二次函数知识点总结材料及典型例题

1、实用文案浙教版九年级上册二次函数知识点总结及典型例题知识点一、二次函数的概念和图像1 、二次函数的概念一般地，如果2( , ,是常数，0)，特别注意a 不为零，那么 y 叫做 x 的二次函数。yaxbxc a b cay ax2bx c( a, b, c是常数， a 0) 叫做二次函数的一般式。2、二次函数的图像二次函数的图像是一条关于 xb 对称的曲线，这条曲线叫抛物线。2a抛物线的主要特征：有开口方向；有对称轴；有顶点。3、二次函数图像的画法-五点作图法 ：（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴（2）求抛物线 yax2bxc 与坐标轴的交点：

2、当抛物线与 x 轴有两个交点时，描出这两个交点A,B 及抛物线与 y 轴的交点 C，再找到点 C 的对称点 D。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。当抛物线与 x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y 轴的交点 C 及对称点 D。由 C、M、 D 三点可粗略 地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A、 B，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。【例 1 】、已知函数 y=x 2-2x-3，（ 1）写出函数图象的顶点、图象与坐标轴的交点，以及图象与y 轴的交点关于图象对称轴的对称点。然后画出函数图象的草图；（ 2）求图象与

3、坐标轴交点构成的三角形的面积：（ 3）根据第（ 1）题的图象草图，说出 x取哪些值时，y=0 ； y<0 ； y>0知识点二、二次函数的解析式二次函数的解析式有三种形式：口诀-一般 两根 三顶点（1）一般一般式：yax2bx(, , 是常数，a0)c a b c（2） 两根当抛物线 yax2bxc 与 x 轴有交点时，即对应的一元二次方程ax 2bxc 0有实根 x1和x2 存在时， 根据二次三项式的分解因式ax 2bxca(x x1 )( xx2 ) ，二次函数 yax2bxc 可转化为两根式y a(x x1 )( x x2 ) 。如果没有交点，则不能这样表示。a 的绝对值越大，

4、抛物线的开口越小。（ 3）三顶点顶点式：()2( , ,是常数，a0) 当题目中告诉我们抛物线的顶点时，我y a xhk a h k们最好设顶点式，这样最简洁。标准实用文案【例 1 】、抛物线 yax 2bxc 与 x 轴交于 A（1， 0）， B（ 3， 0）两点，且过（ -1 ， 16），求抛物线的解析式。【例 2】、 如图，抛物线yax2bxc 与 x 轴的一个交点A 在点（ -2 ， 0）和（ -1 ， 0）之间（包括这两点） ，顶点 C是矩形 DEFG上（包括边界和内部）的一个动点，则（1） abc0（或或 =）（ 2）a 的取值范围是【例 3 】、下列二次函数中，图象以直线x =

5、2 为对称轴，且经过点(0，1)的是 ()A y = ( x - 2) 2 + 1B y = ( x + 2) 2 + 1C y = ( x - 2) 2 - 3D y = ( x + 2) 2 - 3知识点三、二次函数的最值如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当 xb时， y最值4ac b2。2a4a如果自变量的取值范围是x1xx2 ，那么，首先要看bx1xx2 内，若在此范围内，是否在自变量取值范围2a则当 x=b时， y最值4acb 2；若不在此范围内，则需要考虑函数在x1 xx2 范围内的增减性，如果在此范2a4a围内， y 随 x 的增大而增大，

6、则当xx2 时， y最大ax22bx2c ，当 xx1 时， y最小ax12bx1c ；如果在此范围内， y 随 x 的增大而减小，则当xx1 时， y最大ax12bx1c ，当 xx2 时， y最小ax22bx2c 。【例 1】、已知二次函数的图像（0 x 3）如图所示 , 关于该函数在所给自变量取值范围内,y下列说法正确的是 ( )3A有最小值 0，有最大值 3B有最小值 1, 有最大值 0C有最小值 1, 有最大值 3D有最小值 1, 无最大值1【例 2】、某宾馆有 50 个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天l80元时，房间会全部住满O2 3 x当每个房间每天的房价每增加10 元时，

