八年级数学上册第二章实数知识点总结+练习

1、有德教育第二章：实数【无理数】1 .定义：无限不循环小数的小数叫做无理数；注：它必须满足“无限”以及“不循环”这两个 条件。2 .常见无理数的几种类型：（1）特殊意义的数，如：圆周率n以及含有n的一些数，如：2-n , 3n等；（2）特殊结构的数（看似循环而实则不循环）：如：2.010 010 001 000 01（两个1之间依 次多1个0）等。（3）无理数与有理数的和差结果都是无理数。如： 2-n是无理数（4）无理数乘或除以一个不 为0的有理数结果是无理数。如 2n,（5）开方开不尽的数，如：72,75,3/9等；应当要注意的是：带根号的数不一定是无理数，如:J9等；无理数也不一定带根号，如

2、：n）3 .有理数与无理数的区别：（1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数；（2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数则不能写成分数形式。例：（1）下列各数：3.141、0.33333、春-"、九、± V225、-2、30.3030003000003（相邻两个3之间0的个数逐次增加2）、其中是有理数的有; 是无理数的有。（填序号）（2）有五个数：0.125125 ,0.1010010001,-n，/，3/2其中无理数有（） 个【算术平方根】：1 .定义：如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么，这个正数x就

3、叫做a的算术平方根， 记为：“再”，读作，“根号a"，其中，a称为被开方数。例如32=9,那么9的算术平方根是 3,即厩=3。特别规地，0的算术平方根是0,即J0 = 0,负数没有算术平方根2 .算术平方根具有双重非负性：（1）若Ja有意义，则被开方数a是非负数。（2）算术平方根本 身是非负数。3 .算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：va；而平方根具有两个 互为相反数的值，表示为:3。例：(1)下列说法正确的是()A. 1的立方根是±1; B.、/4 = ±

4、;2; (C)、/81的平方根是土3;( D)、0没有平方根；(2)下列各式正确的是()A 。所二±9 B 、3.14q二n 3.14 C、27 =-9丁3D 、55 -3 = 21.(3)、：'(-3)2的算术平方根是 。(4)若VX+匚有意义，则Jx +1 =。(5)已知 ABC的三边分别是a,b,c,且a,b满足/0=3 + (b -4)2 = 0 ,求c的取值范围。(6)(提高题)如果x、y分别是4->/3的整数部分和小数部分。求x - y的值.平方根：1 .定义：如果一个数x的平方等于a,即x2 =a,那么这个数x就叫做a的平方根；，我们称x 是a的平方(也叫

5、二次方根)，记做：x = ±Ta(a >0)2 .性质：(1) 一个正数有两个平方根，且它们互为相反数；(2) 0只有一个平方根，它是0本身；(3)负数没有平方根例(1)若,反的平方根是土 2,则x=; 加的平方根是(2)当x 时，J3-2x有意义。(3) 一个正数的平方根分别是 m和m-4,则m的值是多少？这个正数是多少？3. (ja)2(a > 0)与ja2的性质(1)(八)2 =a(a之0)如:J7)2=7 ；a2=|a|中，a可以取任意实数。如 疗冒5|=5<二3) 2 =|-3|=3例：1.求下列各式的值(D 肝(2) <可(3) (-V49)22.

6、已知丁(a-1)2 =a -1 ,那么a的取值范围是。 3.已知2Vx < 3,化简 个(2-x)2 +| x-3 尸。【立方根】1 .定义：一般地，如果以个数x的立方等于a,即x3=a,那么这个数x就叫做a的立方根(也叫做三次方根)记为 ya,读作，3次根号a。如23=8,则2是8的立方根，0的立方根是0。2 .性质：正数的立方根的正数；0的立方根是0;负数的立方根是负数。立方根是它本身的数有0,1 , -1.例：(1) 64的立方根是(2)若Va"89,倔=28.9,则b等(3)下列说法中：土3者B是27的立方根，3寸=y，J64的立方根是2,在±8)2=

