(完整版)向量知识点归纳与常见题型总结

1、向量知识点归纳与常见题型总结高三理科数学组全体成员'、向量知识点归纳1与向量概念有关的问题向量不同于数量，数量是只有大小的量 （称标量），而向量既有大小又有方向；数量 可以比较大小，而向量不能比较大小，只有它的模才能比较大小记号“ a > b”错了，而| a | > | b |才有意义.有些向量与起点有关， 有些向量与起点无关.由于一切向量有其共性 （大小和方向）， 故我们只研究与起点无关的向量（既自由向量）.当遇到与起点有关向量时，可平移向量.平行向量（既共线向量）不一定相等，但相等向量一定是平行向量，既向量平行是 向量相等的必要条件.单位向量是模为 1的向量，其坐标表示

2、为（x,y）,其中x、y满足x2 y = 1（可用（cos ,sin例如：向量uuu（强|AB|AB）（OW W 2n）表示）.特别：表示与AB同向的单位向量。|AB|uuurhacL）（0）所在直线过 ABC的内心（是 BAC的角平分线所在| AC|直线）;uuu uurr例1、O是平面上一个定点，A B C不共线，P满足OP OAuuuuuur|AB|熹）| AC0, ）3则点P的轨迹一定通过三角形的内心。AC（变式）已知非零向量 AB与AC满足（譽 + -|AB| |AC|）-BC=0且詈|AB|号£ ,则厶ABC为（）|AC| 2D.等边三角形（06陕西）A.三边均不相等的三

3、角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形0的长度为0,是有方向的，并且方向是任意的，实数0仅仅是一个无方向的实数.有向线段是向量的一种表示方法，并不是说向量就是有向线段（7）相反向量（长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a的相反向量是一a。）2 与向量运算有关的问题向量与向量相加，其和仍是一个向量.（三角形法则和平行四边形法则） 当两个向量a和b不共线时，a b的方向与a、b都不相同，且|a b | v|a| + | b | ； 当两个向量a和b共线且同向时，a b、a、b的方向都相同，且|a b | |a| |b| ； 当向量a和b反向时，若|a| > | b | , a b与a方向相同

4、，且| a b |=| a |-| b | ；hB-¥f-fB-若 | a|v |b| 时，ab 与 b方向相同，且| a + b |=|b |-|a|.向量与向量相减，其差仍是一个向量.向量减法的实质是加法的逆运算三角形法则适用于首尾相接的向量求和；平行四边形法则适用于共起点的向量求和。AB BC AC ; AB AC CB例2: P是三角形ABC内任一点，若 CB PA PB,R，贝y P 一定在（）A、 ABC内部B、AC边所在的直线上C、AB边上D、BC边上2例 3、若 AB - BC AB0，则 ABC是: A.Rt B.锐角 C.钝角 D.等腰 Rt特别的：冃b |a b

5、 H Ib，例4、已知向量a （cos ,sin ）,b（ 3, 1），求12a b |的最大值。分析：通过向量的坐标运算，转化为函数（这里是三角）的最值问题，是通法。解：原式=| (2cos, 3,2sin1)l . (2 cos 3)2 (2s in1)23)。当且仅当2k y (k Z)时，|2a b|有最大值4.评析：其实此类问题运用一个重要的向量不等式简洁明快。原式|2a| |b|=2| a | |b| 2“|a|b| |a b| |a|b|” 就显得124，但要注意等号成立的条件（向量同向）。BC CD DA 0.( ABCD中) 对空间任意两个向量a、b(b丰0 ) , a /围

6、成一周（首尾相接）的向量（有向线段表示）的和为零向量 如，AB BC CA 0,（在 ABC中） AB判定两向量共线的注意事项：共线向量定理b 存在实数入使a=入b.如果两个非零向量a ,b，使adb （入 R）,那么a / b ；*F反之，如a / b，且b丰0，那么a =入b .这里在“反之”中，没有指出a是非零向量，其原因为a=0时，与入b的方向规定为平行 数量积的8个重要性质两向量的夹角为 0W <n .由于向量数量积的几何意义是一个向量的长度乘以另一向 量在其上的射影值，其射影值可正、可负、可以为零，故向量的数量积是一个实数.设a、b都是非零向量，e是单位向量，是a与b的夹角，

