一阶常微分方程解法总结材料

1、标准实用第一章一阶微分方程的解法的小结、可分离变量的方程：、形如dyf ( x)g ( y)dx当 g( y)dyf (x)dx ，两边积分即可得到结果；0 时，得到g( y)当 g( 0 )0 时，则 y(x)0 也是方程的解。例 1.1、 dy xy dx解：当 y0时，有 dyxdx ，两边积分得到 ln yx2C (C为常数 )y2x 2所以 yC1 e 2(C1为非零常数且 C1eC )y 0 显然是原方程的解；x2综上所述，原方程的解为yC1e 2(C1为常数 )、形如 M ( x) N ( y)dx P(x)Q( y)dy 0当 P( x) N ( y)0 时，可有 M (x)

2、dxQ ( y) dy ，两边积分可得结果；P(x)N ( y)当 N ( y0 )0 时， yy0 为原方程的解，当P(x ） 0 时，x x 为原方程的解。00例 1.2、 x( y21)dxy(x 21) dy0解：当 ( x21)( y21)0时，有y 2 dyx2xdx 两边积分得到1y1ln x21ln y21ln C(C 0) ，所以有 ( x21)( y21) C (C 0)；当 ( x21)( y21)0 时，也是原方程的解；综上所述，原方程的解为( x2 1)( y2 1) C (C为常数 ) 。可化为变量可分离方程的方程：、形如 dyg( y )dxx解法：令 uy ，则

3、 dyxduudx ，代入得到 x duug(u) 为变量可分离方程，得到xdx文案大全标准实用f (u, x, C)0(C为常数 ) 再把 u 代入得到 f ( y , x,C )0(C为常数 ) 。x、形如 dyG (axby ), (ab 0)dxadxdu1 dua解法：令 uaxby ，则 dyG (u) 为变量可分离方程，b，代入得到b dxb得到 f (u, x,C)0 (C为常数 ) 再把 u 代入得到 f (ax by, x, C) 0 (C为常数 ) 。、形如 dyf ( a1xb1 yc1 )dxa2 xb2 yc2解法： 10、a1b10 ，转化为 dyG (axby

4、) ，下同；a2b2dxa1b10 ，a1 x b1 y c10u x x020 、b2的解为 (x0 , y0 ) ，令v y y0a2a2 x b2 y c20v得到， dv(a1ub1v)a1b1 u)(v)，下同；ff(dua2u b2vvgua2b2u还有几类： yf ( xy)dxxg ( xy)dy0, u xyx2 dyf ( xy), v xydyxf (yydxdxx2 ), wx2M ( x, y)( xdxydy)N (x, y)( xdyydx)0, xr cos, yr sin以上都可以化为变量可分离方程。例 2.1、 dyxy5dxxy2解：令 ux y2 ，则

5、dyduu7dx du ，代入得到 1，有 udu7dxdxu所以 u2(C为常数 ) ，把 u 代入得到（ x y27 xC2）7 x C (C为常数 ) 。22例 2.2、 dy2xy1dxx2 y11u12xy10xxdydv解：由3 ，令3 ，有x2y1得到dx，代入得到01v1duyy33文案大全标准实用dv2uv2vu，令 tduu2v1v2u得到， du12tdtu2 2t2t 2v ，有 dvtdu udt ，代入得到 t u dt2t，化简udu12td (1tt 2 )ln( 1 t t2 )C (C为常数 ) ，2(1t，有 ln u2t 2 )所以有uC1(C ) ，故

6、代入得到x1C1, (C1 0)t 2，C1e31ty1123y13x113x3（3）、一阶线性微分方程：一般形式：) dya0()()a（1 xdxx yh x标准形式： dyP(x) yQ( x)dx解法： 1、直接带公式：y CeP( x)dxeP ( x) dxP ( x)dxP( x) dxP( x) dxC)eQ( x)dxe( eQ(x)dx2、积分因子法：y(x)1 ( x)Q ( x) dx C ， ( x) eP ( x) dx( x)dyP( x) yQ( x) ， y(x0 )y03、 IVP ：dxxxttP (s) dsxP ( s)dsP ( s)dsxP ( s

7、) dsye x0( Q (t)e x0dt y0 ) y0e x0Q (t)e x 0dtx0x0例 3、 ( x 1) dyny ex (x 1) n 1dx解：化简方程为：dynyex ( x1) n ，则 P(x)n , Q (x)ex ( x1)n ;dxx1x1( x)P ( x)dxndx( x 1)-n代入公式得到ee x1所以， y(x)( x1) n (x 1)n ex ( x1)n dxC ( x 1)n (exC )(C为常数 )(4) 、恰当方程：形如 M ( x, y)dxN (x, y)dy0,G( x, y), s.t. dGM ( x, y)dxN ( x,

8、y) dy解法：先判断是否是恰当方程：如果有M ( x, y)N ( x, y) 恒成立，那么原方程是个恰当方程，找出一个yx文案大全标准实用G ( x, y), s.tG( x, y)M ( X , y), G ( x, y)N ( x, y) ,xy有 G( x, y) C, (C为常数 ) ；例4、(3 26xy2 )dx(62y4y3 )dy0xx解：由题意得到，M (x, y)3x26xy2 , N ( x, y)6x2 y4 y3由 M12xyN 得到，原方程是一个恰当方程；yx下面求一个 G ( x, y), s.tG( x, y)M ( X , y),G ( x, y)N (

