§19.1含参变量的正常积分

1、从本章开始，讨论多元函数的积分。第十九章含参量积分§ 19.1含参变量的正常积分§ 19.2含参变量的反常积分§ 19.3欧拉积分§ 19.1含参变量的正常积分19.1.1. 概念19.1.2. 性质19.1.3. 应用19.1.1. 概念如果可积定义:设 f(x,y), (x,y) R a,b c,d为二元函数.d固定x,作积分 I (x) c f (x, y)dy(1)此积分是x的函数，其定义域为x a,b,则称此函数为定义在a,b上ydR含参量x的 (正常 )积分，lx 111简称含参量积分.11oaxb x一般地,设有二元函数f (x, y),如

2、果可积(x,y) G(x,y)|ax b,c(x) y d(x)d (x)固定x,作积分 I (x) f (x, y)dy(2)c( x)此积分仍然是X的函数,其定义域为x含参量x的(正常)积分,简称含参量积分.a,b.仍称此函数为定义在a,b上19.1.2.性质定理19.1 (连续性)若二元函数f(x, y)在矩 形区域R a,b c,d上连续，则函数"劝dxa在a,d上连续。注：(1).设 f (x,y)在 R a,b c,d上连续，则ddX。a,b,有：lim f (x, y)dy lim f (x, y)dyx x。 cc x x。b(2)同理讨论 J(y)f(x, y)dx

3、。a极限运算与积分运算的顺序可以交换.证明分析：x a,b,设x充分小,x x a,b,0,Q f (x,y)在有界闭域R上连续,从而一致连续， ()0,(x"y1)R,当X2y2(“2)有十区小)f(x,yj|/deX1y1Q I(x x)取 上述dc f(x x, y):f(x x,y) f(x,y)dy0,当 | x 时,有：I (x x) I (x)I(x)f(x, y) dy证明思路：连续定义+康托 定理(一致连续性定理) 用分析法，讲述.说明此定 理只能用一致连续性来 证.不可以直接用连续性 来证，因为直接用连续性 证明时，所得的S与(x,y) 有关.叭I(xI(x)在a

4、,b上连续.x) I (x)0limo I (x x) I(x)定理19.2 (连续性)若二元函数f (x, y)在区 域 G (x, y)a x b,c(x) y d(x) 上连续，其中c(x),d(x)为a,b上连续函数，则函数 F(x)d(x)c(x) f(x,y)dy定理19.1的推广,R G。 证明分析，通过定积分的 变量替换，将变上、下限 的积分化为上、下限为常 数的定积分。再用定理 19.1即证。在a,b上连续。证明分析：要证,F(x)d(x)c(x)f (x,y)dy 在a,b上连续,d(x)令 y c(x) tf(x,y)dyQc(x)10 f x,c(x) td(x) c(

5、x)d(x) c(x) d(x) c(x) dt导数的定义+Lagrange中值定理+定理19.1来证定义Q I (x)lim I(xx 0x) I(x)xlimx 0d f(xx,y) f(x,y)dyx由拉格朗日中值定理limx 0fx(xx, y)dy定理19.3 (可微性)若函数f(x,y)及其偏导数一 f (x,y)皆在闭矩形域 R a,b c,d上连 x续，则函数dI(x) c f(x,y)dy在a,b上可微。且d ddc f(x,y)dyf(x,y)dydx cc x证明分析：x a,b,设x充分小,x x a,b,d要证,I (x)在a,b上可微,且 I (x)( fx(x,y

6、)dy证法1分析:x,y)dyfx在 R上连续，由定理1 d=c lixm0fx(xdc fx(x,y)dy片10证法2分析：即证,lim I(xX)I(x)x 0xdc fx(x,y)dyIxe fx(x, y)dyd f(xx,y)f(x,y)dy dex由拉格朗日中值定理de fx(xx,y)dyd 1efx(xx,y)fx(x,y)dy,dfx(x,y)dycdfx(x, y)dy0< 1幻灯片110, Q fx(x, y)在有界闭域R上连续，从而一致连续，()0,(x, yJ,(X2,y2)R,当 X2 x , y2 y 时,有：|fx(x2, y2)fx(X1,yj/de取

