均匀设计-第四章

1、第四章 配方均匀设计配方设计在化工、橡胶、食品，材料工业等领域中十分重要，设某产品有种s原料，它们在产品中的百分比分别记作。显然。欲寻找最佳配方，需要做配方试验或混料试验，由于之间不独立，前三章所介绍的各种试验设计方法均不适用于配方试验，在文献中可以查到许多有用的方法，如单纯形格子点设计（Simplex-lattice design)，单纯形重心设计(Simplex-centriod design),轴设计(axial design)等，Cornell27对各种配方试验设计方法作了详尽的介绍和讨论，本章先简单介绍文献中推荐的这些方法，然后指出这些方法的缺点，并推出配方均匀设计。4.1 配方试验

2、设计 Scheffe于1958和1963创造了单纯形格子点设计和单纯形重心设计，其方法如下：1、 单纯形格子点设计先确定一个正整数m ，然后让每个原料取值例如当s=3，m=1时，只有3个试验点：（1，0，0），（0，1，0），（0，0，1），当s=3，m=2时，有6个试验点：（1，0，0），（0，1，0），（0，0，1），（1/2，1/2，0），（1/2，0，1/2），（0，1/2，1/2），当s=3，m=3时，有10个试验点：（1，0，0，），（0，1，0），（0，0，1），（1/3，2/3，0），（1/3，0，2/3），（0，1/3，2/3），（2/3，1/3，0），（2/3，0，1/3）

3、，（0，2/3，1/3），（1/3，1/3，1/3），一般记为s，m设计，一个s，m设计有个试验点。2、 单纯形重心设计 一个s维的单纯开重心设计共有个试验点，其中s个单一成分的点，。()个二种相等成分的试验点，即个s种相等成分的试验点：当s=3时，共有7个试验点，它们为:(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),除上述两种设计外，还有许多其他方法，如Cornell建议的轴设计。 3、轴设计 单纯形的重心和它各顶点的联线称为轴，轴设计取s个试验点，每个轴上一个点，使这些点到重心有相等的矩离d，通常0<d<(s-1)/s。 图12对s=3时给出三种设计的点图，由这些点图我们发现

4、这些设计有如下两个问题：1） 试验点在试验范围内分布不十分均匀。2） 在试验边界上有太多的试验点。众所周知，在化学试验中，若有s种成分，如果缺少一种或多种，则或者不起化学反应，或者生成另外一种产品。 为了克服上述两个缺点，王元、方开泰9建议用均匀设计的思想来做配方设计，产生了配方均匀设计。4.2 配方均匀设计 s种原料的试验范围是单纯形，在上节已经提及，设我们打算比较n种不同的配方，这些配方对应中n个点，配方均匀设计的思想就是使这n个点在中散布尽可能均匀.其设计方案可用如下步骤获得：1） 给定s和n，根据附录的使用表查到生成向量，并由这个生成向量产生均匀设计表或，用qik记或中的元素。2） 对

5、每个i，计算 (4.1)3） 计算 (4.2)由就给出了对应n,s的配方均匀设计.并用记号示之。 表26对n=11,s=3时给出了产生的过程.这时计算公式(4.2)有如下简单形式 (4.3) 表26 及其生成过程 No.C1C2X1X2X311/2213/220.7870.0870.12623/225/330.6310.2850.08435/2219/220.5230.0650.41247/2211/220.4360.2820.28259/223/330.3600.5520.087611/2217/220.2930.1610.546713/229/220.2310.4540.314815/22

6、1/220.1740.7880.038917/2215/220.1210.2800.5991019/227/220.0710.6340.2961121/2221/220.0230.0440.993 公式(4.2)可以用递推方法以节省计算量，其算法如下： (a) 令. (b) 递推计算 (c) 计算 则即为所求，用这个算法便于写计算程序。 由于编写产生表的程序极其简单，因此无需列出各种配方均匀设计表，有关的软件已经形成，读者可以直接使用，而节省研制时间。 用配方均匀设计安排好试验后，根据试验的目的，获得反应变量Y的值进一步的分析和以前一样也是用回归分析，当因素间没有交互作用时，用线性模型，当因素

7、间有交互作用时用二次型回归模型，或其他非线性回归模型，现用下例来说明之。 例6 在一个新材料研制中，选择了主要三种金属的含量作为因素.根据试验条件的允许和精度的要求，选择了表来安排试验，其试验方案和Y值列于表27.由于，故表中仅仅列出和。利用二次型回归模型和逐步回归最终选定回归方程为 相应的R=0.90, =0.289.由于，回归方程中仅有和出现，我们看到和有交互作用。限于篇幅，有关寻求最优配方的内容就不详尽叙述了，有兴趣的读者请参考方开泰和王元16，张金廷13。 表27 试验方案和结果No.x1x2Y10.8170.0558.50820.6840.1799.46430.5920.3409.9

8、3540.5170.0489.40050.4520.21010.68060.3940.3849.74870.3420.5929.69880.2930.11810.23890.2470.3269.809100.2040.5579.732110.1630.8098.933120.1240.2049.971130.0870.4569.881140.0510.7278.892150.0170.03310.1394.3 有约束的配方均匀设计 上两节我们讨论的配方设计对各个因素是一视同仁的，但是在许多配方中，有些成分的含量很大，有些则很小，这种配方称为有约束的配方，这时上两节所介绍的方法均不能直接运用，本

