对面积的曲面积分的概念与性质ppt课件

1、第四节一、对面积的曲面积分的概念与性质一、对面积的曲面积分的概念与性质 二、对面积的曲面积分的计算法二、对面积的曲面积分的计算法机动 目录 上页 下页 返回 完毕 对面积的曲面积分 第十章 0 0、引言：、引言： 前面我们曾用第一型对弧长的曲线前面我们曾用第一型对弧长的曲线积分来表示质量非均匀分布的曲线形物积分来表示质量非均匀分布的曲线形物件的质量，用类似的方法可以表示质量件的质量，用类似的方法可以表示质量非均匀分布的曲面壳的质量。非均匀分布的曲面壳的质量。oxyz一、对面积的曲面积分的概念与性质一、对面积的曲面积分的概念与性质引例引例: 设曲面形构件具有连续面密度设曲面形构件具有连续面密度)

2、,(zyx类似求平面薄板质量的思想, 采用kkkkS),(可得nk 10limM),(kkk求质 “大化小, 常代变, 近似和, 求极限” 的方法,量 M.其中, 表示 n 小块曲面的直径的最大值 (曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者). 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 类似的象求温度非均匀分布的曲面类似的象求温度非均匀分布的曲面 上的热量、电荷非均匀分布的曲面上的热量、电荷非均匀分布的曲面壳上的电量等问题，也会遇到上述壳上的电量等问题，也会遇到上述类型的和式极限，因而，有必要研类型的和式极限，因而，有必要研究这一类型的和式极限，为此，我究这一类型的和式极限，为此，我们引入对面积的曲面

3、积分的概念。们引入对面积的曲面积分的概念。SzyxMd),(定义定义: 设 为光滑曲面,“乘积和式极限” kkkkSf),(nk 10lim都存在,的曲面积分Szyxfd),(其中 f (x, y, z) 叫做被积据此定义, 曲面形构件的质量为曲面面积为SSdf (x, y, z) 是定义在 上的一 个有界函数,记作或第一类曲面积分.若对 做任意分割和局部区域任意取点, 则称此极限为函数 f (x, y, z) 在曲面 上对面积函数, 叫做积分曲面.机动 目录 上页 下页 返回 完毕 则对面积的曲面积分存在. 对积分域的可加性.,21则有Szyxfd),(1d),(Szyxf2d),(Szyx

4、fSzyxgkzyxfkd),(),(21 线性性质.则为常数设,21kkSzyxgkSzyxfkd),(d),(21),(zyxf若在光滑曲面 上连续, 对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似. 积分的存在性. 假设 是分片光滑的,例如分成两片光滑曲面机动 目录 上页 下页 返回 完毕 oxyz定理定理: 设有光滑曲面设有光滑曲面yxDyxyxzz),(),(:f (x, y, z) 在 上连续,存在, 且有Szyxfd),(yxDyxf),(Szyxfd),(),(yxzyxyxzyxzyxdd),(),(122二、对面积的曲面积分的计算法二、对面积的曲面积分的计算法 则曲面积分证明证

5、明: 由定义知由定义知Szyxfd),(kkkkSf),(nk 10limyxD),(kkkyxk)(机动 目录 上页 下页 返回 完毕 kSyxyxzyxzyxkyxdd),(),(1)(22yxkkkykkxzz)(),(),(1220limnk 1yxkkkykkxzz)(),(),(1220limnk 1yxkkkykkxzz)(),(),(122yxyxzyxzyxfyxDyxdd),(),(1),(22),(yxz),(,(kkkkzf),(,(kkkkzfSzyxfd),(而(光滑)机动 目录 上页 下页 返回 完毕 说明说明:zyDzyzyxx),(),(zxDzxzxyy),

6、(),(或可有类似的公式.1) 如果曲面方程为2) 若曲面为参数方程, 只要求出在参数意义下dS 的表达式 , 也可将对面积的曲面积分转化为对参数的二重积分. (见本节后面的例4, 例5) 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 yxD例例1. 计算曲面积分计算曲面积分,dzS其中是球面222zyx被平面)0(ahhz截出的顶部.解解: :yxDyxyxaz),( ,:2222222:hayxDyx221yxzz 222yxaazSd20da0)ln(2122222haraahaaln2yxDyxayxa222dd22022dhararr2aoxzyha机动 目录 上页 下页 返回 完毕 考虑考虑

7、:假设 是球面2222azyx被平行平面 z =h 截出的上下两部分,) (dzS) (dzS0hln4aa那么hhoxzy机动 目录 上页 下页 返回 完毕 例例2. 计算计算,dSzyx其中 是由平面坐标面所围成的四面体的表面. ozyx111解解: 设设上的部分, 那么4321,4dSzyx,1:4yxz1010:),(xxyDyxyxxyyxy10d)1 (12031zyx与, 0, 0, 0zyx10d3xx1zyx4321Szyxd 原式 = 分别表示 在平面 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 xozy例例3. 设2222:azyx),(zyxf计算.d),(SzyxfI解解:

