中考数学专题复习圆压轴八大模型题-弧中点的运用

1、Word资料(图2)垂足为点D,连接BE弦BE与线段CD相交于点F.(1)求证：CF= BF;4,(2)若cos/ABE= ,在AB的延长线上取一点5M,使BM=4,。的半径为6.求证:圆压轴题八大模型题(一)泸州市七中佳德学校易建洪引言：与圆有关的证明与计算的综合解答题，往往位于许多省市中考题中的倒数第二题的位置上，是试卷中综合性与难度都比较大的习题。一般都会在固定习题模型的基础上变化与括展，本文结合近年来各省市中考题，整理了这些习题的常见的结论，破题的要点，常用技巧。把握了这些方法与技巧，就能台阶性地帮助考生解决问题。类型1弧中点的运用 在。中，点C是AD的中点，CEE AB于点E.(1)

2、在图1中，你会发现这些结论吗？ AP= CP= FP; CH=AD;-2 AC = APAD= CF CB= AE AB.(2)在图2中，你能找出所有与 ABC相似的三角形吗?【分析】(1)由等弧所对的圆周角相等及同角或等角的余角相等得：/ CAD= Z B=Z ACE/ PCF= / PFC所以 AP= CP= FP一 , C c c(1)由垂径定理和弧中点的性质得，DC = AC = AH,.一 .一 c C 再由弧叠加得： CH=AD,所以CH=AD.2(1)由共边角相似易证：ACEs ABCACPs ADC, ACFs BCA进而得 AC =_2_2AEAB；AC=APAD；AC =

3、CFCB；(2)垂径定理的推论得：C0，AD,易证：Rt ABCs RtA ACE RtACBE RtAACF RtA BDFs RtMCGs RtA CGF此外还有RtA APK RtAAOG RtA ABM RtA CPG运用这些相似三角形可以解决相关的计算与证明题.建议：将下列所有例题与习题转化到图1或图2上观察、比较、思考和总结。【典例】点 C, E在OO, BC = CE, CDAB,(2018 湖南永州)如图，线段AB为。的直径,直线CM是。O的切线.【分析】（1）延长CD与圆相交，由垂径定理得到 的 二前再由前=而得到底=前=前，等弧所对的 角相等，等角对等边。（2）由垂径定理的

4、推论得 OCBE再由锐角三角函数得到边 BH、OH的长度，由对应边成比例得 BE/ CM,由/ MCO=（图4）/BHO=90证得结论。证明：（1）延长CD交。于G,如图,. CDXAB, . BC=B?,BC= CE, CE= BG, ./ CBE= / GCB,CF= BF；（2）连接OC交BE于H,如图，bc=ce|, ocb在 RtAOBH 中，cos/ OBH=；OC ONOHBAOCM, ./ OCM = Z OHB=90 ,.OCCM, 直线CM是。的切线.【点拔】弧中点得到弧等、弦等、圆周角等，进一步引出角平分线、垂径定理、相似三角形。再 结合勾股定理、同角或等角的余角相等、中

5、位线定理，垂径定理、相似三角形的性质定理。 可以组合出综合性比较强的有关的习题组。抓边等角等是关键，要善于分解图形。【变式运用】1. （2018 四川宜宾）如图，AB是半圆的直径,AC是一条弦，D是AC的中点，DE，AB于点E且DE交AC于点F, DB交AC于点G,若用=?,AE 4图9(图 1-3)2. (2010 泸州)如图，在平行四边形 ABCD中，E为BC边上的一点，且 AE与DE分别 平分/BAD和/ADC。(1)求证：AE DE; (2)设以AD为直径的半圆交 AB于F,连接 DF交 AE于 G,已知 CD= 5, AE= 8,求FG值 AF(1) 证明：在 ABCD中，. AB/

6、CD,BAD+/ADC=180 AE与 DE平分 / BAD和/ADC. / EAD= 1 / BAD, / EDA= 1 / ADC, 22AED= 180 - (/ EAD+ / EDA)一。，1 , _ _1 , 一、=180 ( -Z BAD+ / ADC) 22。1=180 - - (/ BAD+ /ADC)=180 - 90 =90.-.AE DE(2)解：在 ABCD中，: AD/ BC EAD= / AEB,且/ BAE= / DAE. / BAE= / AEB, ： AB= BE, 同理：DC= EC= 5又. AB= DC, AB=BE= DC= EC= 5, ：BC= A

7、D=10在RtAED中，由勾股定理可得：DE= AD2 AE2102 82 6. /BAE= /EAD, Z AFD= /AED=90. AF8 AAED,AF AE 8 4 - - FG ED 633. (2012 泸州)如图，4ABC内接于OO, AB是。O的直径，C是AD的中点，弦CE!AB于点H,连结AD,分别交CE、BC于点P、Q,连结BD。(1)求证：P是线段AQ的中点；15(2)若。的半径为5, AQ= 2 ,求弦CE的长。(1)证明：: AB是。的直径，弦C曰AB,C CCC C .AC=AE.又. C 是 AD 的中点，AC=CD,c cAE=CD. ./ ACP= / CA