7、就会有一个房间空闲宾馆需对游客居住的每个房间每- 1天支出 20元的各种费用根据规定，每个房间每天的房价不得高于340 元设每个房间的房价每天增加x 元 (x 为 10的正整数倍 ) （ 1）设一天订住的房间数为y，直接写出 y 与 x 的函数关系式及自变量x 的取值范围；（ 2）设宾馆一天的利润为 w 元，求 w与 x 的函数关系式；（ 3）一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大? 最大利润是多少元 ?标准实用文案知识点四、二次函数的性质1 、二次函数的性质二次函数函数ax 2bx c(a,b, c是常数， a 0)ya>0a<0yy图像0x0x（ 1）抛物线开口向上，并向上无限延

8、伸；（ 1）抛物线开口向下，并向下无限延伸；（ 2）对称轴是 x=b（ 2）对称轴是 x=b，2a2a顶点坐标是（b4acb2）；顶点坐标是（b4acb 2）；2a，4a2a，4a（ 3）在对称轴的左侧，即当xb（ 3）在对称轴的左侧， 即当 xb时， y 随 x时， y 随性质2a2abx 的增大而增大；在对称轴的右侧，即当x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当 x2ab时， y 随 x 的增大而增大，简记左减右增；时，y 随 x 的增大而减小， 简记左增右减；2a（ 4）抛物线有最低点，当x=b（ 4）抛物线有最高点，当x=b时， y 有最小时， y 有最2a2a值， y最小值4acb 2大

9、值， y最大值4acb 24a4a2、二次函数2(, 是常数，0) 中， a、 b、 c 的含义：yaxbxac a bca 表示开口方向： a >0 时，抛物线开口向上a <0 时，抛物线开口向下b 与对称轴有关：对称轴为x=b2ac 表示抛物线与y 轴的交点坐标： （ 0， c ）3、二次函数与一元二次方程的关系一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x 轴的交点横坐标。因此一元二次方程中的b 24ac ，在二次函数中表示图像与x 轴是否有交点。当 >0 时，图像与当 =0 时，图像与当 <0 时，图像与x 轴有两个交点；x 轴有一个交点；x 轴没有交点。标准实用

10、文案【例 1】、抛物线y=x2-2 x-3 的顶点坐标是.【例 2】、二次函数yx 22x5有 ()A 最大值5B最小值5 C 最大值6D 最小值6【例 3】、由二次函数y2(x3) 21 ，可知（）A其图象的开口向下B其图象的对称轴为直线x3 C其最小值为1D当 x3 时， y 随 x 的增大而增大【例 4】、已知函数y(k3) x22 x1的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是 ()A. k4B. k4C. k4 且 k3D. k4 且 k3【例 5】、下列函数中, 当 x>0 时 y 值随 x 值增大而减小的是（）231A y = xB y = xC y = 4 xD y = x

11、【例 6】、若二次函数y( xm)21 当 x l 时， y 随 x 的增大而减小，则m 的取值范围是（）A m =lB m >lC m lD m l知识点五、二次函数图象的平移2 对于抛物线y=ax +bx+c 的平移通常先将一般式转化成顶点式2y a x hk ，再遵循 左加右减 ，上加下减 的的原则化为顶点式有两种方法：配方法，顶点坐标公式法。在用顶点坐标公式法求出顶点坐标后，在写顶点式时，要减去顶点的横坐标，加上顶点的纵坐标。y axbxc沿 y 轴平移：向上（下）平移myaxbxc变成yaxbxc m2（m 0）个单位，22（或 yax2bxcm ） 当然，对于抛物线的一般式平

12、移时，也可以不把它化为顶点式yax2bxc ：向左（右）平移 m（ m 0）个单位， yax2bxc 变成 ya(xm) 2b( xm)c （或y a(xm)2b( xm) c ）【例 1】、将抛物线 yx2 向左平移2 个单位后，得到的抛物线的解析式是()A y( x 2) 2B yx22 C y( x 2)2D yx22【例 2】、将抛物线 y=x 2 2x 向上平移3个单位 , 再向右平移 4 个单位等到的抛物线是_.【例 3】、抛物线 yx2 可以由抛物线y2()x 23 平移得到 , 则下列平移过程正确的是A. 先向左平移2 个单位 , 再向上平移3个单位B. 先向左平移2 个单位

