高中数学必修四平面向量知识归纳典型题型(经典)

1、一，向量重要结论呻耳呻呻(1) 、向量的数量积定义:a爲aiibicos8规定0a=o, ai=aiai2a h(2) 、向量夹角公式：a与h的夹角为日，则cost =异二|a|h|,(3) 、向量共线的充要条件：h与非零向量a共线二 存在惟一的丸 R，使b = ha。(4) 、两向量平行的充要条件：向量 a = (xyj, b = (x2,y2)平行二Xiy2_x2yi = 0444 4(5) 、两向量垂直的充要条件：向量， a 丄 b 守 a b = 0 二 xi x + y1 y 0(6) 、向量不等式：|a|+|b|mj+ b|，|a|h|ab|呻彳(7) 、向量的坐标运算：向量 a

2、=(%)，b = (x2,y2)，则abxM+yiy?a b(8) 、向量的投影：丨b | cosT= R,称为向量b在a方向上的投影 投影的绝对值称为|a|射影(9) 、向量：既有大小又有方向的量。向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。相等向量：长度相等且方向相同的向量。(10) 、零向量：长度为0的向量，记为0，其方向是任意的，0与任意向量平行 零向量a =II0= I a丨二0由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行(共线) 的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件.(注意与0的区别)(11) 、单位向量：模为1个单位长度的向量* 向量a0为单位向量二I a

3、0 |= 1(12) 、平行向量(共线向量)：方向相同或相反的非零向量“任意一组平行向量都可以移到同 一直线上方向相同或相反的向量，称为平行向量记作a / b 由于向量可以进行任意的平移(即 自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量”注：解析几何与向量综合时可能出现的向量内容：(1) 给出直线的方向向量u N1, k或u mm,n，要会求出直线的斜率；(2) 给出OA - OB与AB相交,等于已知OA OB过AB的中点；(3) 给出PM PN -0,等于已知P是MN的中点；(4) 给出AP A BP BQ ,等于已知P,Q与AB的中点三点共线；(5) 给出以下情形之

4、一：AB/AC ；存在实数,使ABAC ；若存在实数T T T:且一 -=1使OC二：OA -OB等于已知 代B,C三点共线.(6) 给出OP =少 OB，等于已知P是AB的定比分点，'为定比，即APV、PB1 +扎(7) 给出MA MB二0 ,等于已知MA _ MB ,即AMB是直角,给出MA MB二m ： 0 ,等于 已知.AMB是钝角,给出MAMB二m 0,等于已知.AMB是锐角。(8) 给出几 普+晋 =MP,等于已知MP是/AMB的平分线/JMAI lMBb (9) 在平行四边形 ABCD中，给出(AB AD) (AB - AD) =0，等于已知ABCD是菱形;AB AD |

5、A - AD |，等于已知ABCD是矩形；（10）在平行四边形ABCD中，给出| 2 2 2（11）在ABC中，给出OA =0B =OC，等于已知0是. ABC的外心（三角形外接圆的圆 心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）；（12）在：ABC中，给出OA OB 0C = 0，等于已知0是ABC的重心（三角形的重心是 三角形三条中线的交点）；13）在 ABC中，给出OA 0B二OB0C二OC 0A，等于已知0是ABC的垂心（三角 形的垂心是三角形三条高的交点）；_ T T_（14）在ABC中，给出OP = 0A （丄B ZC）（R ）等于已知AP通过UABC的内心;_ |AB£

6、;|AC|（15）在 ABC中，给出a OA b OB c OC二0,等于已知O是 ABC的内心（三角形内切圆 的圆心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点）；1（16） 在 ABC中，给出AD二AB AC ,等于已知AD是 ABC中BC边的中线。2（17）如果e1,e2是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有 一对实数仆2使：a = ,1e -'.-2e2，其中不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一 组基底（18） 向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括共线（即重合），而向量平行则包括共线 （重合）的情况（19） 向量的坐标与表示该向量的