7、7;4。 其中正确的有 () A、1个 B 、2个 C 、3个 D、4个比较两个数的大小：方法一：估算法。如 3<通0<4方法二：作差法。如 a>b则a-b>0.方法三：乘方法.如比较2V6与3会的大小。例：比较下列两数的大小(1) 与2(2) 5V2与3尚【实数】定义：(1)有理数与无理数统称为实数。在实数中，没有最大的实数，也没有最小的实数；绝对值 最小的实数是0,最大的负整数是-1。(2)实数也可以分为正实数、0负实数。实数的性质：实数a的相反数是-a；实数a的倒数是1 (aw0)；实数a的绝对值|a|= 3 a(a 0), aa(a<0)它的几何意义是：在

8、数轴上的点到原点的距离。实数的大小比较法则：实数的大小比较的法则跟有理数的大小比较法则相同：即正数大于0, 0大于负数；正数大于负数；两个正数，绝对值大的就大，两个负数，绝对值大的反而小。(在数轴上，右边的数总是大于左边的数)。对于一些带根号的无理数，我们可以通过比较它们的平 方或者立方的大小。实数的运算：在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方、开方六种运算。运算法则和运算 顺序与有理数的一实数与数轴的关系：每个实数与数轴上的点是一一对应的(1)每个实数可以以用数轴上的一个点来表示。(2)数轴上的每个点都表示已个实数。例：(1)下列说法正确的是()；A、任何有理数均可用分数形式表示 ；B、

9、数轴上的点与有理数一一对应C、1和2之间的无理数只有72 ； D 、不带根号的数都是有理数。(2) a, b在数轴上的位置如图所示，则下列各式有意义的是 ()AJabB 、TabC 、Ja+bD 、Jb a(3)比较大小(填“>”或“<”).3 月, -V3 炀，7766%万，由二12(4)数-",-2,3的大小关系是()D.一3：二-2：二一7A. 一，一3 ： -2B. -3 ： -. 7 ： -2C. -2 :二一 7 ： -3(5 ) 将下列各数：2力二8,V3,-1-V5 , 用“ < ”连接起来；0(6)若 a =3,而=2 ,且 ab < 0 ,

10、则：a -b=【二次根式】 定义：形如ja(a >0)的式子叫做二次根式，a叫做被开方数 注意：(1)从形式上看二次根式必须有二次根号” 二如“是二次根式，而79=3,3显然就不是二次根式。(2)被开方数a可以是数，也可以是代数式。若 a是数，则这个数必须是非负数；若 a是代数式，则这个代数式的取值必须是非负数，否则没有意义。例：下列根式是否为二次根式(4)9 / 9二次根式的性质: 性质1： vab =v7.Vb(a>0,b>0)积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，运用这个性质2: a- .b性质也可以对二次根式进行化简。.b.(a至0,b > 0)商的算术

11、平方根等于被除数的算术平方根除以除数的算术平方根。最简二次根式：被开方数中不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式。例：1.化简：(2) J27a4b2(b 之 0)2.计算:1-18273/0.125-.'3,16 卜 8J3.已知：(x -7 2 =121,(y +1 30.064,求代数式 VX_Jx+10y+V245V 的值。6.(提高题)观察下列等式：回答问题: J1122123,1； 312二七一七二匕, 1=1 一 ,12(1)根据上面三个等式的信息，请猜想1+2+J的结果;45(2)请按照上式反应的规律，试写出用 n表示的等式，并加以验证

12、。课后练习、重点考查题型:1.-1的相反数的倒数是2.已知| a+3|+Vb+1 =0,则实数(a+b)的相反数3 .数一3. 14与一J1的大小关系是4 .和数轴上的点成一一对应关系的是5 .和数轴上表示数3的点A距离等于2. 5的B所表示的数是2 一一6 .在实数中J!,5 ,0, *,一3. 14,无理数有7 . 一个数的绝对值等于这个数的相反数，这样的数是(A)非负数(B)非正数(C)负数(D)正数8 .若 x< 3,贝卜 x+ 3 | =9 .下列说法正确是(A)有理数都是实数(B)实数都是有理数(B)带根号的数都是无理数(D)无理数都是开方开不尽的数10 .实数在数轴上的对应

