均匀设计-第三章

1、第三章 均匀设计表的构造和运用 本章介绍均匀设计表的构造和使用表的来源，其中均匀性度量偏差将起关键作用，我们将介绍偏差的定义，并给出正交设计与均匀设计各自偏差的比较，从中可以了解为什么均匀设计可以比正交设计节省试验次数，本章还介绍拟水平在均匀设计中的使用和有关表的构造，熟悉本章内容对于正确理解和使用均匀设计有很大帮助。 3.1 均匀设计表的构造 定义1 每一个均匀设计表是一个方阵，设方阵有n行m列，每一行是1,2,.,n的一个置换（即1，2，n的重新排列）,表的第一行是1，2，n的一个子集，但不一定是真子集。 显然，第一章表4-6列举的U（64）,U（74）和U（7）都符合上述定义。 符合定义

2、1的均匀设计表数量太多，本节仅介绍用好格子点法(good lattice point)构造的均匀设计表，其方法如下： 1) 给定试验数n，寻找比n小的整数h，且使n和h的最大公约数为1。符合这些条件的正整数组成一个向量h（h，h ）。 2) 均匀设计表的第j列下法生成 mod n (3.1)这里mod n 表示同余运算，若jh超过n，则用它减去n的一个适当倍数，使差落在1，n 之中。U可以递推来生成 （3.2） 例如，当n9 时，符合条件1）的h有1，2，4，5，7，8；而h=3 或h=6 时不符合条件1），因为最大公约数(3，9)=3 ，(6,9)=3,均大于1.所以最多只可能有6列，又如当

3、时，用公式 (3.2) 来生成该列时其结果依次如下: 其结果列于表16的第三列。 表16 123456112457822481573363636448721555127846636363775184288754219999999 用上述步骤生成的均匀设计表记作 ，向量h称为该表的生成向量，有时为了强调h 的作用，可将 记成. 给定n ，相应的h 可以象上例那样方便地求得，从而m 也就确定.所以m 是n 的一个函数，这个函数曾由大数学家欧拉研究过，称为欧拉函数，记为E(n) .这个函数告诉我们均匀设计表最多可能有多少列.下面的结果来自数论： i）当n为素数时 ，E(n-1)=n-1所谓素数就是一

4、个正整数，它与其所有比它小的正整数的最大公约数均为1.如2，3，4，5，11，13,均为素数。 ii）当n 为素数幂时，即n 可表成n= ，这里p为素数l，l为正整数，这时 (3.3)例如n=9 可表为 ，于是 即至多可以有6列。 iii）若n 不属于上述两种情形，这时n一定可以表为不同素数的方幂积，即 (3.4)这里 为不同的素数， 为正整数，这时 (3.5)例如n=12 可表为n= ，于是 即 最多只可能有4列。 上述三种情形中，以素数情形为最好，我们最多可以获得n-1列，而非素数情形，在上述表的结构中永远不可能有n-1 列，例如n=6= ，此时，这说明，当n=6 时，用上述办法生成的均匀

5、设计表只有2列，即最多只能安排两个因素，这是太少了，为此，王元，方开泰（1981）建议，可将 表的最后一行去掉来构造 ，为了区别于由(3.2) 生成的均匀设计表，我们记它为 ，在U 的右上角加一个“*”号，表列于表17，对照表16我们看到U 表和表之间的关系和各自特点： i）所有的表是由 表中划去最后一行而获得； ii）表的最后一行全部由水平n 组成，表的最后一行则不然。若每个因素的水平都是由低到高排列，表中最后一号 表17 No.123456112345622461353362514441526355316426654321 试验将是所有最高水平相组合，在有些试验中，例如在化工试验中，所有最

6、高水平组合在一起可能使反应过分剧烈，甚至爆炸。反之，若每个因素的水平都是由高到低排列，则 表中最后一号试验将是所有低水平的组合，有时也会出现反常现象，甚至化学反应不能进行。表则没有类似现象，比较容易安排试验。 iii）若n 为偶数， 表比表有更多的列。如上面讨论过的表只有2列，而表可以有6列。 iv）若n 为奇数，则表列数通常少于表。 v）表比表有更好的均匀性，应优先采用 表，其细节将在下节讨论。 vi）若将或的元素组成一个矩阵的秩最多分别为 及。 本书附录I，列出了2s7，5n31，及n=37的表或表，供使用时选择，为了节省篇幅，凡使用表中没有推荐的列我们就没有列出。 3.2 均匀性准则和使