8、P.PA=PC, AB 是直径./ ACB= 90 ./ PCQ= 90 / ACP, / CQP= 90 / CAP, ./PCQ=/CQP. PC= PQ. .PA=PQ,即P是AQ的中点；,一 c c(2)解：AC=CD,CAQ = /ABC.又ACQ=/ BCA, CAQs CBA.AC AQ 5 3BC AB 10 4又 AB= 10, AC=6, BC=8.根据直角三角形的面积公式，得：AC?BC= AB?CH,.CH= 24 ,又. CH=HE,5c c 48.CE=2CH=.54. (2014?泸州)如图，四边形 ABCD内接于。O,6X8=10CH.AB是。O的直径，AC和B

9、D相交于点E,2且 DC = CE?CA .(1)求证：BC=CD；(2)分别延长 AB, DC交于点P,过点A作 AFL CD交CD的延长线于点 F,若PB= OB, CD= 2 72,求 DF 的长.2(1)证明：DC =CE?CA,DC CA , CD CAD,CE DC./CDB= / DAC, 四边形 ABCD 内接于O O,1 .BC=CD；(图 1-5)(2)解：方法一：如图，连接 OC,. BC=CD,/ DAC = / CAB,又AO = CO, ./ CAB=/ ACO, ./ DAC=/ ACO,2 .AD / OC,PCPDPOPA -. PB=OB, CD = 2 V

10、2 ,F图aPC 2PC 2.23PC=4 . 2又. PC?PD=PB?PAWord资料.4 2? ? （472 +272） = OB?3OB.OB=4,即 AB=2OB= 8, PA= 3OB=12, 在 RtAACB中，AC= Jab2 bc2 褥（2应）2 2万,. AB 是直径，./ ADB=/ACB=90 / FDA+ / BDC= 90 ,/ CBA+ / CAB= 90/BDC= / CAB, / FDA= / CBA,又./ AFD= / ACB=90, .AFDs ACBAF AC 2 147FD CB 2 2图b在 RtAAFP中，设 FD=x,则 AF= x ,在 Rt

11、AAPF中有，（77x）2 （x 6亚）2 122,3 .2 求得DF=.2方法二；连接 OC,过点。作OG垂直于CD,PC PO易证 PCO PDA,可得 ，PD PAPG POAPGOA PFA,可得 ，PF PA可得,PCPDPGPF,由方法一中PC= 4 J2代入PCPC 2.2PC 2PC 2.2 DF即可得出DF=3.225. (2015?泸州)如图， ABC内接于O O, AB= AC, BD为O O的弦，且 AB/ CD,过点A作 OO的切线AE与DC的延长线交于点 E, AD与BC交于点F.(1)求证：四边形 ABCE是平行四边形；(2)若 AE= 6, CD=5,求 OF

12、的长.【解答】（1）证明：AE与OO相切于点A, ./ EAC= / ABC, AB=AC ./ABC= / ACB,/ EAC= /ACB, .AE/BC, AB/ CD, 四边形ABCE是平行四边形；(2)解：如图，连接 AO,交BC于点H,双向延长 OF分别交AB, CD与点N, M,.AE是。O的切线， 2由切割线定理得， AE = EC?DE,AE= 6, CD=5,.-62=CE （CE+ 5）,解得：CE= 4,（已舍去负数），由圆的对称性，知四边形 ABDC是等腰梯形，且 AB=AC= BD=CE= 4,又根据对称性和垂径定理，得AO垂直平分BC,设 OF=x, OH = y,

13、 FH=z,. AB=4, BC=6, CD=5,1 BF= BC FH= 3 z2-1 -DF=CF= -BC+ FH=3+ z, 2易得 OFHsA DFMA BFN, DF DMBF BM一 ， ，OF OHOF OH5,3 z 23 z 2即-,，x yx yMN垂直平分 AB, DC,图c 口 6+得：一x6 _9解x 2y得3 z 53 z 434X .222,- x =y + z ,139 2-x164 7x=21,，OF=4.21（图 1-7）解：(1)如答图，连接 PB,6.如图，AB是。O的直径，C、P是弧AB上的两点，AB= 13, AC= 5.(1)如图，若P是弧AB的

14、中点，求PA的长；(2)如图，若P是弧BC的中点，求PA的长. AB是OO的直径且P是AB的中点， ./PAB= / PBA= 45 , ZAPB=90又在等腰三角形 ABC中有AB=13,(2)如答图，连接 BC,与OP相交于M点，作PHLAB于点H, . P 点为 BC 的中点，OPLBC, /OMB=90又AB 为直径，./ ACB= 90. /ACB=/ OMB. OP/ AC. .Z CAB= / POB.又. /ACE / OHP= 90 , . AACE0HP.AB AC13Op= oh又, AB= 13，AC= 5,OP= 5,解得OH = 2 .AH=OA+OH = 9. 在 RtA OPH 中，有，在RtA AHP中有.PA=7.如图，AABC内接于OO,且AB为OO的直径./ ACB的平分线交 OO于点D,过点D作OO 的切线PD交CA的延长线于点 P,过点A作AE，CD于点E,过点B作BH CD于点F.(1)求证：DP/AB；(2)若AC=6, BC= 8,求线段 PD的长.