上海交通大学大学物理课件 机械波课件

1、第第 8 章章 机械波机械波第第 8 章章 机械波机械波8.1 机械波的类型机械波的类型8.2 机械波的速度机械波的速度8.3 惠更斯原理惠更斯原理8.4 平面简谐波平面简谐波8.5 平面波的波动方程平面波的波动方程8.6 波的能流密度和强度波的能流密度和强度8.7 半波反射和全波反射半波反射和全波反射8.8 波的叠加和干涉现象波的叠加和干涉现象8.9 多普勒效应多普勒效应机械振动在连续介质内的传播形成机械波机械振动在连续介质内的传播形成机械波机械波产生的两个条件：机械波产生的两个条件：波源，媒质波源，媒质振动是波动的基础，波动是振动的传播。振动是波动的基础，波动是振动的传播。常见的波有：机械

2、波，常见的波有：机械波，电磁波，电磁波，一一、横波与纵波横波与纵波横波：横波：质质元元振动方向与波的传播方向垂直振动方向与波的传播方向垂直纵波：纵波：质质元元振动方向与波的传播方向平行振动方向与波的传播方向平行8.1 机械波的类型机械波的类型振动方向振动方向传播方向传播方向横波横波纵波纵波 传播方向传播方向振动方向振动方向v 备注备注二二、行波脉冲波和持续波行波脉冲波和持续波三三、平面波球面波柱面波平面波球面波柱面波波线：波线： 用有向直线表示波的传播方向用有向直线表示波的传播方向 波阵面：波阵面：某一时刻波的前方达到的各点构成的连续某一时刻波的前方达到的各点构成的连续 的面，又称波前的面，又

3、称波前各向同性介质中，波线与波阵面各向同性介质中，波线与波阵面垂直垂直若波阵面为平面，称为若波阵面为平面，称为平面波平面波若波阵面为球面，称为若波阵面为球面，称为球面波球面波若波阵面为柱面，称为若波阵面为柱面，称为柱面波柱面波脉冲波脉冲波持续波持续波波阵面波阵面波线波线平面波平面波波阵面波阵面波线波线点源点源球面波球面波波阵面波阵面波线波线线源线源柱面波柱面波END机械波的速度决定于媒质的弹性和密度机械波的速度决定于媒质的弹性和密度1. 绳或弦上的横波波速绳或弦上的横波波速Fu F 张力，张力，m m 线密度线密度2. 细棒中的纵波波速细棒中的纵波波速Eu E 杨氏模量，杨氏模量， 密度密度波

4、速波速u：波阵面沿波线的推进速度（相位传播）波阵面沿波线的推进速度（相位传播）8.2 机械波的速度机械波的速度, t, tt ABStSu 3. 固体中横波波速固体中横波波速uGG 切变弹性模量，切变弹性模量， 密度密度4. 液体和气体中的纵波波速液体和气体中的纵波波速Ku K 容变模量，容变模量， 密度密度5. 稀薄气体中的声速稀薄气体中的声速pMRTu震中震中*VVKpdd设气体满足绝热过程：设气体满足绝热过程：pVC 0dd1VpVpV得得VpVpddpVpVKdd得得按照容变模量按照容变模量 K 的定义：的定义：pKu pRTMuRTMEND1. 波动传到的各点都可以波动传到的各点都可

5、以 看作是发射看作是发射子波子波的波源，的波源， 在其后的任一时刻，这在其后的任一时刻，这 些子波波阵面的些子波波阵面的包迹包迹就就 决定决定新新的波阵面的波阵面惠更斯原理。惠更斯原理。8.3 惠更斯原理惠更斯原理2. t 时刻波阵面时刻波阵面 t+ t 时刻波阵面时刻波阵面 波的传播方向（如下页图）波的传播方向（如下页图）荷兰物理学家荷兰物理学家(1629-1695)一、一、惠更斯原理惠更斯原理子波源子波源子波子波子波子波t+ t 时刻波阵面时刻波阵面t 时刻波阵面时刻波阵面子波源子波源二、波的衍射二、波的衍射1. 现象现象波传播过程中当遇到障碍物时波传播过程中当遇到障碍物时，能绕过障碍物的

6、边能绕过障碍物的边缘而传播的现象缘而传播的现象衍射衍射。2. 作图作图 可用惠更斯原理作图可用惠更斯原理作图（2）a 阴影区阴影区阴影区阴影区a（1）a 1s，试根据图中试根据图中绘出的条件求出波的表达式，并求绘出的条件求出波的表达式，并求A点的振动式。点的振动式。解：解：m01. 0A101sm02. 02101. 0txxu波速：波速：s202. 004. 0uT1s2Ty(cm)x(cm)123456A1- -10m04. 0原点振动：原点振动：)cos(0tAycos0A初始条件：初始条件：0sinAu220sin)2cos(01. 00tyy(cm)x(cm)123456A1- -1