7、用表的产生 在第一章1.6 节我们曾指出均匀设计在使用时由于选择的列不同，试验的效果也大不相同，于是建议读者按使用表的推荐去选列，那么使用表又是如何产生的呢？设我们要从均匀设计表中选出s 列，则可能的选择有种可能，我们要从中选择一个最好的，这里必须对“好”和“坏”有明确的含义，表是由它的生成向量所唯一确定的，选择s列，本质上就是从h 中选择s 个，由这s个数生成的均匀设计表为，这是一个n×s 矩阵。它的每一行是s维空间中的一个点，故n行对应中的n个点，若这n个点在试验范围内均匀，则试验效果好，否则试验效果不好。因此，比较两个均匀设计表 和 的好坏等价于比较由它们所对应的两组点集的均匀

8、性。于是我们必须给出均匀性度量。 度量均匀性准则很多，其中偏差(discrepancy) 是使用历史最久，为公众所广泛接受的准则，我们先给出它的定义。 设 是一个均匀设计表，若把它的每一行看成m 维空间的一个点，则 给出了n个试验点，这些点的坐标由1,2,n 组成，用线性变换将1, ,n 均匀地变到（0，1）之间如下： 若用qki表示中的元素，则上面的变换等价于令 (3.6)于是n 个试验点变换成 中的n个点：.考虑原n个试验点的均匀性，等价于考核在的均匀性。定义2 设为中的n 个点，任一向量,记为矩形0,x的体积，为 中落入0,x的点数，则 (3.7)称为点集在中的偏差(discrepanc

9、y)。 为什么偏差可以用于度量点集散布的均匀性呢？若n个点 在中散布均匀，则 表示有多少比例的点落在矩形0,x中，它应当和该矩形的体积v(x)相差不会太远。 如果用统计学的语言来解释偏差，令 (3.8)表示的经验分布函数，式中I.为示性函数，令F(x)为 上均匀分布的分布函数，于是(3.7) 定义的偏差可表为 (3.9)偏差实际上就是在分布拟合检验中的Kolmogorov-Smirnov统计量，它给出了经验和理论分布之间的偏差。 在中任给n个点，如何计算它们的偏差对均匀设计表的构造十分重要.长期以来，一直没有人担出一个实用的算法.当我们在1978年提出均匀设计时,我们只好把偏差展开成级数,取其

10、首项，给出近似偏差的准则.我们的方法方便计算，但有时有大的偏差，而且只适用于好格子点法构造的均匀设计，不能计算正交设计等其它方法所产生试验点的偏差，最近Bundschuh和Zhu(朱尧辰)17 给出了计算偏差的算法，当因素数不太多时，他们的算法可以精确地求出任何点集的偏差.我们已用MATLAB编出有关的程序，本书中的计算，都是用该程序获得的。 设我们要从均匀设计表中选出s列，使其相应的均匀设计有最小的偏差.当m和s较大时，由m 列中取出s列的数目有之多，要比较这么多组点集的均匀性工作量很大.于是需要有简化计算和近似求解的方法.详细讨论可参看方开泰2，方开泰、郑胡灵12等.这里仅仅介绍利用整数的

11、同余幂来产生的办法。 令a为小于n的整数，且a,a2(mod n),at(mod n)互不相同，at+1=1(mod n),则称a对n的次数为t，例如 (mod 5)则2对5的次数为3.又如 (mod 9)表示3对9的次数为4.一般若a对n 的次数大于或等于s-1，且(a,n)=1，则可用 (mod n) (3.10)作为生成向量，故a称为均匀设计的生成元.然后在一切可能的a(最多n-1个)中去比较相应试验点的均匀性，工作量则大大减少.理论和实践证明，这种方法获得的均匀设计使用表仍能保证设计的均匀性.于是，给定n 和s ，只要求得最优的a, 便可获得生成向量，从而获得相应的均匀设计表。 表18

