概率论与数理统计：CH6 第六章 样本及抽样分布

1、概率论与数理统计概率论与数理统计第一节第一节 随机样本随机样本总体和样本总体和样本小结小结2 2 数理统计的任务就是研究有效地收集、整理、数理统计的任务就是研究有效地收集、整理、分析所获得的分析所获得的有限有限的资料，对所研究的问题的资料，对所研究的问题, 尽尽可能地作出精确而可靠的结论可能地作出精确而可靠的结论. 在数理统计中，不是对所研究的对象全体在数理统计中，不是对所研究的对象全体 ( 称称为为总体总体)进行观察，而是抽取其中的部分进行观察，而是抽取其中的部分(称为称为样本样本)进行观察获得数据（进行观察获得数据（抽样抽样），并通过这些数据对总），并通过这些数据对总体进行推断体进行推断.

2、数理统计方法具有数理统计方法具有“部分推断整体部分推断整体”的的特征特征 .3 在数理统计研究中，人们往往研究有关对象的在数理统计研究中，人们往往研究有关对象的某一项某一项(或几项或几项)数量指标和为此，对这一指标进行数量指标和为此，对这一指标进行随机试验，观察试验结果全部观察值，从而考察该随机试验，观察试验结果全部观察值，从而考察该数量指标的分布情况数量指标的分布情况.这时，每个具有的数量指标的这时，每个具有的数量指标的全体就是总体全体就是总体.每个数量指标就是个体每个数量指标就是个体.某批某批灯泡的寿命灯泡的寿命该批灯泡寿命的全该批灯泡寿命的全体就是总体体就是总体国产轿车每公里国产轿车每公

3、里的耗油量的耗油量国产轿车每公里耗油量国产轿车每公里耗油量的全体就是总体的全体就是总体4 4 一一个统计问题总有它明确的研究对象个统计问题总有它明确的研究对象.1.1.总体总体研究某批灯泡的质量研究某批灯泡的质量 研究对象的全体称为研究对象的全体称为总体总体，总体总体一、总体和样本一、总体和样本总体中所包含的个体的个数称为总体的总体中所包含的个体的个数称为总体的容量容量.总体中每个成员称为总体中每个成员称为个体个体，总体总体有限总体有限总体无限总体无限总体 5因此在理论上可以把总体与概率分布等同起来因此在理论上可以把总体与概率分布等同起来. 我们关心的是总体中的个体的某项指标我们关心的是总体中

4、的个体的某项指标( (如人的如人的身高、灯泡的寿命身高、灯泡的寿命, ,汽车的耗油量汽车的耗油量) ) . 由于每个个体的出现是随机的，所以相应的数量指由于每个个体的出现是随机的，所以相应的数量指标的出现也带有随机性标的出现也带有随机性 . 从而可以把这种数量指标看从而可以把这种数量指标看作一个随机变量作一个随机变量X ，因此随机变量，因此随机变量X的分布就是该数的分布就是该数量指标在总体中的分布量指标在总体中的分布. 总体就可以用一个随机变量及其分布来描述总体就可以用一个随机变量及其分布来描述.6 例如例如:研究某批灯泡的寿命时，关心的数量指标研究某批灯泡的寿命时，关心的数量指标就是寿命，那

5、么，此总体就可以用随机变量就是寿命，那么，此总体就可以用随机变量X表示，表示，或用其分布函数或用其分布函数F(x)表示表示.某批某批灯泡的寿命灯泡的寿命总体总体 寿命寿命 X 可用一概率可用一概率（指数）分布来刻划（指数）分布来刻划鉴于此，常用随机变量的记号鉴于此，常用随机变量的记号或用其分布函数表示总体或用其分布函数表示总体. 如如说总体说总体X或总体或总体F(x) .体体寿命总体是指数分布总寿命总体是指数分布总7 类似地，在研究某地区中学生的营养状况时类似地，在研究某地区中学生的营养状况时 ，若关心的数量指标是身高和体重，我们用若关心的数量指标是身高和体重，我们用X 和和Y 分分别表示身高