7、有向线条的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有 关（20） 1.结合律不成立：a b h- i a b c ；2. 消去律不成立a a C不能得到C - 444 43. a b =0不能得至U a =0或b =0题型1.基本概念判断正误：（1）共线向量就是在同一条直线上的向量。（2）若两个向量不相等，贝U它们的终点不可能是同一点。（3）与已知向量共线的单位向量是唯一的。T T（4）四边形ABCD是平行四边形的条件是AB=CD。（5）若AB二CD，则A、B、C、D四点构成平行四边形（6）因为向量就是有向线段，所以数轴是向量。IIIIII（7）若a与b共线，b与C共线，则a与C共线。44*

8、4（8）若 ma = mb，贝U a = b。(9) 若 ma = na，贝U m = n。IIII(10) 若a与b不共线，则a与b都不是零向量I(11) 若 a b =| a | | b |，则 a/b。(12) 若 |a b |=|a -b |，则 a _ b。题型2.向量的加减运算表示“向北走6km ,则|1 b|=!1. 设a表示“向东走8km”2. 化简(AB MB) (BO Bc) oM 二已知|OA| = 5, |OB| = 3,则|AB|的最大值和最小值分别为 、4#4.已知AC为AB与AD的和向量，且AC=a, BD = b，贝U AB =#BCBC。35.已知点C在线段A

9、B上，且AC =3AB ,则AC -5题型3.向量的数乘运算(2) 2(2a 5b3C)3(2a 3b2C) =1. 计算：(1) 3(a - $ 一2(； b)=1斗2. 已知 a =(1,-4),b =(-3,8)，则 3a - 二2 题型4.作图法球向量的和1 3彳已知向量a,b，如下图，请做出向量3a -b和2a- b。2 2题型5.根据图形由已知向量求未知向量求"AB和AD。1. 已知在 ABC中，D是BC的中点，请用向量 AB,AC表示AD2. 在平行四边形abcd中，已知AC=a,BD=：b，题型6.向量的坐标运算T1. 已知AB =(4,5)，A(2,3)，则点B的坐

10、标是。T2. 已知PQ二(-3, -5)，P(3,7)，则点Q的坐标是。一 彳* +3. 若物体受三个力R =(1,2) , F2 = (-2,3) , F3 = (-1, -4),则合力的坐标为 4. 已知a=(一3,4), b =(5,2)，求a b, a_b, 32?5. 已知 A(1,2), B(3,2),向量 a =(x 2,x3y 一2)与 AB 相等，求 x, y 的值。6.已知 AB 二(2,3),BC =(m, n),CD =(1,4),则 DA 二6#7.已知 O 是坐标原点，A(2, -1),B(-4,8)，且 AB 3BC =0，求 OC 的坐标 题型7.判断两个向量能

11、否作为一组基底1. 已知是平面内的一组基底，判断下列每组向量是否能构成一组基底:A. e +e2和e -e2 B. 3e1 -2e2和4e2 -6eiC. e 3e2和今-斜D. e2和ee#2. 已知a = (3,4)，能与2构成基底的是()A.(l,5) B.(5,5) C.(弓题型8.结合三角函数求向量坐标1. 已知0是坐标原点，点A在第二象限,|0A| = 2，. xOA=150；，求0A 的坐标。2. 已知0是原点，点A在第一象限，|0A|=4方，.xOA =60，求OA的坐标。题型9.求数量积1. 已知=3,|?卜4，且a与b的夹角为60，求(1)a b，(2)a <a ?)

12、，1(3) (a - 1b) b，(4)(2a -b) (a 3b)。22. 已知 a = (2, -6),b = (-8,10)，求(1)|a|,|b|，( 2)a b，( 3)a a b)，4 H(4) (2a -b) (a 3b)。题型10.求向量的夹角1. 已知 | a | = 8,| b |=3，a b =12，求 a与b 的夹角。2. 已知 a = C；3,1),； =(-2、3,2)，求 2与 b 的夹角。3. 已知 A(1,0) , B(0,1) , C(2,5)，求 cos BAC。题型11.求向量的模1. 已知 |a3,|b4，且 a 与 b 的夹角为 60，求(1) |a