12、对奇数n(5n31,n=37)给出了表的生成元及其相应均匀设计的偏差.同时对偶数n(6n30)给出了表的生成元和相应的偏差.类似地，对奇数n，我们也获得表的生成向量和相应均匀设计表的偏差（表19）.表18和19的结果取自Fang and Li14.综合两个表的结果，我们有如下的说明。 i）对奇数n, 表比表有更好的均匀性，例如n=15,s=4时,U15(154)的偏差为D=0.2772，而的偏差为D=0.1511，后者比前者相对降低了 表19中p%一列给出了所有情形偏差降低的百分比.为了直观起见，我们将表18和表19的偏差点成图11.我们按s=2,3,4,5分成四个图.图中“+”表示奇数n的表

13、的偏差，“*”表示偶数 表18 和的生成元和相应设计的偏差 n23456752(.3100)2(.4570)63(.1875)3(.2656)3(.2990)73(.2398)3(.3721)3(.4760)84(.1445)4(.2000)2(.2709)94(.1944)4(.3102)2(.4066)107(.1125)7(.1681)5(.2236)5(.2414)7(.2994)117(.1634)7(.2649)7(.3528)7(.4286)7(.4942)125(.1163)6(.1838)6(.2233)4(.2272)6(.2670)6(.2768)135(.1405)6(

14、.2308)6(.3107)6(.3814)6(.4439)6(.4992)1411(.0957)7(.1455)7(.2091)1511(.1233)7(.2043)7(.2772)1610(.0908)5(.1262)5(.1705)5(.2070)10(.2518)2(.2769)1711(.1099)10(.1832)10(.2501)10(.3111)10(.3667)10(.4174)188(.0779)9(.1394)9(.1754)4(.2047)3(.2245)9(.2247)198(.0990)8(.1660)14(.2277)14(.2845)14(.3368)14(.3

15、850)2013(.0947)5(.1363)10(.1915)10(.2012)10(.2010)2113(.0947)10(.1581)10(.2089)10(.2620)10(.3113)229(.0677)17(.1108)17(.1392)17(.1827)17(.1930)11(.2195)2317(.0827)15(.1397)17(.1930)11(.2428)17(.2893)11(.3328)2411(.0586)6(.1031)6(.1441)12(.1758)12(.2064)12(.2198)2511(.0764)11(.1294)11(.1793)11(.2261)

16、4(.2701)9(.3115)2616(.0588)10(.1136)5(.1311)5(.1683)16(.1828)5(.1967)2720(.0710)20(.1205)20(.1673)20(.2115)16(.2533)16(.2927)2818(.0545)7(.0935)7(.1074)16(.1381)7(.1578)7(.1550)2923(.0663)9(.1128)7(.1596)16(.1987)16(.2384)16(.2760)3022(.0519)22(.0888)18(.1325)18(.1465)18(.1621)11(.1924)3114(.0622)12

17、(.1060)22(.1477)12(.1874)12(.2251)22(.2611)3717(.0524)23(.0931)_17(.1255)7(.1599)7(.1929)7(.2245) 表19 奇数n的表的生成向量和相应设计的偏差ns生成向量Dp%723(1,5)(3,5,7)0.15820.213234.0342.70923(1,3)(3,7,9)0.15740.198019.0336.171123(1,5)(5,7,11)0.11360.230730.3912.9113234(1,9)(1,9,11)(1,5,9,11)0.09620.14420.207631.5337.5233

18、.18152345(1,7)(1,5,13)(1,5,9,13)(5,7,9,11,15)0.08330.13610.15110.209032.4433.3845.4924.6017234(1,7)(1,7,13)(7,11,13,17)0.08560.13310.178522.1127.3528.63192345(1,9)(1,3,11)(1,3,7,11)(7,9,11,13,19)0.07550.13720.18070.189723.7417.3520.6433.32212345(1,13)(1,7,9)(1,5,7,13)(1,9,13,17,19)0.06790.11210.1381

19、0.175928.3029.1033.8932.86232345(1,17)(11,17,19)(1,7,13,19)(11,13,17,19,23)0.06380.10290.13100.169129.6226.3432.1230.35252345(1,11)(3,5,25)(5,7,9,25)(11,15,17,19,21)0.05880.09750.12100.153223.0424.6532.5232.24272345(1,11)(1,9,15)(1,11,15,25)(5,13,17,19,27)0.06000.10090.11890.137815.4916.2728.9334.85

