全等三角形的提高拓展训练经典题型50题(含答案)

1、全等三角形的提高拓展训练知识点睛全等三角形的性质： 对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等.寻找对应边和对应角，常用到以下方法：(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边.(2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角.(3)有公共边的，公共边常是对应边.(4)有公共角的，公共角常是对应角.(5)有对顶角的，对顶角常是对应角.(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角).要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键.全等

2、三角形的判定方法：(1)边角边定理(SAS):两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.(2)角边角定理(ASA):两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.(3)边边边定理(SSS：三边对应相等的两个三角形全等.(4)角角边定理(AAS):两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.(5)斜边、直角边定理(HL)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线.拓展关键点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系.而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相

3、等是几何证明的基础.例题精讲板块一、截长补短【例1】(06年北京中考题)已知 ABC中，A 60°, BD、CE分别平分 ABC和.ACB , BD、CE交于点O,试判断BE、CD、BC的数量关系，并加以证明.页脚【例2】 如图，点 M为正三角形 ABD的边AB所在直线上的任意一点(点B除外),作MBEDMN 60 ,射线MN与/DBA外角的平分线交于点 N , DM与MN有怎样的 量关系?【变式拓展训练】如图，点 M为正方形 ABCD的边AB上任意一点, 于点N , MD与MN有怎样的数量关系？MN DM且与/ABC外角的平分线交【例4】 以 ABC的AB、AC为边向三角形外作等边

4、于点O .求证：OA平分 DOE .ABD、 ACE ,连结 CD、BE 相交【例3】 已知：如图， ABCD是正方形，/FAD=/FAE求证：BE+ DF=AE.【例5】（北京市、天津市数学竞赛试题）如图所示， ABC是边长为1的正三角形， BDC是顶角为120的等腰三角形，以 D为顶点作一个60的 AB、AC上，求 AMN的周长.MDN，点M、N分别在【例 6】 五边形 ABCDE中，AB=AE, BC+DE=CD, /ABC+/AED=180 , 求证：AD平分/CDE板块二、全等与角度 【例7】如图，在 ABC中, 求 ABC的度数.BAC 60 , AD 是 BAC 的平分线，且 A

5、C AB BD ,【例8在等月ABC中，AB AC ,顶角 A 20 ,在边AB上取点D ,使AD BC , 求 BDC .AM【例9】（“勤奋杯”数学邀请赛试题）如图所示，在 ABC中，AC BC, C 20 ,又M 在AC上，N在BC上，且满足 BAN 50 , ABM 60 ,求 NMB.【例10】在四边形ABCD中，已知 AB AC, ABD 60 , ADB 76 , BDC 28 , 求 DBC的度数.【例11】（日本算术奥林匹克试题）如图所示，在四边形ABCD中， DAC 12 , CAB 36 , ABD 48 , DBC 24 ,求 ACD 的度数.【例12（河南省数学竞赛试

6、题）在正ABC内取一点D ,使DA DB , 在 ABC 外取一点 E,使 DBE DBC ,且 BE BA,求 BED.【例13（北京市数学竞赛试题）如图所示，在 ABC中，BAC BCA 44 , M为ABC 内一点，使得MCA 30 , MAC 16 ,求 BMC的度数.全等三角形证明经典20题1.已知：AB=4, AC=2 , D是BC中点，AD是整数，求 AD（含答案）延长 AD至ij E使DE=AD,则三角形ADC全等于三角形EBD即 BE=AC=2 在三角形 ABE 中,AB-BE<AE<AB+BE即：10-2<2AD<10+2 4<AD<6又

7、AD是整数，则AD=52.已知：/ 1=Z2, CD=DE, EF/AB,求证：EF=AC 证明：过E点，作EG/AC ,交AD延长线于 G则/ DEG=Z DCA, / DGE=/2又 CD=DE ./ADCEGDE (AAS)EG=AC EF/AB ./ DFE=Z 11=/2 ./ DFE=Z DGE.EF=EGEF=AC3.已知：AD 平分/ BAG, AC=AB+BD ,求证：/ B=2 / C证明：在AC上截取 AE=AB ,连接ED. AD 平分/ BAG ./ EAD=Z BADX / AE=AB, AD=AD /AEDIABD (SAS)，/AED=/B, DE=DB .AC