7、上述0,当|时,有:I(xx) I(x)defx(xde fx(x,y)dyx,y) fx(x,y)dy恤 l(x x) l(x) d fx(x,y)dyx 0xe幻灯片12定理19.4 (可微性)若函数f (x,y)及其偏导数_ f (x,y)皆在闭矩形域R a,b p,q上连 续，e(x),d(x)为定义在a,b上，其值域含于p,q的可微函数，则函数d(x)qf(x)在a,b上可微。且Pd (x)F (x) eg fx(x,y)dyf (x,d(x)d (x) f (x,e(x)e(x)片13证明分析：记u d(x),v c(x),u贝 U F(x) H(x,u,v) v f (x,y)d

8、y由复合函数求导法则，以及变上(下)限积分求导法则F (x) Hx Hu ux Hv vxd(x)c(x)fx(x,y)dyf (x,d(x)d (x) f (x,c(x)c(x)幻灯片14定理19.5 域 R a,b1). I(x)2). J(y)b(可积性)若函数f(x,y)在闭矩形c,d上连续，则函数dc f(x,y)dy在a,b上可积。bf(x, y)dx在c,d上可积。简记为df (x, y)dy dxa c称为函数f先y后x的二次(累次)积分.d b简记为 dbf (x, y)dx dydy f (x, y)dxcabdadxc f(x,y)dy简记为c a称为函数f先x后y的二次

9、(累次)积分.由定理19.1与定理19.2可以推得.幻灯片15R a,bbdxa定理19.6若函数f(x, y)在闭矩形域 c,d上连续，则函数ddbf (x,y)dy dy f (x, y)dxcca161718证明分析:记 h(u)u a,b,li (u)Ii(u)Ii(a)l2(u)定理19.3ddx c f (x,y)dy, l2(u)来证，b(u) l2(u),常数l2(u)12(a)ddxcddyc a19.1.3.应用例1 .求lim0I(,1Ii(u)0.显然/dcdyYu)由变上限积分求导法则f(x, y)dyf(X, y)dxdc f(u, y)dy;f(x, y)dxua

10、 f(x,y)dx dyP.176-178例 1-4dx2 2xdx' 2 2 ,1 x11 x2由定理19.2,知1(.1 dx1叫 201 x1 dx_2 01 x 4例2 .求积分来求，1(1)01 10 1df (u,y)dy2皆为连续函数，)在0处连续,lim0I( )I(0)1ln(1 x)dx,0 1 x1ln(1 2x)dx,01 x1(1 2x)dx,0 1 xln(1 x) 1 x20,1则 I (0)0,由定理19.3,dxx20(1 x )(1x)dxx2 1 x2dxarcta nx1ln(1x2) ln(11x)0片19In 22ln(1上式两端关于，从0到

11、1积分.1(1)1(1) 1(0)I ( )dxIn 22ln(1)dx-ln(1 2) Jarctan4 221ln(10 12) dx才 n2 I(1)I(1) 8l n2幻灯片20例3.设f (x)在x 0的某个邻域内连续，验证 当x充分小时，函数1Xn 1(x) (n 1)!0(x ° f(t)dt有直到n阶导数，且(n) (x) f (x)。简记为证明：Q易验证被积函数(x t)n1f(t) F(x,t)及其偏导Fx(x,t)在(0,0)点的某方形邻域连续，由定理194(x)1(n 1)!0(n1)(x t)n 2 f(t)dt1(n1)!(xx)n 1 f(x)_1_(n2)!x0(Xt)n 2 f (t) dt幻灯片211Xn3(x) (x t) f(t)dt(n 3)! 0L L L L L L1x(k)(x)而口。(X t)n f(t)dtL L L L L Lx(n 1)(x)0 f(t)dt(n)(x)f(x).且(0)(0