圆锥曲线中常见错误剖析

1、圆锥曲线中常见错误剖析诸暨中学 邵跃才 311800圆锥曲线是高中数学的重要内容，每年的高考中都占有较大的比重。纵观近几年各地的高考试卷，以圆锥曲线为背景的试题设计上，命题者虽然在立意创新、知识的综合和交叉、数学方法的渗透上动了不少脑筋，但总的来说在解法上还是以考查圆锥曲线的通性通法为主，注重的是常规思路。即便如此，考生在此类题目的考试中得分率并不高，其中一个重要原因是平时学习时，对圆锥曲线中的一些常见错误认识不足。本文试图对圆锥曲线中的一些易错点作简单剖析，希望引起同学们的注意。一、机械套用圆锥曲线的定义导致错误例1 已知F1、F2是双曲线的焦点， P为双曲线上一点，若P点到焦点F1的距离等

2、于9，求点P到焦点F2的距离。(2003年上海卷改变)错解 双曲线的实轴长为8，由双曲线定义知，即，得|PF2|=1或17。剖析 上述解法由于机械套用了双曲线定义，从而导致错误。事实上，设F1为左焦点，因为右顶点到左焦点的距离为109，所以P点必在双曲线的左支上，从而|PF2|=1不合，所以|PF2|=17。二、盲目套用标准方程导致错误例2 已知橢圆的一个焦点F（0，），对应的准线方程为：且离心率e满足：成等比数列，求这个橢圆的方程。错解 橢圆的一个焦点F（0，），c= ，又橢圆的一条准线方程为： ， ， b2=1 橢圆方程为 剖析 本题解法的错误是默认椭圆是标准情形，盲目套用了标准方程，从而

3、给人造成一种题目条件多余的错觉。其实，只有对标准情形下的圆锥曲线，在求方程时，我们可以用待定系数法求基本几何量来解决，当圆锥曲线不能定位时一般采用定义法求解。正确解法如下：橢圆的一个焦点F（0，），相应的准线方程为：.又由橢圆的离心率e满足：成等比数列，可求得：,设橢圆上任意一点P（x，y），P到焦点F对应的准线距离为d，由橢圆的第二定义得，即，化简即得是一个中心不在原点的橢圆.三、忽视特殊情形导致错误例3 已知点 M（2，0），N（2，0），动点 P满足条件|PM |PN |=，记动点 P的轨迹为 W. （2006年北京卷） （）求 W 的方程； （）若 A，B 是W上的不同两点，O 是坐标

4、原点，求、的最小值.错解（）由|PM|PN|=知动点 P 的轨迹是以 为焦点的双曲线的右支，实半轴长，又半焦距 c=2，故虚半轴长，所以 W 的方程为（ ）。（）设 A，B 的坐标分别为, ，直线AB的方程为,与W的方程联立， 消去y得 故 所以 .又因为，所以，从而，所以无最小值。剖析 本题（）的解法是正确的。（）的解法中忽视了直线AB斜率不存在的情况，从而导致了无最小值的错误。纠正方法是补上：当 ABx轴时,从而所以综上，、的最小值为2.四、漏用判别式导致错误例4 如图，直线ykxb与椭圆交于A、B两点，记AOB的面积为S（I ) 求在k0，0b1的条件下，S的最大值；（）当AB2，S1时

5、，求直线AB的方程（2007年浙江卷）错解 (I)设点A的坐标为(，点B的坐标为，由，解得，所以当且仅当时，S取到最大值1（）由 得AB 又因为O到AB的距离所以 代入并整理，得解得， 故直线AB的方程是 或或或剖析 上述（）的解法是正确的。（）的解法中，答案虽然正确，但这里忽视了对判别式0的检验。这也是处理直线和圆锥曲线位置关系相关问题中要特别强调的一点。五、误用判别式导致错误例5 已知椭圆3x2+2y2=6x与曲线x2+y2-k=0恒有交点，求k的取值范围。错解 由剖析 0只能保证方程有解，而不能保证原方程组有解。因为原方程组中有隐含条件0x2,消去y后得到的关于x的一元二次方程看不到这个

6、限制条件。正确解法为：由又3x2+2y2=6x , 从而方程的两根x1、x2应满足0x12或0x22, 设函数f(x)= ，对称轴为x=3且抛物线开口向上.故k的取值范围为0,4.六、忽视曲线自身范围的制约导致错误例6 是否存在同时满足下列条件的抛物线？若存在，求出方程；若不存在，试说明理由. (1) 顶点在x轴上，以y轴为准线。(2) A (3, 0 )到此抛物线上动点P的距离的最小值是2。错解 由条件知：抛物线开口方向向右，焦点在x轴的正半轴上。设顶点为（a,0）( a 0 )，则方程为y2 = 4a ( x a) ， P（x , y）为抛物线上任一点= ( x 3 ) 2 + y2 =

7、( x 3 ) 2 + 4a ( x a) = x2 + ( 4a 6 ) x + 9 4a2=12a 8a2当x = 3 2a时,= 12a 8a2 = 4 a = 1或 所求抛物线方程为：y2 = 4 ( x 1 ) 或y2 = 2 ( x ) 剖析 上述解法忽视了抛物线中x的取值范围，因为点P是此抛物线上动点，所以x a. .正确解法为：=12a 8a2 （ x a ）（1） 若3 2a a 即0 a 1，则当x = 3 2a 时 = 12a 8a2 = 4 a = 1或 （2）若3 2a 1则当x = a 时 =+ 12a 8a2 = 4 a = 5 故所求抛物线方程有三个：y2 =

8、4 ( x 1 ) 或y2 = 2 ( x ) 或y2 = 20（x 5）.七、忽视轨迹的纯粹性导致错误例7、已知ABC的三边abc,并成等差数列，A的坐标为（-1，0），C的坐标为（1，0），求顶点B的轨迹。错解 如图所示，设B点坐标为(x,y)，则b=|AC|=1-(-1)=2 a，b,c并成等差数列a+c=2b=4 ,化简得轨迹方程为：.故所求B点的轨迹是焦点在直线AC上的的椭圆。剖析 上面解答忽视轨迹的纯粹性，即所求轨迹上的点要都满足条件。事实上，由abc知图形只能在y轴的左侧且不能在x,y轴上.正确解法：设B点坐标为(x,y)，由上面解得B点的轨迹为,又由abc知曲线只能在y轴的左侧且除去（-2，0），（0，），（0，）三点。八、忽视轨迹的完备性导致错误例8 求与y轴相切于右侧，并与C：x2+y2-6x=0也相切的圆的圆心的轨迹方程。错解 圆C方程化为，设动圆圆心点P（x,y）（x0），P与y轴相切与点M，与C相切与N点，所以|CP|=|PM|+