6、和体重，那么此总体就可用二维随机变别表示身高和体重，那么此总体就可用二维随机变量量(X,Y)或其联合分布函数或其联合分布函数 F(x,y)来表示来表示. 统计中，总体这个概念统计中，总体这个概念 的要旨是：的要旨是：总体就是一个概总体就是一个概率分布率分布.8参数的分布，为推断总体分布及各种特征，按一参数的分布，为推断总体分布及各种特征，按一定规则从总体中抽取若干个体进行观察试验，以定规则从总体中抽取若干个体进行观察试验，以获得有关总体的信息获得有关总体的信息 ，这一抽取过程称为，这一抽取过程称为 “抽抽样样”，所抽取的部分个体称为，所抽取的部分个体称为样本样本. 样本中所包样本中所包含的个体

7、数目称为样本容量含的个体数目称为样本容量.2. 样本样本从国产轿车中抽从国产轿车中抽5辆辆进行耗油量试验进行耗油量试验样本容量为样本容量为5抽到哪抽到哪5辆是随机的辆是随机的 总体分布一般是未知，或只知道是包含未知总体分布一般是未知，或只知道是包含未知9 一旦取定一组样本一旦取定一组样本X1， ,Xn ,得到得到n个具体的数个具体的数 (x1,x2,xn)，称为样本的一次观察值，简称样本值，称为样本的一次观察值，简称样本值 .n称为这个样本的容量称为这个样本的容量.21nXXXnX，观察，其结果依次记为观察，其结果依次记为次重复、独立次重复、独立在相同的条件下，进行在相同的条件下，进行对总体对

8、总体.,21分布分布同的同的与总体随机变量具有相与总体随机变量具有相的一个简单随机样本，的一个简单随机样本，是来自总体是来自总体这样得到的随机变量这样得到的随机变量XXXXn最常用的一种抽样叫作最常用的一种抽样叫作“简单随机抽样简单随机抽样”，其特点：，其特点：1. 代表性代表性： X1,X2,Xn中每一个与所考察的总体有中每一个与所考察的总体有 相同的分布相同的分布.2. 独立性独立性： X1,X2,Xn是相互独立的随机变量是相互独立的随机变量.10定义：定义：.nXx,x,xnXFFX,X,XFX,X,XFXn21n21n21个独立的观察值个独立的观察值的的又称为又称为称为样本值，称为样本

9、值，值值简称样本，它们的观察简称样本，它们的观察为的简单随机样本，为的简单随机样本，）得到的容量）得到的容量、或总体、或总体（或总体（或总体为从分布函数为从分布函数变量，则称变量，则称的、相互独立的随机的、相互独立的随机是具有同一分布函数是具有同一分布函数的随机变量，若的随机变量，若是具有分布函数是具有分布函数设设 由简单随机抽样得到的样本称为由简单随机抽样得到的样本称为简单随机样本简单随机样本，它可以用与总体独立同分布的它可以用与总体独立同分布的n个相互独立的随机个相互独立的随机变量变量X1,X2,Xn表示表示.11 简单随机样本是应用中最常见的情形，今后，简单随机样本是应用中最常见的情形，

10、今后，当说到当说到“X1,X2,Xn是取自某总体的样本是取自某总体的样本”时，若时，若不特别说明，就指简单随机样本不特别说明，就指简单随机样本.=F(x1) F(x2) F(xn) 若总体的分布函数为若总体的分布函数为F(x)、概率密度函数为、概率密度函数为f(x),则其简单随机样本的联合分布函数为则其简单随机样本的联合分布函数为),(2*nxxxF其简单随机样本的联合概率密度函数为其简单随机样本的联合概率密度函数为),(2*nxxxf=f(x1) f(x2) f(xn) 12.),(,),( ,)0(2121的概率密度的概率密度求样本求样本是来自总体的样本是来自总体的样本布布的指数分的指数分