8、=AB+BDAC=AE+CE.CE=DE ./ C= Z EDC / AED= / C+ / EDC=2 / C ./ B=2 ZC4. 已知：AC 平分 / BAD, CE± AB, /B+/D=180° ,求证：AE=AD+BE 证明：在AE上取F,使EF= EB,连接CF因为CE±AB所以/ CEB= / CEF= 90°因为 EB= EF, CE= CE,所以 CE® CEF所以/ B=Z CFE因为/ B+/D=180°, / CFE+ Z CFA= 180所以/ D=Z CFA因为AC平分/ BAD所以/ DAC=Z FA

9、C又因为ac=ac所以 ADCA AFC (SAS)所以AD= AF所以 AE= AF+ FE= AD + BE5. 如图，四边形 ABCD中，AB/ DC, BE、CE分别平分/ ABC、/ BCD,且点E在AD上。 求证：BC=AB+DC 。证明：在BC上截取BF=BA,连接EF./ ABE= / FBE,BE=BE贝UABE AFBE(SAS)/ EFB= /A;AB 平行于 CD,则:ZA+Z D=180 °又/ EFB+Z EFC=180 ,则/ EFC=Z D;B又/ FCE=Z DCE,CE=CE故/ FCE ADCE(AAS),FC=CD.所以，BC=BF+FC=AB

10、+CD.6.已知，E是 AB 中点，AF=BD ,BD=5 ,AC=7 ,求 DC作AG / BD交DE延长线于 GAGE全等BDE页脚AGFs所以cZABC= Z ACB;AG=BD=5CDFAF=AG=5DC=CF=27. （5 分）如图，在 ABC 中，BD=DC, /1=/2,求证：AD，BC.延长AD至H交BC于H;BD=DC;所以：/ DBC= /角 DCB;/ 1= /2;/ DBC+ / 1= /角 DCB+ / 2;所以:AB=AC;三角形ABD全等于三角形 ACD;/ BAD= / CAD;AD是等腰三角形的顶角平分线 所以：AD垂直BC8. （5 分）如图，OM 平分/

11、POQ, MA±OP,MB±OQ, A、B 为垂足，AB 交 OM 于点 N.求证：/ OAB=/OBA因为AOM与MOB都为直角三角形、共用 OM ,且/ MOA= / MOB所以MA=MB所以/ MAB= / MBA因为/ OAM= Z OBM=90 度所以/ OAB=90- /MAB Z OBA=90- Z MBA所以/ OAB= / OBA9. （5分）如图，已知 AD/BC, /PAB的平分线与/ CBA的平分线相交于 E, CE的连线交AP于D.求证:AD+BC=AB.证明：做BE的延长线，与AP相交于F点， PA/BC ./ PAB+ ZCBA=180

12、76;,又,，AE, BE均为/ PAB和/ CBA的角平分线 / EAB+ / EBA=90°.,.Z AEB=90°, EAB 为直角三角形 在三角形 ABF中，AEXBF,且AE为/ FAB的角平分线三角形FAB为等腰三角形，AB=AF,BE=EF在三角形DEF与三角形BEC中，/EBC=/DFE且 BE=EF, /DEF=/CEB,三角形DEF与三角形BEC为全等三角形， DF=BCAB=AF=AD+DF=AD+BC10. （6分）如图， ABC中,AD是/ CAB的平分线，且 AB=AC+CD,求证：/ C=2 / B 证明：在 AB上找点E,使AE=AC. AE