20、292345(1,19)(1,17,19)(1,17,19,23)(13,17,19,23,2)0.05200.09140.10500.173016.2718.9734.2112.93312345(1,9)(1,9,19)(3,13,21,27)(5,9,11,17,19)0.05540.09080.11000.143110.9314.3425.5223.64表的偏差，“0”为奇数n的表的偏差。由四个图中也明显看到表有更好的均匀性。 ii) 若n固定，当s增大时，表(或表)的偏差也随之增大。若s固定，表的偏差随n的增大而减小。而表的偏差一般也随n的增大而减少，但有少数例外，其原因是它们的表的可

21、能列数E(n+1)不太多，由其中选择s的可能组合也不多，从而最小偏差相对偏大。 iii）表18列举的 和 是由生成元方法生成的，其生成向量具有(3.10)的结构，而表19的是考虑从表中选出s列的一切可能的组合，所以生成向量中不一定包含1，当然也不具有(3.10)的结构。 为了使用者的方便，我已将表18和表19的结果用(或)表及其使用表形式列于本书附录I。所以，读者可以对照附录I的诸表和表18，19来加强对均匀设计表构造的理解。由于在大部分情形下，因素数7，故附录公仅给出s7的使用表，并且删去(或)表中没有用到的列。值得指出的是，均匀性度量的方法很多，最初王元，方开泰3提出了近似偏差(discr

22、epancy)的均匀性准则，利用这个准则，他们给出了n31的使用表。丁元5利用最优试验设计理论中的A-最优和D-最优准则，给出了相应的使用表，类似于丁元的思想，张学中23用设计矩阵的条件数作为均匀性指标，并且对n31及n=53用多种准则给出了使用表，蒋声和陈瑞琛6,7从几何的观点提出了体积距离的度量。方开泰和郑胡灵12也是从几何的角度建议用最大对称差的条件来度量均匀性，并提出均匀性度量必须要满足的条件，方开泰和张金廷11总结是纳了各种均匀性准则，系统地讨论了它们的关系和比较它们的优劣，最终推荐了由设计矩阵所诱导矩阵的特征的方差作为均匀性标准，并且也给出了n31的使用表。 3.3 混合水平的均匀

23、设计表 由于实际情况千变万化，在应用均匀设计时会面临许多新情况，需要灵活加以应用。本文所列举的文献中，不少作者有许多巧妙的应用和建议，很值得参考。如王鹏等21在文中建议：a）均匀设计与调优方法共用；b）分组试验；c）拟水平法。本节仅介绍拟水平法在均匀设计法中的应用。若在一个试验中，有二个因素A和B为三水平，一个因素C为二水平。分别记它们的水平为。这个试验可以用正交表来安排，这等价于全面试验，并且不可能找到比更小的正交表来安排这个试验。是否可以用均匀设计来安排这个试验呢？直接运用是有困难的，这就要运用拟水平的技术。若我们选用均匀设计表，按使用表的推荐用1,2,3前3列。若将A和B放在前两列，C放

24、在第3列，并将前两列的水平合并：1,21,3,42,5,63。同时将第3列水平合并为二水平：1,2,31,4,5,62,于是得设计表（表20）。这是一个混合水平的设计表。这个表有很好的均衡性，例如，A列和C列，B列和C列的 表20 拟水平设计NoABC1(1)1(2)1(3)12(2)1(4)2(6)23(3)2(6)3(2)14(4)2(1)1(5)25(5)3(3)2(1)16(6)3(5)3(3)2二因素设计正好组成它们的全面试验方案，A列和B列的二因素设计中没有重复试验。可惜的是并不是每一次作拟水平设计都能这么好。例如我们要安排一个二因素（A，B）五水平和一因素（C）二水平的试验。这项