11、服从参数为服从参数为设总体设总体nnXXXXXXX 解解的概率密度为的概率密度为总体总体 X , 0, 0, 0,e)(xxxfx , 21有相同的分布有相同的分布且与且与相互独立相互独立因为因为XXXXn的概率密度为的概率密度为所以所以),( 21nXXX)(),(121 niinnxfxxxf ., 0, 0,e1其他其他ixnxnii 例例113.),(,),(, 10), 1(2121的分布律的分布律求样本求样本是来自总体的样本是来自总体的样本其中其中服从两点分布服从两点分布设总体设总体nnXXXXXXppBX 解解的分布律为的分布律为总体总体 X, 21相互独立相互独立因为因为nXX

12、XiippiXP 1)1()1, 0( i,有相同的分布有相同的分布且与且与X的分布律为的分布律为所以所以),( 21nXXX例例214,2211nnxXxXxXP 2211nnxXPxXPxXP niiniixnxpp11)1(.1 , 0,21中取值中取值在集合在集合其中其中nxxx15 事实上我们抽样后得到的资料都是具体的、确事实上我们抽样后得到的资料都是具体的、确定的值定的值. 如我们从某班大学生中抽取如我们从某班大学生中抽取10人测量身高人测量身高,得到得到10个数，它们是样本取到的值而不是样本个数，它们是样本取到的值而不是样本. 我我们只能观察到随机变量取的值而见不到随机变量们只能

13、观察到随机变量取的值而见不到随机变量.3. 总体、样本、样本值的关系总体、样本、样本值的关系16总体（理论分布）总体（理论分布） ？ 样本样本 样本值样本值 统计是从手中已有的资料统计是从手中已有的资料-样本值，去推断总样本值，去推断总体的情况体的情况-总体分布总体分布F(x)的性质的性质. 总体分布决定了样本取值的概率规律，也就是总体分布决定了样本取值的概率规律，也就是样本取到样本值的规律，因而可以由样本值去推断样本取到样本值的规律，因而可以由样本值去推断总体总体. 样本是联系二者的桥梁样本是联系二者的桥梁17二、小结二、小结研究对象的全体称为总体研究对象的全体称为总体总体中每个成员称为个体

14、总体中每个成员称为个体.nXFFX,X,XFX,X,XFXnn为的简单随机样本为的简单随机样本）得到的容量）得到的容量、或总体、或总体（或总体（或总体为从分布函数为从分布函数变量，则称变量，则称的、相互独立的随机的、相互独立的随机是具有同一分布函数是具有同一分布函数的随机变量，若的随机变量，若是具有分布函数是具有分布函数设设2121.简称样本简称样本18第二节第二节 抽样分布抽样分布统计量与经验分布函数统计量与经验分布函数统计三大抽样分布统计三大抽样分布几个重要的抽样分布定理几个重要的抽样分布定理课堂练习课堂练习19 由样本值去推断总体情况，需要对样本值进由样本值去推断总体情况，需要对样本值进

15、行行“加工加工”，这就要构造一些样本的函数，它把，这就要构造一些样本的函数，它把样本中所含的（某一方面）的信息集中起来样本中所含的（某一方面）的信息集中起来.1. 统计量统计量 这种这种不含任何未知参数的样本的函数称为统不含任何未知参数的样本的函数称为统计量计量. 它是完全由样本决定的量它是完全由样本决定的量.一、统计量与经验分布函数一、统计量与经验分布函数20定义定义.),(,),(,21212121个统计量个统计量称是一称是一中不含未知参数，则中不含未知参数，则的函数，若的函数，若是是的一个样本，的一个样本，是来自总体是来自总体设设nnnnXXXggXXXXXXgXXXX请注意请注意 :1

16、2121212,( ,)(,).nnnnXXXXx xxg x xxg XXX设是来自总体 的一个样本是一个样本的观察值 则也是统计量的观察值21 几个常见统计量几个常见统计量样本平均值样本平均值niiXnX11它反映了它反映了总体均值总体均值的信息的信息样本方差样本方差niiXXnS122)(11它反映了总体它反映了总体方差的信息方差的信息 niiXnXn12211样本标准差样本标准差 niiXXnS12)(1122nikikXnA11它反映了总体它反映了总体k 阶矩的信息阶矩的信息样本样本k阶原点矩阶原点矩样本样本k阶中心矩阶中心矩nikikXXnB1)(1 k=1,2,它反映了总体它反映