9、节介绍有约束的配方均匀设计。 设在一配方中有s个成分，它们有约束条件如下： (4.4)当某个因子没有约束时，相应的 例7 若一配方有三个成分和，它们目前按70%，20%，10%组成配方，为了提高质量，希望寻求新的配比，这时我们希望设计一个试验，使 (4.5)这时如何用均匀设计来给出试验方案呢？ 本例由于的含量较高，我们可以将和在试验范围内按独立变量的均匀设计去选表，然后用给出的比例，若和都在试验范围内取11个水平，并用来安排和，得表28之试验方案.该方案并不十分理想，因为只有三个水平:0.64,0.70,0.76.若选用表，其试验方案列于表29，这时不仅和有11水平，也有11水平。 上述的两个

10、方案重点在考虑和，而似乎是一种“陪衬”，不得已而变之，而且的变化范围和原设计并不十分吻合.故这种方法所设计的试验均匀性有时不一定很好.能否将,同时来考虑，其中没有一个是陪衬呢？目前尚没有特别好的方法，我们仍以例7来讨论，令为中的一组分散均匀的点集，由变换(4.3)我们可获得单纯形上的一组点因此，应满足约束(4.5)，即 上式的约束成为由它们所决定的区域D如图13所示，不难求得，区域D落于矩形R=0.04,0.161/6,0.5之中，于是，我们若在矩形R之中给出一个均匀设计，其中落在D的点可以视为在D上的一个均匀设计，然后再利用（4.3)便可获得我们要求的均匀设计方案。 表28 之试验方案No.

11、10.760.150.0920.700.160.1430.760.170.0740.700.180.1250.760.190.0560.700.200.1070.640.210.1580.700.220.0890.640.230.13100.700.240.06110.640.250.11 表29 之试验方案No.10.740.150.1120.770.160.0730.690.170.1440.720.180.1050.750.190.0660.670.200.1370.700.210.0980.730.220.0590.650.230.12100.680.240.08110.600.250

12、.15 设取n=21，由附录I中的A1.25 ，查到应当用的第1和第5列，由它们生成的均匀设计（见表28前两列）再通过变换(3.6)变到单位正方体之中（见表28，第3，4列），记变换后的点为其次将这些点通过线性变换到矩形R上去,其变换为 它们的值列于表30的最后两列，其中在试验点编号上加了“*”的表示该点落在区域D之内，未加“*”的表示落在D之外，我们看到编号为4，6，7，8，9，10，11，13，16，18的点落在D内.由这些点通过变换(3.6)获得落在(4.5)所规定的区域的10个试验点，它们列在表31之中.用上述方法所获得的试验方案布点均匀，但试验数不易预先确定。例如若我们希望做12次试

13、验，用上述方法只能获得10个试验的配方，为此，我们可以尝试开始时n>21，比如n=24，再用类似办法看看最后有多少个点落在D之 中，该方法已经纳入中国均匀设计学会所推荐的软件包之中。 表30 有限制的配方设计No.1511130.02380.59520.04290.36512240.07140.16670.04860.222233170.11900.78570.05430.42864*480.16670.35710.06000.258755210.21430.97620.06570.49216*6120.26190.54760.07140.34927*730.30950.11900.07

14、710.20638*8160.35710.73810.08290.41279*970.40480.30950.08860.269810*10200.45240.92860.09430.476211*11110.50000.50000.10000.3333121220.54760.07140.10570.190513*13150.59520.69050.11140.3968141460.64290.26190.11710.25401515190.69050.88100.12290.460316*16100.73810.45240.12860.3175171710.78570.02380.1343

15、0.174618*18140.83330.64290.14000.3810191950.88100.21430.14570.23812020180.92860.83330.15140.4444212190.97620.40480.15710.3016 表31 试验方案No.X1X2X310.75510.17500.070020.73270.17390.093330.72230.22040.057340.71220.16910.118850.70240.21730080360.69290.16080.146270.68380.21080.105480.66620.20130.132590.641

16、40.24470.1138100.62580.23160.14254.4 均匀设计在系统工程中的应用设有一个复杂的系统（如图14），有一批输入参数，当这些参数给定后，需要进行复杂的计算（如上百个微分方程），求得输出参数，用它们来控制该系统。由于计算过于复杂，计算时间较长，很难做到载线控制，或者已经推动了控制时机。因此，希望在输入参数和输出参数间建立一种简单的关系，通过这个关系，由输入可以极其快速地算出输出，这样图14中的“系统”部分可以视为“黑箱”，在应用中不必去过问。由于输入参数的范围可能很大，要建立输入和输出之间的关系并能达到要求之精度，在如此大的范围内并不容易。国外一批学者对此作了大量研

17、究，并将这个研究方向称为“计算机试验设计”（design of computer experiments).许多研究将问题弄得很复杂，失去了应用价值。我国早在70年代末就已成功地将均匀设计用于系统工程中（参见黄树山、丁常福、赵蓉华36、张建舟、潘乃强、申宗鹤40、张炳辉41等），并且比国外的方法先进，其思想大体如下： 将输入参数分成较多的水平（通常大于20），然后在其范围内给出一个均匀设计，设计给出了n组不同的输入参数.然后按系统的模型精确地算出（比如系统模型是微分方程组）输出参数。利用多元统计分析中的许多方法（比如利用回归分析），可以建立输入参数和输出参数之间的关系，如果试验数足够多，模型精心选择，由输入估计输出的精度可以达到预期的要求，由于这方面的应用涉及到许多知识，这里难以详尽介绍。有关计算机试验的文献，读者可以从文献16的第五章第六节的介绍中找到。 结 束 语 本书的目的是向广大读者介绍均匀设计的方法和应用，在文字上尽量简洁，略去了所有的数学证明，考虑于已有相应的软件包，因此在数据分析方面也没有做到面面俱到，这样对于初学者易于领会均匀设计的思想和运用中的主要技巧，如果内容介绍太多