25、试验若用正交设计，可用表，但试验次数太多。若用均匀设计来安排，可用。由使用表指示选用1，5，7三列。对1，5列采用水平合并1,21,9,105;对7列采用水平合并1,2,3,4,51,6,7,8,9,102,于是得表21的方案。这个方案中A和C的两列，有二个（2，2），但没有（2，1），有二个（4，1），但没有（4，2），因此均衡性不好。 表21 拟水平设计NoABC1(1)1(5)3(7)22(2)1(10)5(3)13(3)2(4)2(10)24(4)2(9)5(6)25(5)3(3)2(2)16(6)3(8)4(9)27(7)4(2)1(5)18(8)4(7)4(1)19(9)5(1)1

26、(8)210(10)5(6)3(4)1 表22 拟水平设计NoABC1(1)1(2)1(5)12(2)1(4)2(10)23(3)2(6)3(4)14(4)2(8)4(9)25(5)3(10)5(3)16(6)3(1)1(8)27(7)4(3)2(2)18(8)4(5)3(7)29(9)5(7)4(1)110(10)5(9)5(6)2 若选用的1，2，5三列，用同样的拟水平技术，便可获得表22列举的表，它有较好的均衡性。由于表有10列，我们希望从中选择三列，由该三列生成的混和水平表既有好的均衡性，又使偏差尽可能地小，经过计算发现，表22给出的表具有偏差D=0.3925，达到了最小。 本书附录I

27、I给出了一批用拟水平技术而生成的混合水平的均匀设计表，由于篇幅所限，我们的表难免挂一漏万，读者若有需要，可直接和我们联络，我们乐意协助你们计算所需的混合水平表。 3.4 均匀设计和正交设计的比较 正交设计和均匀设计是目前最流行的两种试验设计的方法，它们各有所长，相互补充，给使用者提供了更多的选择。本节将讨论两种试验设计的特点。 首先正交设计具有正交性，如果试验按它设计，可以估计出因素的主效应，有时也能估出它们的交互效应。均匀设计是非正交设计，它不可能估计出方差分析模型中的主效应和交互效应，但是它可以估出回归模型中因素的主效应和交互效应（参见1.3节）。 正交设计用于水平数不高的试验，因为它的试

28、验数至少为水平数的平方。我们曾遇到一项试验，有五个因素，每个因素取31水平，其全部组合有个，若用正交设计，至少需要做次试验，而用均匀设计只需31次，所以均匀设计适合于多因素多水平试验。 均匀设计提供的均匀设计表在选用时有较多的灵活性。例如，一项试验若每个因素取4个水平，用来安排，只需作16次试验，若改为5水平，则需用表，作25次试验。从16次到25次对工业试验来讲工作量有显著地不同。又如在一项试验中，原计划用均匀设计来安排五个因素，每个有13个水平。后来由于某种需要，每个因素改为14个水平，这时可用来安排，试验次数只需增加一次。均匀设计的这个性质，有人称为“试验次数随水平增加有“连续性”，并称

29、正交设计“有跳跃性”。 正交设计的数据分析程式简单，有一个计算器就可以了，且“直观分析”可以给出试验指标Y随每个因素的水平变化的规律。均匀设计的数据要用回归分析来处理，有时需用逐步回归等筛选变量的技巧，非使用电脑不可。幸好电脑在我国已日趋普及，找一台电脑已不是很困难的事。配合本书，我们已编了一套软件，并有相应的说明。 下面我们对两种设计的均匀性作一比较。在3.2节我们曾通过线性变换将一个均匀设计表的元素变到（0，1）中，它的n行对应于中的n点。用类似的方法，也可以将表变换为中的n点。这两个点集的偏差可以衡量它们的均匀性，或代表性。要合理地比较两种设计的均匀性并不容易，因为很难找到二个设计有相同

30、的试验数和相同的水平数，一个来自正交设计，另一个来自均匀设计。由于这种困难，我们从如下三个角度来比较： i）试验数相同时的偏差的比较 表23给出当因素数s=2,3,4 时两种试验的偏差比较，其中 表23 实验数相同时两种设计的偏差ODUDs=2s=3s=4s=50.43750.14450.57810.20000.68360.27090.30560.19440.42130.31020.51770.40660.43750.11630.57810.18380.68380.22330.76270.22720.43750.09080.57810.12620.68360.17050.76270.20700.23440.09080.33010.12620.41380.17050.4