17、了总体k 阶阶中心矩的信息中心矩的信息23统计量的观察值统计量的观察值122121111;1(- )-11(- ) ;-111,2,1(- )1,2,-1niiniiniinkkiinkkiixxnsxxnsxxnaxknbxxkn24请注意请注意 :., 2 , 11)(1 kXnAnXEkXkpnikikkk时，时，存在，则当存在，则当阶矩阶矩的的若总体若总体.),(),(2121为连续函数为连续函数其中其中可将上述性质推广为可将上述性质推广为由依概率收敛性质知，由依概率收敛性质知，再再ggAAAgkpk ., 2 , 1)(,2121上述结论上述结论再由辛钦大数定律可得再由辛钦大数定律可

18、得同分布同分布独立且与独立且与有有同分布，同分布，独立且与独立且与由由事实上事实上nkXEXXXXXXXXkkikknkkn 25 2. 经验分布函数经验分布函数.,)(,2121的随机变量的个数的随机变量的个数中不大于中不大于表示表示的一个样本，用的一个样本，用是总体是总体设设xxxxxxsFXXXnn xxsnxFn)(1)(经验分布函数为经验分布函数为定义定义 2, 121,321, 0)()(21133xxxxFxFF若若若若若若的观察值为的观察值为，则经验分布函数，则经验分布函数，具有一个样本值具有一个样本值设总体设总体例例26)1, 2 , 1(, 1, 0)()(.,)()1()

19、()1()()2()1(21 nkxxxxxnkxxxFxFxxxnxxxnkknnnn若若若若若若的观察值为的观察值为则经验分布函数则经验分布函数如下：如下：将它们按大小次序排列将它们按大小次序排列值值的样本的样本是总体的一个容量为是总体的一个容量为一般，设一般，设27. 10)()(suplim , )( 1 )( , , xFxFPxFxFnxnxnn即即一致收敛于分布函数一致收敛于分布函数以概率以概率时时当当对于任一实数对于任一实数. )( , )( )( , 使使用用来来从从而而在在实实际际上上可可当当作作只只有有微微小小的的差差别别与与总总体体分分布布函函数数数数的的任任一一个个观

20、观察察值值经经验验分分布布函函时时充充分分大大当当对对于于任任一一实实数数xFxFxFnxn3.格里汶科定理格里汶科定理28 二、统计三大抽样分布二、统计三大抽样分布)(22n记为记为2分布分布1、定义定义: 设设 相互独立相互独立, 都服从正态分布都服从正态分布N(0,1), 则称随机变量：则称随机变量： 所服从的分布为所服从的分布为自由度为自由度为 n 的的 分布分布.nXXX,21222212nXXX22分布是由正态分布派生出来的一种分布分布是由正态分布派生出来的一种分布. .29分布的概率密度为分布的概率密度为)(2n .00,e)2(21)(2122其他其他yynyfynn.)(2图

21、图分布的概率密度曲线如分布的概率密度曲线如n 30),(2N1. 设设 相互独立相互独立, 都服从正态分布都服从正态分布nXXX,21则则)()(121222nXnii这个性质叫这个性质叫 分布的分布的可加性可加性.2分布的性质分布的性质2 ).(21221nnXX 则则),(),(222121nXnX2设设 且且X1,X2相互独立，相互独立，31E(X)=n, D(X)=2n.1)()(),1 , 0(2 iiiXDXENX故故事实上，由事实上，由213)()()(2242 iiiXEXEXD.2)()(,)()(122122nXDDnXEEniinii 3. 若若X , 则则2( )n32

22、分布的分位点分布的分位点 2 .)()(d)()(, 10,22)(222分位点分位点分布的上分布的上为为的点的点称满足条件称满足条件对于给定的正数对于给定的正数 nnyyfnPn .,分位点的值分位点的值得上得上可以通过查表求可以通过查表求对于不同的对于不同的 n5.33分位点满足分位点满足的上的上设设 )(),(22nnZ,d);()()(222 nynynZP .,)(2可通过查表完成可通过查表完成的值的值求求n )8(2025. 0 )10(2975. 0 )25(21 . 0 = 17. 534,= 17. 534,247. 3 = 34. 381.= 34. 381.例例34).(