13、 b |, (2) |23b|2. 已知 a = (2y，b = (_8,10)，求(1)曲佶，(5) |a+b|,( 6).b|3. 已知 |孑| = 1,用| = 2，|32b3，求 13a b |。题型12.求单位向量【与a平行的单位向量：e a】|a|1. 与；=(12,5)平行的单位向量是 。2. 与 m = ( -1,1)平行的单位向量是 。2题型13.向量的平行与垂直1. 已知 a =(6,2)，b =(-3,m)，当 m 为何值时，(1)a/b ？ ( 2)a_b ？2. 已知：=(1,2)，；=(-3,2)，( 1)k为何值时，向量ka b与 3b垂直?(2) k为何值时，向

14、量ka b与2-3b平行？3. 已知a是非零向量，a b = a C，且b = C，求证：7 _ (b -C)。题型14.三点共线问题已知 A(0, -2)，B(2, 2)，C(3,4)，求证:A, B,C 三点共线782.设 AB 2 (a 5b), BC2=-2a 8b,CD =3(a -b)，求证:A B、D三点共线#3. 已知A = a 2b, B = -5a 6b,C =72b，则一定共线的三点是 。4. 已知A(1,-3) , B(8, -1)，若点C(2a -1,a 2)在直线AB上，求a的值。5. 已知四个点的坐标0(0,0) ， A(3, 4)，B( -1,2)，C(1,1)

15、，是否存在常数t，使OA toT*成 立？题型15.判断多边形的形状1. 若Ab =3e，CD = 5e，且|AD|=|BC|,则四边形的形状是 。2. 已知 A(1,0)，B(4,3)，C(2,4)，D(0,2)，证明四边形 ABCD 是梯形。3. 已知A(-2,1)，B(6, -3)，C(0,5)，求证:ABC是直角三角形4.在平面直角坐标系内,0A -1,8),0b= (-4,1),OC =(1,3),求证:ABC是等腰直角三角形题型16.平面向量的综合应用1. 已知a =(1,0)，b =(2,1)，当k为何值时，向量kb与a 3b平行？2. 已知a=&3,馬)，且a_b，|b

16、2，求b的坐标。耳屮 44 4*3. 已知a与b同向，b =(1,2)，则a b =10，求a的坐标。3. 已知：=(1,2)，b =(3,1)，c= (5,4)，则 c=2 b。4. 已知 a =(5,10)，b=(-3,-4)，c = (5,0)，请将用向量 a,b 表示向量 c。5. 已知扌= (m,3) , b =(2, _1) , (1)若a与b的夹角为钝角，求m的范围；(2)若a与b的夹角为锐角，求m的范围。6. 已知a = (6,2) , b=(3,m)，当m为何值时，(1) a与b的夹角为钝角？( 2) a与b的夹角 为锐角？7. 已知梯形 ABCD 的顶点坐标分别为 A( 1

17、,2)，B(3,4)，D(2,1)，且 AB/DC，AB 二 2CD， 求点C的坐标。8. 已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别为 A(2,1)，B(1,3) ,C(3,4)，求第四个顶点D 的坐标。9. 一航船以5km/h的速度向垂直于对岸方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成30角，求水流速度与船的实际速度。10. 已知 ABC三个顶点的坐标分别为 A(3,4)，B(0,0)，C(c,0)，(1)若AB AC =0，求c的值；(2)若c = 5，求sin A的值。【备用】1. 已知|a|=3,|b| = 4,|a b|=5，求 |a -b|和向量 a,b的夹角。2. 已知 x=a，b

18、， y=2a，b，且 |a|=|b|=1， a_b，求 x, y 的夹角的余弦。呻+! 441.已知 a =(1,3),b =(-2, -1)，则(3a 2b) (2a - 5b)二 65。4444 4 H4. 已知两向量a =(3,4),b =(2, -1)，求当a xb与a-b垂直时的x的值。4445. 已知两向量a =(1,3),b =(2, )，a与b的夹角二为锐角，求的范围。*44 H变式：若a =，2),b =(-3,5)，a与b的夹角二为钝角，求的取值范围。选择、填空题的特殊方法：1.特例法例：全品P27: 4。因为M,N在AB,AC上的任意位置都成立，所以取特殊情况，即M,N与B,C 重合时，可以得到m = n=1，- m，n=2。1. 代入验证法444呻例：已知向量 a =(1,1),b =(1,_1),c = (_1,_2)，则 c二(D )A 1斗3： 口 1彳亠3q 3斗1门 3彳丄1A. a b B. a b C. a b D. a b2 2 2 2 22