9、x, y)xy由 G( x, y)M ( X , y) 3x26xy2 得G x y)x332y2(y) ，两边对 y 求偏xx( ,导得到G6x2 y( y) 6x2 y4 y3 ，得到( y)4y3 ，有( y)y 4 ，y故 G( x, y)x33x2 y 2y4，由 dG0，得到x3x2 y 2y 4C, (C为常数)3(5) 、积分因子法：方程 M ( x, y)dxN ( x, y) dy 0,( x, y), s.t. Mdx Ndy 0是一个恰当方程 ，那么称 (x, y) 是原方程的积分因子；积分因子不唯一。MN当且仅当yx(x) ，原方程有只与 x 有关的积分因子，且为(

10、x, y)e( x)dxN，两边同乘以( x, y) ，化为恰当方程，下同(4) 。MN当且仅当yx( y) ，原方程有只与 y 有关的积分因子，且为( x, y)e( y )dyM，两边同乘以( x, y) ，化为恰当方程，下同(4) 。例 5.1、 (ex3y2 )dx2xydy 0文案大全标准实用解 ： 由Mx yexy2N x yxy得MN， 且 有( , )3,(,)2y6 y 2 y 4 yxMN2 dxyx(x)2x 2 ， 原 方 程 两 边 同 乘 x2， 有(x, y) e x， 得 到Nx2x23化为(222)x32) 0，得到解为x (e 3y )dx 2x y d y

11、 0,d xxex y( x22x2)exx3 y2C,(C为常数 )例 5.2、 ydx(xy 3 )dy0( ,),( ,)(3MN解: 由题意得到，) ，有M x y y N x yx yyx1(1)2MN2dyyx2( y )dyy 2 ，得有( y)，有( x, y)eeyy 2 ，原方程两边同乘My到dx(xy)dyd ( xy 2) 0 ，得到原方程的解为：yy 2y2xy2C,(C为常数 )y2(6) 、贝努力方程：形如 dyP( x) yQ( x) yn ,dx解法：令u y1 n，有du(1)ndu(1 n) P(x)u (1 n)Q(x)，下n y dy ，代入得到dx同

12、（ 3）例 6、 dy 6 y xy2dxx解：令uy1，有 duy2du6x，则6Q x)x，dy ，代入得到uP( x), (dxxxP ( x) dxx 6 x6 xdxx2C6 ,(C为常数 ) ，把 u 代入得有( x)ex6 ，u( x)C 8x1x2C到y8x6 , (C为常数 ) .(7) 、一阶隐式微分方程：一般形式： F ( x, y, y )0 ，解不出 y 的称为一阶隐式微分方程。文案大全标准实用下面介绍四种类型：(1) y f ( x, y )( 2) xf ( y, y )(3) F ( x, y )0(4) F ( y, y )0、形如yf(, dy )，xdx一

13、般解法：令pdyf ( x, p) ，两边对 x 求导得到 pff dp，代入得到 yx，这是dxp dx关于 x， p 的一阶线性微分方程，仿照(3) ，1、得出解为 p(x, C), C为常数 ，那么原方程的通解为yf ( x, ( x, C), C为常数2、得出解为 x( p,C), C为常数 ，那么原方程的通解为x( p, C)yf (, C为常数( p, C), p)3、得出解为(x, p, C)0, C为常数 ，那么原方程的通解为( x, p, C) 0y, C为常数f ( x, p)、形如xf(, dy )ydx一般解法：令 pdy ，代入有 xf ( y, p) ，两边对 y

14、求导，得到1ff dp ，此方dxpyp dy程是一阶微分方程，可以按照以上(1) (5) 求出通解( y, p,C )0, C为常数 ，那么原方程的通解为( y, p, C) 0x, C为常数f ( y, p)、形如 F ( x, y )0一般解法：设x(t)y dx(t )(t )dt，两边积分得到y,(t为参数 ) ， dy(t )y(t )(t)dtC , C为常数 ，于是有原方程的通解为y(t )(t )dt C ,C为常数x(t)文案大全标准实用、形如 F ( y, y )0y(t )y dx 得(t) dt(t )dx ， 有一般解法：设y,(t为 参 数) ， 由 关 系 式

15、dy(t )dx(t) dt ，两边积分得到x(t) dtC， C为常数 ，于是有(t)(t)(t )C ，C为常数x(t ) dty(t )例 7.1xy 31y解：令 py ，得到1p，两边对113(1p)dpxp3y求导，得到( p3p4)，pdy有 dy(23 )dp ，得到 y23C ,C为常数 ，于是通解为p2 p2p2p3x1pp3，C为常数23yCp2 p 2例 7.2yy 2 ey解：令 py ，得到 yp 2 ep，两边对 x 求导，得到p ( p22 p)ep dp ，有dxdx ( p2) epdp ，两边积分得到x( p 1)epC,C为常数 ，于是通解为x( p1)

16、epC, C为常数y p2 ep例 7.3x 2y 21xcos ty dxsin t(sin t )dtcos2t1 dt ，所以解：设y, 有 dysin t2ysin 2ttC , C为常数42于是通解为文案大全标准实用ysin 2ttC ,C为常数42xcost例 7.4 y 2 (1y 2 ) 1ysin tdysin t1dt解：设1 , 有 dxdtycos2 tsin td( tan t) ，所以ycostcos2 txtan tC, C为常数于是通解为x tan t C1 ,C为常数ycost(8) 、里卡蒂方程：一般形式： dyP()2()y(x)dxx yQxR1dydy01dz一般解法：先找出一个特解y0(x) ，那么令 yy0，有dxdxz2，代入原方zdx程得到dy01dzP( x)( y01 )2Q(x)( y01)R(x) ，dxz2dxzz化简得到dz(2P(x) y0Q (x) zP( x)