第一章三角形的证明小结与复习

1、学习方法报 全新课标理念，优质课程资源第一章三角形的证明小结与复习考点呈现考点1 等腰三角形例1 如图2，已知ACBC，BDAD，AC与BD交于O，ACBD求证：（1）BCAD；（2）OAB是等腰三角形分析：（1）要证明BCAD，只要证明BC和AD所在的两个三角形全等即可；（2）要证明OAB是等腰三角形，只要证明OAB中有两个角相等即可B图1CADO证明：（1）ACBC，BDAD，DC90°在RtACB和RtBDA中，ABBA，ACBD，RtACBRtBDA（HL）BCAD（2）RtACBRtBDA，CABDBAOAOBOAB是等腰三角形点评：证明直角三角形全等，可以考虑特殊的判定方

2、法，也可以考虑一般的判定方法判定一个三角形是等腰三角形，关键是找到角之间的相等关系或边之间的相等关系考点2 等边三角形例2如图2，在等边三角形ABC的边AC上取中点D，在BC的延长线上取一点E，使 CE=CD求证：BD=DE图2分析：本题的证明可以这样考虑：要证明BD=DE，只要证E =DBC即可.因为ABC是等边三角形，CE=CD，可以证明E=30°.又因为D为AC的中点，所以DBC=30°证明：ABC是等边三角形，ABC=ACB=60°D为AC的中点，DBC=30°.CE=CD，E=CDE=ACB=30°E =DBC.BD=DE图3考点3勾

3、股定理例3 如图3，ABC和DCE都是边长为4的等边三角形，点B，C，E在同一条直线上，连接BD，则BD的长为（ ）A. B.C. D.解析：因为两个三角形都是边长为4的等边三角形，所以CB=CD，所以CDB=CBD因为等边三角形的每个内角都是60°，所以DCE=CDE=60°因为点B，C，E在同一条直线上，所以BCD=180°60°=120°，所以CDB=CBD=(180°120°)=30°.所以BDE=CDBCDE=30°60°=90°在RtBDE中， BE=8，DE=4，根据勾股

4、定理，得BE2=DE2BD2.所以BD2=BE2DE2=8242= 48.所以BD=4故选D考点4 直角三角形的条件例4 （1）已知a，b，c是ABC的三边长，且满足a3ab2bc2=b3a2bac2，则ABC的形状是( )A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形 D.等腰直角三角形（2）在ABC中，则ABC是( )A.等腰三角形 B.钝角三角形C.直角三角形 D.等腰直角三角形解析：（1）由a3ab2bc2=b3a2bac2变形，得a3a2bab2b3bc2ac2=0，即a2(ab)b2(ab)c2(ab)(ab)(a2b2c2)=0，所以ab=0或a2b2c2=0，即a=b

5、或a2b2= c2，所以ABC是等腰三角形或直角三角形故选C（2）设三角形三边长分别为a，a，a.因为a2a2（a）22a2，所以该三角形为等腰直角三角形故选D点评：本题重点考查了直角三角形的判别方法，解决此类题时，除了熟练掌握直角三角形的判别方法外，还要掌握其它三角形的判定方法，以及其它的相关知识考点5 勾股定理的实际应用图4图3例5如图4所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面1米处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量AB2米，则树高为（ ）A米B米C(1)米D3米解析:树杆垂直于地面，于是树杆的两部分和地面部分构成了直角三角形，运用勾股定理可以计算出BC.所以树高为AC+BC=1+.故

6、选C.考点6线段的垂直平分线ADEBC图5例6 如图5，等腰ABC中，AB=AC，A=30°线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE，则CBE等于（ ）A60° B35°C45° D55°分析：利用线段垂直平分线的性质定理，证明线段相等，从而转化成角相等，并计算所求角度解：因为DE垂直平分AB，所以AE=BE所以ABE=A=30°因为AB=AC，所以ABC=ACB因为AABCACB=180°，所以ABC=75°所以CBE=ABCABE =75°30°=45°故选C考点7 尺

7、规作图图6OBA例7 尺规作图：请在如图6所示图上作一个，使其是已知的倍（要求：写出已知、求作，保留作图痕迹，在所作图中标上必要的字母，不写作法和结论）已知：求作：分析：由“作一个，使其是已知的倍”，可得AOCAOBAOB，所以作图时，只要在AOB的外部作一个角等于AOB即可已知：一个角AOB图7OBACDEFMGHN求作：一个角AOC，使AOCAOB作法：（1）在OA，OB边上分别截取OE,OF,使OE=OF；（2）分别以点E，点F为圆心，以大于EF的长为半径作弧，两弧相交于点M；（3）过点M作射线OD；（4）以O为圆心，适当长为半径作弧，交射线OB，OD分别为点H和G；（5）以H为圆心，H