23、,/,),(),1, 0(2ntttnnYXtYXnYNX记为记为分布分布的的服从自由度为服从自由度为则称随机变量则称随机变量独立独立且且设设 t 分布又称分布又称学生氏学生氏(Student)分布分布. tntnnnthn,1221)(212 分布的概率密度函数为分布的概率密度函数为)(nt分布分布t2.35分布的性质：分布的性质：t)2()2()(, 0)(),(. 1 nnntDtEntttn与方差为：与方差为：其数学期望其数学期望分布分布的的具有自由度为具有自由度为.21)(lim,.0. 222tnethntt 函数的性质有函数的性质有由由再再分布概率密度的图形，分布概率密度的图形，

24、其图形近似于标准正态其图形近似于标准正态充分大时充分大时当当对称对称分布的密度函数关于分布的密度函数关于).1 , 0(Ntn近似近似足够大时，足够大时，即当即当图图分布的概率密度曲线如分布的概率密度曲线如t36.)()(如图所示如图所示分位点分位点分布的上分布的上为为的点的点 ntnt )()()(ntdtthnttp称满足条件称满足条件，对于给定的对于给定的分布的分位点分布的分位点, 10. 3 t37)()(1ntntt 分位点的性质：分位点的性质：分布的上分布的上.1315. 2)15()(025. 0 tntt求得，例求得，例可查表可查表分位点分位点分布的上分布的上( )45tnnz

25、当时，对于常用的 的值，近似正态可用38).,(,),(/,),(),(2121212212nnFFFnnnVnUFVUnVnU记为记为布布分分的的服从自由度为服从自由度为随机变量随机变量则称则称独立独立且且设设 分布分布F3.定义定义39图图分布的概率密度曲线如分布的概率密度曲线如F ., 0, 0,1222)(2212112221212111其他其他ynynnnynnnnynnnn 分布的概率密度为分布的概率密度为),(21nnF40即它的数学期望并不依赖于第一自由度即它的数学期望并不依赖于第一自由度n1.2.F分布的数学期望为分布的数学期望为:2)(22 nnFE若若n22分布的性质分布

26、的性质F).,(1),(1221nnFFnnFF则则若若1.41 ),(21nnF F分布的分位数分布的分位数称满足条件称满足条件，对于给定的对于给定的, 10 ),(2121)(),(nnFdyynnFFp.),(),(2121如图所示如图所示分位点分位点分布的上分布的上为为的点的点 nnFnnF分位点的性质：分位点的性质：分布的上分布的上 F),(1),(12211nnFnnF 357. 080. 21)12, 9(1)9 ,12(,.05. 095. 0 FFF例例分位点可查表求得分位点可查表求得分布的上分布的上42三、几个重要的抽样分布定理三、几个重要的抽样分布定理有有和样本方差和样本

27、方差则样本均值则样本均值来自总体的一个样本，来自总体的一个样本，是是，方差为，方差为的均值为的均值为设总体设总体2212,XSXXXXn 2 (),(),E XD Xn22)( SE niiXnXnEsE122211)(事实上事实上 niiXnEXEn122)()(11 21222211 ninnn43 定理定理 1 (样本均值的分布样本均值的分布),(2nNX ) 1 , 0 ( NnX 即即 设设 X1, X2, , Xn 是来自正态总体是来自正态总体),(2 N的样本，的样本， 是样本均值，则有是样本均值，则有X 当总体为当总体为正态分布正态分布时，给出几个重要的抽样分时，给出几个重要的

28、抽样分布定理布定理. 44 定理定理 2 (样本方差的分布样本方差的分布) 1() 1() 1 (222nSn 设设X1,X2,Xn是来自正态总体是来自正态总体),(2 N的样本的样本,2SX和分别为样本均值和样本方差分别为样本均值和样本方差, 则有则有.)2(2独立独立与与SX45).1(/,),(,2221 ntnSXSXNXXXn 则有则有方差方差分别是样本均值和样本分别是样本均值和样本样本样本的的是总体是总体设设证明证明),1 , 0(/NnX 因为因为),1()1(222 nSn 且两者独立且两者独立, 由由 t 分布的定义知分布的定义知)1()1(/22 nSnnX ).1( nt