13、=AC , / EAD= / CAD, AD=AD ADEA ADCo DE=CD , / AED= / C. AB=AC+CD , DE=CD=AB-AC=AB-AE=BE/B= / EDB/ C= / B+ / EDB=2 / B11 . （7分）如图，BABC中，/ BAC=90度，AB=AC, BD是/ABC的平分线，BD的延长 线垂直于过 C点的直线于E,直线CE交BA的延长线于F.求证：BD=2CE.证明：延长BA、CE,两线相交于点 F BEIGEBEF=Z BEC=90°在 BEFA BEC中/ FBE=Z CBE, BE=BE, / BEF=Z BEC . BEH

14、BEC(ASA).EF=EC.CF=2CE / ABD+ / ADB=90，/ ACF+ / CDE=90 ° 又. / ADB= Z CDE/ ABD= / ACF在 ABD和 ACF中/ ABD= / ACF, AB=AC, / BAD= / CAF=90 ABDA ACF(ASA)BD=CFBD=2CE12、（10分）如图：AE、BC交于点 M, F点在AM上，BE/ CF, BE=CF。求证：AM是 ABC的中线。证明： .beICf./ E=ZCFM, / EBM= Z FCM .BE=CF . BEMA CFM .BM=CM .AM是 ABC的中线.13、（10分）AB=

15、AC , DB=DC , F是AD的延长线上的一点。求证： BF=CF证明：在 ABD与/ ACD中AB=ACBD=DCAD=ADABDA ACD/ ADB= / ADC ./ BDF=Z FDC在 BDFA FDC 中页脚BD=DC/ BDF=Z FDCDF=DF . FBD 仁 FCDBF=FC14、（12 分）如图： AB=CD, AE=DF, CE=FB。求证: AF=DE。因为AB=DCAE=DF,CE=FBCE+EF=EF+FB所以三角形ABE二三角形CDF因为角DCB二角 ABFAB=DC BF=CE三角形ABF二三角形CDE所以AF=DEDCABF15.已知：如图所示， AB

16、= AD, BC=DC, E、F分别是 DC、BC的中点，求证： AE=AF。连结BD,得到等腰三角形 ABD和等腰三角形BDC,由等腰两底角相等得：角 ABC二角ADC在结合已知条件证得： ADEA ABF页脚得 AE=AF16.如图，在四边形 ABCD中，E是AC上的一点，/ 1=/2, /3=/4,求证：/ 5= / 6.又因为AC是公共边，所以角形ABC.所以BC等于DC,角3等引三角形DEC全等于三角形所以/ 5=7 617.已知：如图，AB=AC,AAS=> 三角形 ADC 全Q三A /5 、: ' C二角 4,EC=ECbBECBD AC, CE AB,垂足分别为

17、D、E, BD、CE相交十点 F,求因为角1二角2/3=/4所以角ADC二角ABC._证明：因为 AB=AC,所以 / EBC=Z DCB因为 BDXAC, CE±AB所以 / BEC=Z CDBBC=CB （公共边）则有三角形EBC全等于三角形 DCB所以BE= CD18.如图，在 ABC中，AD为/ BAC的平分线，B EADE± AB 于 E, DF± AC于 F。求证：DE=DF.AAS 证AD EA ADF19.在 ABC 中， ACB 90 , AC BC , BE MN于E .(1)当直线MN绕点C旋转到图MN .上1的位置时，求证:B ADC且 C

18、EB ； DE AD BE ；（2）当直线MN绕点C旋转到图 若不成立，说明理由.页脚2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；图1'中图2M(1)证明：ACB=90 °, ./ ACD+ / BCE=90 °,而 AD，MN 于 D, BEX MN 于 E, ./ADC= / CEB=90 °, Z BCE+Z CBE=90 °,/ ACD= / QBE.在 RtA ADC 和 RtA CEB 中，/ ADC= / CEB/ ACD= / CBE AC=CB, RtA ADCRtACEB (AAS), .AD=CE, DC=BE, .DE=DC+CE=BE+AD ;(2)不成立，证明：在 ADC 和 CEB 中，/ADC=/CEB=90 °/ACD= / CBE AC=CB, ADCACEB (A