8、G长为半径作弧，交（4）中的弧于点N，过点N作射线OC.则AOC就是所求作的角（如图9）误区点拨图11错用“AAA”证明三角形全等例1 如图1，CAB=DBA，C=D，E为AC和BD的交点ADB与BCA全等吗？说说理由错解：ADBBCA理由是：CAB=DBA，C=D，DAB=CBA，ADBBCA剖析：本题误以为“三个角对应相等的两个三角形全等（AAA）”题中已知两个三角形的两角对应相等，第三个角也对应相等，但不能用来说明两个三角形全等，必须找一组边对应相等本题的关键在于根据题意挖掘图中的隐含条件：公共边AB=BA正解：ADBBCA理由是：CAB=DBA，C=D，AB=BA，ADBBCA（AAS

9、）2错用“SSA”证明三角形全等图2例2已知：如图2，在AFD和CEB中，点A，E，F，C在同一条直线上，有下面4个论断：AD=CB；B=D；AE=CF；ADBC请用其中三个作为题设，余下一个作为结论写一个真命题，并进行证明错解：命题：已知：AD=CB，B=D，AE=CF.求证：ADBC证明：AE=CF，AEEF=CFEF，即AF=CE又AD=CB，D=B，AFDCEB（SAS）A=CADBC剖析：本题因受到“三个作为条件，余下一个作为结论”的暗示，很快就想到把“，作为条件，作为结论”这一思路，可是这是一个“陷阱”题中的“SAS”是错误的，实际上是“SSA”，要注意“两边及其中一边的对角对应相

10、等的两个三角形不一定全等”其实，只要把，任意一个作为结论，其他的作题设，都可以得到真命题正解：命题：已知：AD=CB，B=D，ADBC.求证：AE=CF证明：ADBC，A=C又AD=CB，D=B，AFDCEB（ASA）AF=CEAFEF=CEEF，即AE=CF3忽视等腰三角形的分类而出错图3例3等腰三角形底边长为10 cm，从底边的一个端点引腰上的中线，分此三角形的周长为两部分，其中一部分比另一部分长为4 cm，求等腰三角形的腰长错解：如图3，设AB=AC=x，则AD=CD=x，则(xx)(10x)=4.解得x=14.所以等腰三角形的腰长为14 cm剖析：已知条件中只是说等腰三角形一腰上的中线

11、把等腰三角形的周长分成两部分，并没有指出哪一部分多，所以需要分情况讨论图4正解：如图3，如图4，设AB=AC=x，则AD=CD=x，则(xx)(10x)=4或(10x)(xx)=4.解得x=14或6所以此等腰三角形的周长为14 cm或6 cm4受思维定势的影响例5 在ABC中，已知B=90°，A，B，C的对边分别是a，b，c，且a=5，b=12，求c的长错解：因为ABC为直角三角形，所以由勾股定理，得a2b2= c2，即图5c=13剖析：错解未抓住题目实质，受思维定势（勾股定理的表达式：a2b2= c2）的影响而误认为c是斜边，其实，由B=90°，知b才是斜边（如图5）因此

12、，我们在运用勾股定理时，首先要正确识别哪个角是直角，从而确定哪条边是斜边，然后准确写出勾股定理的表达式进行求解正解：由B=90°，知b是RtABC的斜边.由勾股定理，得c=跟踪训练1下列命题是真命题的是( )A.等腰三角形的一边不可能是另一边的两倍B.等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合C.底角相等的两个等腰三角形全等D.等腰三角形顶角的外角平分线与底边平行2以下命题的逆命题为真命题的是( ) A.对顶角相等 B.同旁内角互补，两直线平行C.若ab，则a2b2 D.直角三角形没有钝角3已知：如图1，AEBC，DFBC，垂足分别为E，F，AE=DF，AB=DC，则_（HL）图2图1 4如图3，在ABC中，AC的垂直平分线交AC于E，交BC于D，ABD的周长是12 cm，AC=5 cm，则ABBDDC=_cm；ABC的周长是_cm.5已知：如图3，在ABC中，AC=BC，ACB=120°，CEAB于D，且DE=DC图4求证：CEB为等边三角形图36已知：如图4，在等边三角形ABC中，D，E分别为BC，AC上的点，且AECD，连接AD，BE交于点P，作BQAD，垂足为Q求证：BP2PQ.跟踪训练参考答案：1D 2B 3ABE DCF 4 12 17 5证明：因为AC=BC，CEAB，所以CD平