29、定理定理346 定理定理 4 (两总体样本均值差、样本方差比的分布两总体样本均值差、样本方差比的分布) 这两个样本的样本方差这两个样本的样本方差,则有则有X1,X2,1nX是来自是来自X的样本的样本,是取自是取自Y的样本的样本,Y1,Y2,2nYYX和分别是这两个样本的分别是这两个样本的2221SS 和样本均值，样本均值，分别是分别是221122(,)(,)XNYN ，且且X与与Y独立独立,设设47, (2);1, 1(/(1)222212122212221时时当当 nnFSS.,2)1()1(),2(11)()(2212222112212121wwwwSSnnSnSnSnntnnSYX 其中

30、其中 48证明证明 (1) 由定理由定理2),1()1(1221211 nSn ),1()1(2222222 nSn , , 2221独立独立由假设由假设SS 分布的定义知分布的定义知则由则由F1), 1()1()1()1()1(21222222211211 nnFnSnnSn . )1, 1(/ 2122212221 nnFSS 即即49 221221, nnNYX 因为因为212111)()( nnYXU 所以所以),1 , 0( N(2),1()1( 122211 nSn 由由),1()1(222222 nSn 分布的可加性知分布的可加性知故由故由且它们相互独立且它们相互独立2, 50

31、2211)1( SnV2222)1( Sn ),2(212 nn .,分布的定义分布的定义按按相互独立相互独立与与由于由于tVU)2/(21 nnVU212111)()(nnSYXw ).2(21 nnt51四、例题四、例题例例122(12,),25,12.5.(1)1225.57.XNXS设总从态为样样样体体 服服正正分分布布抽抽取取容容量量的的本本 求求本本均均值值 大大于于的的概概率率如如果果已已知知；（） 未未知知，但但已已知知本本方方差差解解 2512125 .122512125 .12)1(XPXP1063. 0)25. 1(125. 14 . 012 XP 059. 1255 .

32、1225125 .12)2( TPSSXPXP .15. 05 .12.15. 0059. 1,059. 1)24(,2415. 0 XPTPtt故有故有即即分布表分布表的的查自由度为查自由度为52例例2211010211021( ,0.5 ),.104 ;2(-)2.85 .iiiiNXXpXpXX从态总样正正体体中中抽抽取取本本（）已已知知，求求概概率率（） 未未知知，求求概概率率解解)10(5 . 01)1 , 0(5 . 00)1(2101222 iiiXYNX，则，则有有，由由 165 . 045 . 01421012221012 YpXpXpiiii53.10. 04.16)10(

33、1012210. 0 iiXp由此可得由此可得查表求查表求)9()(5 . 015 . 092)2(22101222 iiXXSZ，由题设及定理由题设及定理 10122210125 . 085. 2)(5 . 0185. 2)(iiiiXXpXXp 4 .112 ZP由此可求得由此可求得查表得查表得, 4 .11)9(225. 0 .25. 085. 2)(1012 iiXXp54例例3).()(),(2,1,)(211SEXDXEXXXXnn和和）计算）计算（的概率分布；的概率分布；）写出）写出（是一个样本：是一个样本：，设总体服从泊松分布设总体服从泊松分布 解解 0, 2 , 1 , 01 iixiixexxXPi）由于）由于（的概率分布为的概率分布为因此样本因此样本nXX,1 niniixnixxeexniii11!1 niiixXP155例例4.)()(,6)1 , 0(226542321621分布分布服从服从，使随机变量，使随机变量试决定常数试决定常数设设，的样本的样本量为量为，从此总体中取一个容，从此总体中取一个容若总体若总体 CYCXXXXXXYXXXNXnnXDXDXEXEXDXE )()(,)()(,)()()2(则有则有由于，由于， niiXXnESE122)(11)(56)2(33312232123212 XXXXXXY分布的性质可知