由于 OA 是等腰直角三角形斜边上的中线，因此根据等腰直角三角形的性质， 得 CAO

9、B 45，OA OB，又 ANMB ，所以 AON BOM ，所以 ON OM ， NOA MOB，于是有 NOM AOB 90，所以 OMN 是等腰直角三角形解：(1)连接 AO.在 Rt ABC 中，BAC1 90，O 为 BC 的中点， OA 2BCOB OC，即 OA OB OC；(2) OMN 是等腰直角三角形理由如下： AC BA，OC OB， BAC 90， OA OB，NAO 1 CAB B 45， 2AO BC，又 AN BM ， AON BOM ， ON OM ， NOA MOB ， NOA AOM MOB AOM ， NOM AOB 90， MON 是等腰直角三角形方法总结： 解决动态探究性问题，要把握住动态变化过程中的不变量， 比如角的度数、线段的长和不变的数量关系，比如斜边上的中线等于斜边的一半， 直角三角形两锐角互余三、板书设计1直角三角形的性质性质一：直角三角形的两锐角互余；性质二： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半2直角三角形的判定方法一： 一