13、, 再向下平移3个单位C. 先向右平移2 个单位 , 再向下平移3个单位D. 先向右平移2 个单位 , 再向上平移3个单位【补】抛物线 y=2x2-3x-7在 x 轴上截得的线段的长度为_【公式】抛物线y=ax 2+bx+c 在 x 轴上截得的线段的长度为 _标准实用文案知识点六、抛物线 yax2bx c 中， a 、b、 c 的作用（ 1） a 决定开口方向及开口大小，这与y ax2中的 a 完全一样 .（ 2） b 和 a 共同决定抛物线对称轴的位置. 由于抛物线 yax2bx c 的对称轴是直线 xb，故： b0 时，对称轴为 y 轴； by 轴左侧； b2a0 （即 a 、 b 同号）

14、时，对称轴在0 （即 a 、 b 异号）时，对称轴在y 轴右aa侧 . 口诀 - 左同，右异 （ a、b 同号，对称轴在 y 轴左侧）（ 3） c 的大小决定抛物线y ax2bxc 与 y 轴交点的位置 .当 x0 时， yc ，抛物线yax2bx c 与 y 轴有且只有一个交点（ 0， c ）： c0 ，抛物线经过原点 ; c0 , 与 y 轴交于正半轴； c 0 , 与 y 轴交于负半轴 .以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立. 如抛物线的对称轴在y 轴右侧，则b0 .a【例 1 】、如图为抛物线2yaxbxc的图像， A、 B、C 为抛物线与坐标轴的交点，且= =1OA OC ，则下列

15、关系中正确的是( )A ab= 1B a b= 1Cb<2aD ac<0【例 2 】、已知抛物线y ax2 bx c(a 0) 在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中正确的是()A a>0B b 0C c 0D a b c>0【例 3 】、如图所示的二次函数yax2bxc 的图象中， 刘星同学观察得出了下面四条信息：（1） b24ac0 ；（2）c>1；（3） 2a b<0；（ 4）a+b+c<0。你认为其中错误的有 ()A 2 个B 3 个C4 个D 1 个【例 4 】、如图， 二次函数 y=ax 2+bx+c 的图象与y 轴正半轴相交， 其

16、顶点坐标为1 ,1 ，下列结论： ac 0； a+b=0；2 4ac b2=4a； a+b+c0. 其中正确的个数是（） A. 1B. 2C. 3D. 4【例 5 】、如图，是二次函数y ax2 bx （c a 0）的图象的一部分， 给出下列命题： a+b+c=0； b 2a； ax2+bx+c=0的两根分别为 -3 和 1； a-2b+c 0其中正确的命题是（只要求填写正确命题的序号）【例 6 】、如图，平面直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，则下列关系正确的是（）A m n， k hB m n ，k hC m n，k hD mn， k h标准实用文案知识点七、中考二次函数压轴题中常用到

17、的公式（浙教版教材上没讲过，但是非常有用，一定要理解性地记忆）1、两点间距离公式：如图：点A 坐标为（ x， y），点 B 坐标为（ x， y ），则 AB 间的距离，即线段AB 的长度为11222y1y22（这实际上是根据 勾股定理 得出来的）yBx1 x2y22、中点坐标公式：如图，在平面直角坐标系中，A、B 两点的坐标分别为A(x1，y1 ) ，yPPy2y1AB(x2， y2 ) ，中点的坐标为p，p由p12p ，得px1y1x2x1ABP( xxxxxx2 ，y)x2x1xxxOpy1y2，所以 AB的中点坐标为x1x2y1y2)2同理 yp(，2223、两平行直线的解析式分别为：y

18、=k 1x+b1， y=k 2x+b2，那么 k1=k2，也就是说当我们知道一条直线的k 值，就一定能知道与它平行的另一条直线的k 值。4、两垂直直线的解析式分别为：y=k 1x+b1， y=k 2x+b2，那么 k1× k2=-1 ，也就是说当我们知道一条直线的k 值，就一定能知道与它垂直的另一条直线的k 值。（对于这一条，只要能灵活运用就行，不需要理解 ）以上四条，我称它们为坐标系中的“四大金刚 ”【例 1 】、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+2x+3 与 x 轴交于 A B 两点，与 y 轴交于点 C，点 D是该抛物线的顶点（ 1）求直线 AC的解析式及 B D 两点