7、0)2cos(01. 00ty2)02. 0(cos01. 0 xty波动式：波动式：A点振动式：点振动式：2)02. 001. 0(cos01. 0tyAtyAcos01. 0解法二解法二A点振动式：点振动式：)cos(tAyAcosAA初始条件：初始条件：0ttAyAcos01. 0cos)02. 001. 0(cos01. 0 xty波动式：波动式：2)02. 0(cos01. 0 xtyy(cm)x(cm)123456A1- -10y解：解：)20(4cos3xtyAxyBuB点点振动式：振动式：)4cos(3tyB波动波动式式：)20(4cos3xty例例8-4一平面简谐波在介质中以

8、速度一平面简谐波在介质中以速度 ，沿沿x轴轴的负向传播。已知的负向传播。已知A点的振动式为点的振动式为 ，则（则（1）以以A点为坐标原点求波动点为坐标原点求波动式式；（；（2）以距）以距A点点5m处的处的B为坐标为坐标原点求波动原点求波动式式。m/s20uty4cos3x解：解：入射波波动式：入射波波动式：)(cosuxtAy)(cosuLtAyBu反射波波动式：反射波波动式：)(cosuLuLxtAy)2(cosuLuxtAoBxLuyEND例例8- -5有一平面简谐波沿有一平面简谐波沿 x轴方向传播，在距反射面轴方向传播，在距反射面B为为L处的振动规律为处的振动规律为 ，设波速为设波速为u

9、 ，反射时无反射时无半波损失，求入射波和反射波的波动式。半波损失，求入射波和反射波的波动式。tAycos各种平面波都满足下列方程各种平面波都满足下列方程22222xyuty称为平面波的波动方程称为平面波的波动方程平面简谐波波动式是它的解。平面简谐波波动式是它的解。8.5 平面波的波动方程平面波的波动方程弦上的横波，设线密度弦上的横波，设线密度m m，张力张力F F（不变）不变）FFqqabFFaFbFxdqqqqqqsincossincossinsinFFFFab22dtyx2222xyFtyFu )()tantan(dxxxxyxyFFqqxxyFd)(22END一、机械波的能流密度一、机械

10、波的能流密度设设yAtkxcos()2k)(21tyxE21221221xyxyxxxxyxTE212p1221xyxT8.6 波的能流密度和强度波的能流密度和强度uABxoxyxy /22pk21)(21xyxTtyxEEE对于平面简谐波对于平面简谐波kxtAxE222ksin21kxtAxkTE222psin21pk EETkumExAtkxm222sin（同步变化同步变化）单位体积中的单位体积中的机械能机械能ES x222Atkxsin22021d1AtTTSmp(1) 固定固定x 物理意义物理意义 (2) 固定固定t 均随均随 t 周期性变化周期性变化pkpk 随随x周期分布周期分布p

11、ky 最大最大 为为 0kpy=0 最大最大kpkxtA222sin21kp)cos(kxtAypTx = x0kto(1/4) 2A2 t= t0kxo(1/4) 2A2uJu波的强度波的强度utTutJTJITT00dd1对于平面简谐波：对于平面简谐波：IA u12222mW :SI二、波的能流密度波的强度二、波的能流密度波的强度单位时间内通过截面的波动能量称为单位时间内通过截面的波动能量称为能流能流单位时间内通过单位垂直截面的波动能量单位时间内通过单位垂直截面的波动能量称为称为能流密度能流密度uSPuSuxu球面简谐波的波动式：球面简谐波的波动式：uAI221121uAI222221在在

12、无吸收无吸收时，通过两球面的能流相等时，通过两球面的能流相等1221rrAA)cos(00krtrrAyr2r1O22221144rIrI三、声波声强级三、声波声强级频率范围：频率范围：Hz20000202. 声强级声强级0logIIL 2120m/W10I单位：贝尔（单位：贝尔（Bel）分贝分贝(dB）Bel101dB1声波，超声波，次声波声波，超声波，次声波1. 正常人听声范围正常人听声范围1000o2020000I (W / m2) I上上=1I0=10-12W/m2 (Hz)以以1000 Hz 时的时的I下下作为基准声强作为基准声强 I0, 0log10IIL 解：解：uSwP Tu2