13、点的位置如图，比较下列每组数的大小：(1) c-b 和 d-a | | V .(2) bc 和 ad二、考点训练：*1 .判断题：(1)如果a为实数，那么一a 一定是负数；()(2)对于任何实数a与b,|a b|=|b a|恒成立；()(3)两个无理数之和一定是无理数；()(4)两个无理数之积不一定是无理数；()(5)任何有理数都有倒数；()(6)最小的负数是一1;()(7) a的相反数的绝对值是它本身；()(8)若|a|=2,|b|=3 且 ab>0,贝 ab=-1;()2 .把下列各数分别填入相应的集合里- - 3| , 21. 3, - 1. 234, - 22 ,0,-9 ,，

14、-7，乖，(V2 -小)°, 3 2,ctg45° ,1.2121121112 中无理数集合负分数集合整数集合 非负数集合*3.已知 1<x<2,则 |x _3|+/(1-x) 2 =。4,下列各数中，哪些互为相反数？哪些互为倒数？哪些互为负倒数？1-3,啦一1, 3, 0.3, 3, 1 + V2 , 3 -3互为相反数： 互为倒数： 互为负倒数： *5.已知x、y是实数，且(X也)2和| y+ 2 |互为相反数，求x, y的值6. a ,b互为相反数，c,d互为倒数，m的绝对值是2,.|a+b|2 - +4m-3cd= 2m+1*7.已知(a - 3b) +

15、| a 4 |=0,三、解题指导：1 .下列语句正确的是()、无理数都是无尽小数、不带报号的数一定不是无理数。A、无尽小数都是无理数BC、带报号的数都是无理数D2 .和数轴上的点 对应的数是(A整数 B、有理数 C、无理数 D实数3 .零是(D、最小的整数A、最小的有理数 B、绝对值最小的实数C、最小的自然数 4.如果a是实数，下列四种说法：(1) a 2和| a |都是正数，(2) | a | =a ,那么a一定是负数, 1(3) a的倒数是一，(4) a和一a的两个分别在原点的两侧，几个是正确的有个a*5.比较下列各组数的大小:2 # _Vl2 (2)a<b<0 时,6.若a,

16、b满足*+尹=0,则等的值是a+2a*7 .实数a,b,c在数轴上的对应点如图，其中。是原点，且|a|二|c|(1)判定 a+b,a+c,c-b 的符号； o ；(2)化简 |a|-|a+b|+|a+c|+|c-b|*8.数轴上点A表示数一1,若AB= 3,则点B所表示的数为9.已知 x<0,y>0 ,且 y<|x| ,用"<”连结 x, x, |y| , y。10 .最大负整数、最小的正整数、最小的自然数、绝对值最小的实数各是什么?11 .绝对值、相反数、倒数、平方数、算术平方根、立方根是它本身的数各是什么?12 .把下列语句译成式子:(1) a是负数; (

17、2) a、b两数异号； (3) a、b互为相反数(4) a、b互为倒数； (5)x与y的平方和是非负数 ;(6) c、d两数中至少有一个为零 ; (7) a、b两数均不为0。*13.数轴上作出表示，2 ,43 , 45的点。四.独立训练：1.0的相反数是,3 ji的相反数是, 38的相反数是; ji的绝对值是0 的绝对值是, 2 -y3的倒数是2.数轴上表示一3. 2的点它离开原点的距离是 。1 一 11A表小的数是-,且AB=a ,则点B表小的数是。233 3/3 , JI,(1 - V2 ) o, -22 ,0 . 1313 ,2cos60o, 3 1,1. 101001000(两1之间依次多一个0),其中无理数有 ,整数有 ,负数有 O4 .若a的相反数是27,则| a| =； 5.若|a| =J2 ,则a=5 .若实数x, y满足等式(x+3) 2+ | 4-y | =0,则x+y的值是6 .实数可分为()A、正数和零 B、有理数和无理数C、负数和零D、正数和负数*7.若2a与1 a互为相反数，则a等于a=8.当a为实数时，02 = -a在数轴上对应的点在()A、原点右侧B、原点左侧C、原点或原点的右侧 D、原点或原点左侧*9 .代数式的所有可能的值有 个| a | b | a b |10.已知实数a、b