8、锥面锥面22yxz的222yxaz.,2122122azayx1设,),(22122ayxyxDyx,22yx ，022yxz当22yxz当与上半球面交线为为上半球面夹于锥面间的部分, 它在 xoy 面上的投影域为1yxD那么 1d)(22SyxI机动 目录 上页 下页 返回 完毕 1d)(22SyxIyxDyx)(22rrraraadd202222021)258(614a222yxaayxddxozy1yxD机动 目录 上页 下页 返回 完毕 考虑考虑: 若例若例3 中被积函数改为中被积函数改为),(zyxf,22yx ，022yxz当22yxz当计算结果如何 ? 例例4. 求半径为求半径为

9、R 的均匀半球壳的均匀半球壳 的重心的重心.解解: 设设 的方程为的方程为yxDyxyxRz),( ,222利用对称性可知重心的坐标,0 yx而 z 223RRR用球坐标cosRz ddsind2RS SdSzd20032dcossindR2002dsindR思考题思考题: 例例 3 是否可用球面坐标计算是否可用球面坐标计算 ?例3 目录 上页 下页 返回 完毕 例例5. 计算计算),(dRzSI.:2222Rzyx解解: 取球面坐标系取球面坐标系, 那么那么,cos:Rz I0cos)cosd(2RRRRRRln2ddsind2RS 02dcossinRR20d机动 目录 上页 下页 返回

10、完毕 例例6. 计算计算,d)(22SyxI其中 是球面22yx 利用对称性可知SzSySxddd222SzSySxdddSzyxId)(32222Szyxd)(34Sxd4Sxd448)3(4142解解: 显然球心为显然球心为, ) 1 , 1 , 1 (半径为3x利用重心公式SxdSd).(22zyxz机动 目录 上页 下页 返回 完毕 zzd例例7. 计算计算,d222zyxSI其中 是介于平面之间的圆柱面.222Ryx分析分析: 若将曲面分为前后若将曲面分为前后(或左右或左右)zRSd2d那么HzRzRI022d2RHarctan2Hzz,0oHxyz解解: 取曲面面积元素取曲面面积元

11、素两片, 则计算较繁. 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 oyxzL例例8. 求椭圆柱面求椭圆柱面19522yx位于 xoy 面上方及平面 z = y 下方那部分柱面 的侧面积 S . 解解: )0(sin3,cos5:ttytxL取SSdszLdtt cosdcos45302sd5ln4159zszSddttttdcos9sin5sin3220syLd机动 目录 上页 下页 返回 完毕 例例9. 设有一颗地球同步轨道通讯卫星, 距地面高度 h = 36000 km,机动 目录 上页 下页 返回 完毕 运行的角速度与地球自转角速度相同, 试计算该通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比. (地球半

12、径 R = 6400 km )解解: yzxohR R建立坐标系如图, 覆盖曲面 的半顶角为 ,利用球坐标系, 那么ddsind2RS 卫星覆盖面积为SAd0202ddsinR)cos1 (22RhRRcoshRhR22机动 目录 上页 下页 返回 完毕 故通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比为24 RA)(2hRh6610)4 . 636(21036%5 .40由以上结果可知, 卫星覆盖了地球 31以上的面积, 故使用三颗相隔32角度的通讯卫星就几乎可以覆盖地球全表面. 说明说明: 此题也可用二重积分求此题也可用二重积分求 A (见下册见下册P109 例例2) . yzxohR R内容小结内容

13、小结1. 定义:Szyxfd),(iiiiSf),(ni 10lim2. 计算: 设,),( , ),(:yxDyxyxzz那么Szyxfd),(yxDyxf,(),(yxz)221yxzz yxdd(曲面的其他两种情况类似) 注意利用球面坐标、柱面坐标、对称性、重心公式简化计算的技巧. 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 思考与练习思考与练习P190 题1；3；4(1) ; 7 解答提示解答提示:P190 题1.SzyxzyIxd),()(22P191 题3. ,),( ,0:yxDyxzyxDyxyxfSzyxfdd),(d),(设那么0机动 目录 上页 下页 返回 完毕 P191 题4(

14、1).oyxz2 在 xoy 面上的投影域为2:22 yxDyxyxzzSyxdd1d22yxyxdd)(4122yxDSyxyxSdd)(41d22rrrd41d20220313这是 的面积 !2xyD)(2:22yxz机动 目录 上页 下页 返回 完毕 P191 题7. 如下图, 有yxyxyxSzyxDdd1)(21d2222rrrd1d21202320354tttd) 1(302221rt令o21yxDzyx机动 目录 上页 下页 返回 完毕 典型 题2. 设),0(:2222zazyx在第为1一卦限中的部分, 则有( ).;d4d)(1SxSxA;d4d)(1SxSyB;d4d)(1SxSzC.d4d)(1SzyxSzyxDC( 2000 考研 )机动 目录 上页 下页 返回 完毕 作业 P190 4(1)(3); 5(2); 6(1), (2); 7 第五节 目录 上页 下页 返回 完毕 备用题备用题 1. 已知曲面已知曲面壳壳)(322yxz,22zyx求此曲面壳在平面 z1以上部分 的的面密度质量 M . 解解: 在在 xoy 面上的投影为面上的投影为 ,2:22 yxDyx故SMdrrrd41d322020)41d(418162202rryxyxyxDdd)(4132213机动 目录 上页 下页 返回 完毕 2. 设设 是四面体是四面体的