13、T2 uSwP2END例例8-6在截面积为在截面积为S的圆管中，有一列平面简谐波，其波动的圆管中，有一列平面简谐波，其波动的表达式为的表达式为 。管中波的平均管中波的平均能量密度为能量密度为w，则通过截面则通过截面S的平均能量是多少？的平均能量是多少？)/2cos(xtAy8.7 半波反射和全波反射半波反射和全波反射半波反射半波反射固定端固定端入射波入射波反射波反射波全波反射全波反射反射波反射波入射波入射波自由端自由端END一、波的叠加原理一、波的叠加原理1. 波传播的独立性原理：波传播的独立性原理：若干列波在传播过程中相若干列波在传播过程中相遇，每列波仍将保持其原有的振动特性（频率，波遇，每

14、列波仍将保持其原有的振动特性（频率，波长，振幅，振动方向），不受其它波的影响长，振幅，振动方向），不受其它波的影响。2. 波的叠加原理：波的叠加原理：在相遇区域内，任一质元振动的位在相遇区域内，任一质元振动的位移是各列波单独存在时在该点引起的位移的矢量和。移是各列波单独存在时在该点引起的位移的矢量和。8.8 波的叠加和干涉现象波的叠加和干涉现象振动叠加发生在单一质点元振动叠加发生在单一质点元波的叠加发生在波的相叠区域波的叠加发生在波的相叠区域波动方程的波动方程的线性线性决定了波服从决定了波服从叠加原理叠加原理波的强度过大（如冲击波）波的强度过大（如冲击波）非线性波非线性波叠加原理不成立叠加原理

15、不成立电磁波电磁波麦克斯韦方程组的四麦克斯韦方程组的四个方程都是线性的，个方程都是线性的，光波在媒质中传播时光波在媒质中传播时弱光弱光 媒质可看作线性媒质媒质可看作线性媒质强光强光 媒质非线性媒质非线性, 波的叠加原理不成立波的叠加原理不成立 解满足叠加原理。解满足叠加原理。v 二、波的干涉二、波的干涉相干条件相干条件 频率相同，振动方向相同，相位差恒定频率相同，振动方向相同，相位差恒定两相干波在空间相遇，两相干波在空间相遇，某些点的振动始终加强某些点的振动始终加强另一些点的振动始终减另一些点的振动始终减弱，即出现弱，即出现干涉干涉现象。现象。设设yAtkr1111cos()yAtkr2222

16、cos()yyy12AtcosPr2r1O1O2AAAA A21222122cos1212k rr其中其中设设21k rrrr21212rrnn21012 , , 当当AAAIIII I1212122 当当rrnn21212012 , , AAAIIII I1212122 相长相长相消相消例例8-7两相干机械波，振源相位差两相干机械波，振源相位差 的奇数倍，的奇数倍， 在在 P点相遇，若波程差为半波长的偶数倍，问点相遇，若波程差为半波长的偶数倍，问P 点是加强还是减弱？点是加强还是减弱？解：解：1212k rr1221krrn1222 21221 2knkn振动减弱振动减弱例例8-8两相干波源

17、两相干波源P、Q，初相相同振幅相同初相相同振幅相同，23PQR为为PQ连线上任一点，求连线上任一点，求R点振动的振幅点振动的振幅PQR32解：解：1212k rr k323减弱减弱A 0例例8-9A、B分别为两个相干平面简谐波的波源，振幅均为分别为两个相干平面简谐波的波源，振幅均为5cm，频率为频率为100Hz，波速为波速为10m/s。A点为波峰时，点为波峰时，B点恰点恰为波谷，试确定两列波在为波谷，试确定两列波在P点干涉的结果。点干涉的结果。解：解：15mABP20mm25152022BPm1 . 0u设设A比比B超前超前 BA1 . 0152522APBPAB2010A反相位反相位P点静止

18、！点静止！例例8-10两相干波源两相干波源S1和和S2的间距为的间距为d=30m，且都在且都在x轴上，轴上，S1位于原点位于原点o。设由两波源分别发出两列波沿设由两波源分别发出两列波沿x 轴传播，强轴传播，强度保持不变。度保持不变。x1 =9m和和 x2=12m处的两点是相邻的两个因干处的两点是相邻的两个因干涉而静止的点。求两波长和两波源间最小相位差。涉而静止的点。求两波长和两波源间最小相位差。解：解：oS1S2x1x2dx设设S1和和S2的振动相位分别为：的振动相位分别为：12) 12(2)(21112kxxdx1点的振动相位差：点的振动相位差：（1）)32(2)(22122kxxdx2点的