7、则e a a e | a | cos.(|e| 1)»-FP- * aba b 0 (v=90°, cos0)F-*¥ 在实数运算中ab=0a=0或b=0.而在向量运算中 a b = 0 a = 0或b =0是错误的,故a 0或b 0是a b=0的充分而不必要条件. 当 a 与 b 同向时 a b = |a | | b |（ =0,cos =1）;当a与b反向时，a b=- |a | | b |（=n ,cos =-1），即a / b的另一个充要条件是r rr r| a b | | a | | b |.当 为锐角时，a ? b >0,且a、b不同向，a b

8、0是 为锐角的必要.|r rr r非充分条件；当 为钝角时，a ? b v 0,且a、b不反向，a b 0是 为钝角的必要非充 分条件；例5.如已知a （ ,2 ） , b （3 ,2），如果a与b的夹角为锐角，贝U的取值范围是41 （答：一或 0且 一）；33例6、已知i ,j为相互垂直的单位向量，a i 2j , b i 。且a与b的夹角为锐角,求实数的取值范围。分析:由数量积的定义易得“* *a,ba b 0 ”，但要注意问题的等价性。解:由a与b的夹角为锐角，得a b 120.有12而当a tb（t 0）,即两向量同向共线时，有t 1得t22.此时其夹角不为锐角。故,2 2, 一.2评

9、析:特别提醒的是：a,b是锐角与ab 0不等价；同样 a,b 是钝角与a b 0不等价。极易疏忽特例“共线”。2I 2I- 2特殊情况有 a a a =|a |。或 |a | = ；. a a = a =x2 y .如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为（x一，力）,（x2 , y2）,则心|=.（为 X2）2 （yi y2）2 |ab| |a|b|。（因 cos 1） 数量积不适合乘法结合律.如（a b） c a （b c）.（因为（a b） c与c共线，而a （b c）与a共线） 数量积的消去律不成立.若a、b、c是非零向量且a c b c并不能得到a b这是因为向量不能作除数，

10、1即一是无意义的.c向量b在a方向上的投影丨b I cos =ei和e2是平面一组基底，则该平面任一向量 a iei 2 e2 （ 1, 2唯一） 特别：.OP = 1OA 2ob则1 2 1是三点P、A、B共线的充要条件 注意：起点相同，系数和是 1。基底一定不共线1 uuu uur uur例7、已知等差数列 an的前n项和为Sn ,若 -BO= a1 0A+ a200 OC，且A、B C三点共线（该直线不过点0）,贝y S?00=（）A. 50 B. 51C.100例&平面直角坐标系中,D.1010为坐标原点，已知两点A(3,1) , B( 1,3),若点 C 满足0C 1 0A

11、2 0B ,其中1, 2 R且12 1,则点C的轨迹是(直线AB)A.b1b2 b30Bbi b2b30C.bib2 b30D.bib2b30uuuuuuuuuuuu uuuuuuPAPBPBPC PCPAP为ABC的垂心；uuuuur向量（冉-4fi)(0）所在直线过ABC的内心（BAC的角分线所在直线）;且ai顺时针旋转30°后与b同向，其中i1,2,3，则（D） （06河南高考）uur ulAB Uur ACu| cuu uu r使OCOA (1）OB ,则t的值是：A. 0B. 1C. 0 或 1例10F列条件中，能确定三点A,B,P不共线的是：A2.MP sin20 MA2

12、cos 20 MBB .MP2sec 20MAC2.MP sin20 MA2cos 70 MBD .MP2csc 31MA分析：本题应知：“ A,B,P共线，等价于存在JR,使 MP。例9、已知点A,B,C的坐标分别是（3,1）, （5,2）,（2二2 J若存在实数D.不确定tan2 20 MB cot2 31 MB MA MB 且(8)在 ABCuur luu uurPA PB PCuuir uur uuuPG 1(PA PB3P为ABC的重心;例11、设平面向量a1、a2、a3的和a1 a2uuuPC） G为 ABC的重心，特别地1AB BC AD则AD过三角形的重心;2a3 0。如果向量