19、的坐标；（ 2）点 P 是 x 轴上一个动点，过 P 作直线 l AC交抛物线于点 Q，试探究：随着 P 点的运动，在抛物线上是否存在点Q，使以点A P、 Q、 C 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由（ 3）请在直线AC上找一点M，使 BDM的周长最小，求出M点的坐标【例 2 】、如图，已知抛物线 y= x2+bx+c 与一直线相交于 A（ 1，0），C（ 2，3）两点，与 y 轴交于点 N其顶点为 D（1）求抛物线及直线 AC的函数关系式；（ 2）设点 M（ 3， m），求使 MN+MD的值最小时 m的值；（ 3）若抛物线的对称轴与直线

20、AC相交于点 B，E 为直线 AC上的任意一点， 过点 E作 EF BD交抛物线于点 F，以 B，D，E， F 为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E 的坐标；若不能，请说明理由；（ 4）若 P 是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求APC的面积的最大值标准实用文案【例 3】、如图，抛物线 y1 x 23 x 4 与 x 轴交于 A，B 两点（点 B 在点 A 的右边），与 y 轴交于 C，连接 BC，以42BC为一边，点 O为对称中心作菱形BDEC，点 P 是 x 轴上的一个动点，设点P 的坐标为（ m， 0），过 P 作 x 轴的垂线 l交抛物线于点 Q。（ 1）求点 A、 B、

21、C 的坐标；（ 2）当点 P 在线段 OB上运动时，直线 l 分别交 BD、 BC于点 M、 N。试探究 m为何值时，四边形 CQMD是平行四边形，此时，请判断四边形 CQBM的形状，并说明理由。（ 3）当点 P 在线段 EB上运动时，是否存在点Q，使 BDQ为直角三角形，若存在，请直接写出Q点坐标；若不存在，请说明理由。DDDEAOBEAOBEAOBCCC【练 习】1、平时我们在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线如图所示，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为 4 m，距地面均为1m，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1m、 2 5 m 处绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶

22、已知学生丙的身高是1 5 m，则学生丁的身高为( 建立的平面直角坐标系如右图所示)()A 15 mB 1 625 mC 166 mD 167 m2x12、已知函数y2x51 x3，则使 y=k 成立的 x 值恰好有三个，则k 的值为（）1 x3A0B1C2D33.二次函数y2ax的b图 象xc如图所示， 则反比例函数ya次 函 数与 一xybxc 在同一坐标系中的大致图象是（）.标准实用文案4.如图，已知二次函数yx2bxc 的图象经过点（1， 0），（ 1， 2），当 y 随 x 的增大而增大时，x 的取值范围是yy x 2bx c125.在平面直角坐标系中，将抛物线y- 1 O12x3x）

23、x 绕着它与 y 轴的交点旋转 180°，所得抛物线的解析式是（1, - 2）A y( x 1)22B y( x 1)24 C y ( x 1)22D y( x 1)246.已知二次函数 yax 2bxc 的图像如图，其对称轴x1，给出下列结果 b24ac abc0 2a b0 a b c0 ab c0，则正确的结论是（）x 2 1012y04664A B C D7抛物线 y ax2bxc上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如上表：从上表可知，下列说法中正确的是（填写序号）抛物线与x 轴的一个交点为（3,0 ）； 函数 yax2bx c 的最大值为 6；抛物线的对称轴是x1在对称

24、轴左侧， y 随 x 增大而增大；28.如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点 A 的坐标是（ 2， 4），过点 A作 AB y 轴，垂足为 B，连结 OA(1) 求 OAB的面积； (2) 若抛物线yx22 xc 经过点 A求 c 的值；将抛物线向下平移m个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在OAB的内部（不包括 OAB 的边界），求 m的取值范围（直接写出答案即可） 9、“已知函数y1 x2 bx c 的图象经过点 A（ c， 2），这个二次函数图象的对称轴是x=3。”题2目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字。（ 1）根据已知和结论中现有的信息，你能否求出题中的二次函数解析式？若能，请写出求解过程，并画出二次函数图象；若不能，请说明理由。标准实用文案10、如图所示，在平面直角坐标系中，四边形 ABCD是直角梯形， BCAD， BAD= 90 °， BC与 y 轴相交于点 M，且 M 是 BC的中点， A、 B、 D三点的坐标分别是 A（ -1 ， 0）， B( -1 ， 2) ， D( 3， 0) ，连接 DM，并把线段 DM沿 DA方向平移到ON，若抛物线 y=ax2+bx+c 经过点 D、M、 N（1）求抛物线的解析式（