19、振动相位差：点的振动相位差：（2）2)(412 xxm6)912(2)(212xx由（由（1）式）式)2(2) 12(112xdk)52(kk= - -2，- -3时相位差最小时相位差最小12oS1S2x1x2dx三、驻波三、驻波当两列振幅相同，频率相同，振动方向相同的当两列振幅相同，频率相同，振动方向相同的波以相反方向传播时，叠加形成波以相反方向传播时，叠加形成驻波驻波。1. 表达式表达式设：设：yAtkx1cosyAtkx2cosyyyAkxt122coscost = 0t = T/6t = T/4t = T/3t = T/2xO右行波右行波左行波左行波合成波合成波yyyAkxt122co

20、scos2. 振幅振幅kxnn 012, , 波腹波腹腹腹腹腹x 2kxn 212n 012, , 波节波节节节节节x 2腹腹节节x 43. 相位相位作振幅为作振幅为2Akxcos的简谐振动的简谐振动两相邻波节之间的质元相位相同两相邻波节之间的质元相位相同每一波节两侧各质元相位相反。每一波节两侧各质元相位相反。4. 能量能量波节只有势能，波腹只有动能。波节只有势能，波腹只有动能。当所有各点达到最大位移，全部能量为势能。当所有各点达到最大位移，全部能量为势能。当所有各点达到平衡位置，全部能量为动能。当所有各点达到平衡位置，全部能量为动能。经经1/4T，波节附近势能转化为波腹附近动能。波节附近势能

21、转化为波腹附近动能。四、简正模式四、简正模式两端固定的张紧弦中产生驻波两端固定的张紧弦中产生驻波nLn212 3 , , 1,2,3= 2nLnuu简正频率简正频率对应的驻波称为弦的对应的驻波称为弦的简正模简正模或或固有振动固有振动n1n 2例例8-11如图所示，在一根线密度如图所示，在一根线密度m m=103kg/m和张力和张力 F=10N 的弦线上，沿的弦线上，沿x轴正方向传播简谐横波，其频率轴正方向传播简谐横波，其频率 =50Hz，振幅振幅A=0.04m。巳知弦线上离坐标原点巳知弦线上离坐标原点 x1=0.5m处的质点在处的质点在t=0时刻的位移为时刻的位移为+A/2 ，且沿且沿y轴轴

22、负向运动，当波传播到负向运动，当波传播到x2=10m处固定端时，被全部反处固定端时，被全部反 射射。试写出：试写出： （1）入射波的波动式；）入射波的波动式； （2）反射波的波动式；）反射波的波动式； （3）入射波与反射波叠加的合成波在）入射波与反射波叠加的合成波在0 x10m区间区间 内各波节和波腹处的坐标；内各波节和波腹处的坐标； （4）合成波的平均能流密度）合成波的平均能流密度。u.x1xyx2o解解：（1）波速波速sm10010103mFu波长波长m250100uy33从参考圆可知：从参考圆可知：1=/365100cos04. 0 25 . 023100cos04. 0 22cos11

23、xtxtxxtAy（2）611100cos04. 02105 . 01023100cos04. 0 xtxty（3）因波节间距离为）因波节间距离为 /2=1m，又又x2是节点是节点，所以节点坐标：所以节点坐标： x=0,1,2, 10m 波腹坐标：波腹坐标： x=0.5,1.5, 9.5m（4）I=0例例8-12在弦线上有一简谐波，其表达式为：在弦线上有一简谐波，其表达式为：)SI(3)2002. 01(2cos100 . 221xy为了在此弦线上形成驻波，并且在为了在此弦线上形成驻波，并且在x= 0处为一波节，此处为一波节，此弦上还应有一简谐波，求其表达式。弦上还应有一简谐波，求其表达式。解

24、解：)2002. 0(2cos100 . 222xty反向波反向波)302. 04(21cos)3202(21cos100 . 42txy因为因为x = 0处为波节处为波节 2)3(213434)2002. 0(2cos100 . 222xtyEND当波源当波源S和接收器和接收器r有有相对运动相对运动时时, 接收器所测得接收器所测得的频率的频率 r 不等于不等于波源振动频率波源振动频率 S 的现象。的现象。一、机械波的一、机械波的多普勒效应多普勒效应 参考系：媒质参考系：媒质 符号规定：符号规定： S和和r 相互靠近时相互靠近时vs , vr为正为正 S：波源振动频率，波源振动频率， : 波的频率，波的频率， r：接