13、bi、b2、b3,满足b 2 ai , | AB | PC | BC | PA | CA | PB 0 P ABC 的内心；(选)SAOB=Xba ；例12、若O是VABC所在平面内一点,uuu uur且满足OB OCuuu uuu uuuOB OC 2OA ,则 VABC14的形状为 （答：直角三角形）;例13、若D为 ABC的边BC的中点， ABC所在平面内有一点P ,满足SPAgBPuuu设 IAPI|PD|例14、若点O是厶ABC的外心,，则的值为（答：2）;luin uun luur ro且 OA OB CO 0,则内角C为 （答：120o）（9）、P分PR的比为，则RP =>

14、 0内分；v 0且 半-1外分.op = OP OP21PR,p 1 ;若入=1 则 OP = 2 ( OP1 + OP2);设 P(x,y),P 1(x 1,y 1),xP2(X2,y 2)则yX1 X21y1 y2;中点为 X22屮 y22重心X1 X2 X33,y1 y y33'说明：特别注意各点的顺序, 子分母的位置。分子是起点至分点,分母是分点至终点，不能改变顺序和分例 15、已知 A（4，-3），B（-2，6），点P在直线AB上，且|AB| 3| AP |，则P点的坐标是()(2, 0), (6, -6 )uuirx x h(10)、点 P(x, y)按 a (h,k)平移

15、得 P(x,y),则 PP = a 或函数 y f (x)按y y ka (h,k)平移得函数方程为：y k f (x h)说明：(1)向量按向量平移，前后不变；(2)曲线按向量平移，分两步：i确定平移方向-与坐标轴的方向一致；ii按左加右减，上加下减(上减下加)例16、把函数 y 2x2的图象 按向量a (2, 2)平移后得到的解析式是 。2y 2x 8x 6例17、函数y sin 2x的图象按向量 a平移后，所得函数的解析式是y cos2x 1,则a=(答: ( ,1)4结论：已知A(x1，yj, B(X2, y2)，l : Ax By C 0 ,过A, B的直线与I交于点P,则P分AB所

16、成的比是Ax1Ax 2By1By 2,若用此结论，以下两题将变得很简单8是xmym0 ,直线1与PQ的延长线相交，则m的取值范围是解：由Ax1By1C1 2m,1得,因为直线I与PQ的延长线相交，故Ax2By2C2 3m解得3m23例18、已知有向线段 PQ的起点P和终点Q的坐标分别是(1,1), (2,2)，若直线l的方程变式：已知点 A(2,-1),B(5,3).0与线段AB相交,求k的范围.若直线l : kx y 1提示：由AX1 By1 C 仆得:Ax2 By2 C(11)对空间任一点 O和不共线的三点2k 220及直线过端点得1k5k 25uuuuuuuuuuuurA B、C,满足

17、OP xOA yOBzOC(2)系数和是1 o则四点P、A、B、C是共面x y z 1 .注意：(1)起点相同(12)空间两个向量的夹角公式cos< a,b> =a1fch a?b2 asd(a= (, a3),b= (ddb).(13)空间两点间的距离公式若A(x-|,y1,z-) , B(x2, y2,z2)，则uuuyuuu uiu；222dA,B = |AB|,ABAB, (x2X1)2(y2yj2亿 zj2.(14)点Q到直线I距离h 1 U|a|b|)2 (a b)2 (点P在直线I上，直线I的方向向量 |a|urnuuua= PA，向量 b= PQ).(15)正弦定理

18、sin A sin B sin C2R ( R是三角形的外接圆半径)2 2说明：正弦定理可直接进行边角转换;提示：例16 ：cosBbsin B2cosC2a在 ABC中，c2sin A sinC3若si nC 2cos As in B,则此三角形必是三角形(等腰)提示：c 2cos Ab.2 2 2c bc a2, 2c 2b a b2bc(16)余弦定理例15：在 ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，且 空B，求B的大小。cosC 2a c2 2 2 2a b c 2bccosA； b1(17)面积定理S aha2 2 2 2 2c a 2ca cos B ； cab 2abco

19、sC .11 一 亠 bhb chc ( ha、hb、hc分别表示a、b、c边上的咼)1 abs in C211bcsin A casin B .221 r-uuuuuuuiruuu1 uuu uuuuuu uuu Soab (|OA|OB|)2(OAOB)2 = OAgOB ta n(为 OA,OB 的夹角)2 2(18)三角形内角和定理在厶ABC中，有ABCC (A B) C2C 22( A B).2 2 2说明：(1)三角形具有丰富的内涵(隐含条件)i：两边之和大于第三边；ii：斜边大于直角边；iii：正(余)弦定理；iv：面积公式；v：内角和是1800 ;vi：大角对大边诚：tan A

20、 ta nB ta nC ta nA tanB tanC就：正弦、余弦函数的单调性；锐角三角形中有：A B 2sin A sin( B) cosb2钝角三角形中有(C是钝角)：ABA2-B2sin A sin(2B) cosB例17：定义在R上的偶函数f(x1)f(x),且在3,2上是减函数，,是锐角角形的两个角，则()A、f (sin)f (cos)B、 f (sin )f (cos )C f (sin ) f (sin )D、f (cos )f (cos)(19)平面两点间的距离公式UUU,'UUIUUUU/dA,B = |AB| Jab AB 讥X2X1)2(y2 yJ2(人任，

21、), B(X2,y2).(20)向量的平行与垂直设 a=(X1, %),b= (X2, y2)，且 b 0,则a II bb=入 ax1 y2 x2 y1 0.a b(a 0)a b=0x1x2 y-i y2 0.是实(21)线段的定比分公式设只任，) , P2(X2,y2), P(x, y)是线段RF2的分点，uuu uur数，且RPPF2，则x1y专(22)平面向量的综合问题LUUOPY2JJJTJJLTOROP21uuuUULTUJir1OP tOR (1 t)OF2( t1向量的“双重身份”注定了它成为中学数学知识的一个重要交汇点，担当多项内容 的媒介也就成了理所当然的事情，数的特性使

22、得它与 “函数，三角，数列，不等式，导数”有众多的联系，成为高考中一个新的亮点。形的特性又使它必然与 “平面几何，解析几何，立体几何”紧密相关，以体现它的工具作用。我们应该首先做到的是具有向量语言的“翻 译”能力。即把抽象的向量语言，转换成直观的“图形语言”或者可操作的“运算形式”。一般来说，夹角问题总是从数量积入手，长度问题则从模的运算性质开始(一般需 先平方)，而共线，共点问题多由数乘向量处理。<311例19设平面向量a C ,),b (,)，若存在不同时为 0的两个实数s,t及实222 2数 k 0，使 x a (t2 k) b, y sa t b且 x y。(1) 求函数关系式

23、s f (t)；(2) 若函数s f (t)在1,)是单调函数，求 k的取值范围。分析：由数量积的坐标运算，不难得出s f(t)的解析式，含参数必引起讨论，运用“整体思想”可简化计算；f(t)在1,)是单调函数，等价于“ f'(t)0或f'(t)0在1,)上恒成立”。解: (1)a (仝，】),b (丄，仝),|a|b|1,且 a b 0,又 x y222 2x y 0即a(t2k)b(sa tb) 0由此得：st3 kt(2) f'(t) 3t2k，又f (t)是单调函数，若f (t)是增函数，则f'(t)20，恒有3tk,而t1,),0 k 3若f (t)是减函数，则f'(t)0，恒有3tk,而t1,)，这样的k不存在综上0 k3.评析：本题覆盖了许多重要的知识点和数学思想方法，与“在知识网络交汇点设计试题” 的高考命题思想相吻合。AB ac1ba bc3例20、在ABC中，ABJAC- ,BA-BC-，又E点在BC边上，且满足| AB |2| BA| 23 BE 2EC，以A、B为焦点的双曲线经过 C、E两点求此双曲线的方程.分析：遇到的首要问题即“建系”和“向量语言”的解读。深刻理解向量运算的几何意义， 就显得万分重要了。解：以线段AB的中点O为原点，直