不等式证明的若干种方法毕业论文

1、集于旭益摩沈本科生毕业论文题目不等式证明的若干种方法院 系数学系专业 数学与应用数学2013年5月word版本.本科生毕业设计（论文、创作）声明本人重声明：所呈交的毕业设计，是本人在指导教师指导下，进行 研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的容外，本设计的研究成 果不包含任何他人创作的、已公开发表或没有公开发表的作品容。对本 论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集体，均已在文中以明确 方式标明。本设计创作声明的法律责任由本人承担。作者签名：年 月 日本人声明：该毕业设计是本人指导学生完成的研究成果，已经审阅 过毕业设计的全部容，保证题目、关键词、摘要部分中英文容的一致性 和准确性，并通

2、过一定检测手段保证毕业设计未发现违背学术道德诚信 的不端行为。指导教师签名：年 月 日不等式证明的若干种方法高银梅（师学院 数学系 数学与应用数学2009级）摘要：无论在初等数学还是高等数学中，不等式都是十分重要的容。而不等式的证明则是不等式知识的重要组成部分。在本文中，我总结了一些数学中证明不等式的方 法。在初等数学不等式的证明中经常用到的有比较法、综合法、分析法、换元法、增量 代换法'反证法、放缩发、构造法、数学归纳法、判别式法等等。在高等数学不等式的 证明中经常利用中值定理、泰勒公式、拉格朗日函数以及一些著名不等式，如：柯西不 等式、詹森不等式、施瓦茨不等式、赫尔德不等式等等。从

3、而使不等式的证明方法更加 完善，有利于我们进一步探讨和研究不等式的证明。通过学习这些证明方法，可以帮助 我们解决一些实际问题，培养逻辑推理论证能力和抽象思维的能力以及养成勤于思考、 善于思考的良好学习习惯。关键词：不等式，证明方法，常用，特殊Abstract: both in elementary mathematics and higher mathematics, the inequality is very important content. Inequality and the proof is an important part of knowledge. In this arti

4、cle, I suniniarized some mathematical proof of the method of inequality. Inequality in elementary matheinatics analyst is often used with comparison method, synthesis, analysis, change element method, incremental substitution method, the reduction to absurdity, zooming, construction method, mathemat

5、ical induction, discriminant method and so on. Inequality in higher mathematics analyst often use of mean value theorem, Taylor formula, Lagrange function, and some well-known inequalities, such as cauchy inequality, Jensen，s inequality, inequality Schwartz, held, and so on. So that the inequality p

6、roof method more perfect, good for our further discussion and study of inequality proof. By studying these proofs, can help us to solve some practical problems, to cultivate logical reasoning ability and abstract thinking ability and the students to form good learning habits of thinking, good at thi

7、nking.Keywords: inequality, the proof method, commonly used, special目录1前言62 利用常用方法证明不等式72. 1比较法73. 2综合法74. 3分析法85. 4换元法86. 5增量代换法87. 6反证法98. 7放缩法99. 8构造法1010. 9数学归纳法 1011. 0判别式法。1112. 11导数法1113. 12利用用级数展开式证明不等式1214. 13向量法1215. 4利用定积分性质证明不等式133 利用函数的性质证明不等式144 利用柯西不等式证明155 利用均值不等式证明166利用施瓦茨不等式证明177 利

8、用中值定理法证明不等式187拉格朗日中值定理：187.2积分第一中值定理：188 利用詹森不等式证明199 2010 文献211 前言不等式的证明问题，由于题型多变、方法多样、技巧性强，加上无固定的规律可 循，往往不是用一种方法就能解决的，它是多种方法的灵活运用，也是各种思想方法 的集中体现，因此难度较大，所以怎样区分题目类型，弄清每种证明方法所适用的题 型围，是学生掌握不等式证明的关键所在。解决这个问题的途径在于熟练掌握不等式 的性质和一些基本的不等式，灵活运用常用和特殊的证明方法。不等式是数学的基本 容之一，它是研究许多数学分支的重要工具，在数学中有重要的地位，也是高中数学 的重要组成部分

9、，在高考和竞赛中都有举足轻重的地位。不等式的证明变化大，技巧 性强，它不仅能够检验学生数学基础知识的掌握程度，而且是衡量学生数学水平的一 个重要标志。2 利用常用方法证明不等式2.1比较法所谓比较法，就是通过两个实数4与8的差或商的符号（围）确定4与8大小关系的方法，有做差比较和作商比较两种基本途径。即通过，"- = 0，4一<0（为作差法）或色>1，' = 1，<1 （为作商法）。”来确定4大小关系的方 b b b法。例已知：。>0，Z?>0，求证：a > y/ab .2分析：两个多项式的大小比较可用作差法c a + b （-T a+ b

10、- 2>ah（4a、八证明 -yab = = - >0，222故得 岁之疝.故原不等式成立。例设 a >。> 0，求证：aabh > ahba.分析：对于含有掠指数类的用作商法证明 因为所以> 1 ，ab > 0.baib （而 => 1，故 aabh > a bn .aba I/J故原不等式成立。2. 2综合法综合法就是从已知式证明过的不等式出发，根据不等式的性质推出欲证的不等式，通过一系列已确定的命题（包含不等式的性质，已掌握的重要不等式）逐步推演， 从而得到所要求证的不等式成立，这种方法叫做综合法。例 已知且 a,beR+ 求证：ay

11、 +by >a2b + ab2 证： ab 所以(。一/?尸 >0=>M - 2" + 2o=>下一出? + /?2 >4。两边同时乘a + b 得(a2 -ab + b )(a + b)> ab(a + b)即 a +by > a2b + ab 故原不等式成立。2.3分析法从求证的不等式出发分析不等式成立的条件，把证明这个不等式转化为判定使这 个不等式成立的条件是否具备的问题。如果能够肯定这些条件都以具备，那么就可以 判定这个不等式成立，这种证明方法叫做分析法。例 求证：3 +述<2虚+ 7 i正即：因为C+J?>O.W+J7&

12、gt;0因为为了证明原不等式成立，只需证明(4+ «)2<(、& + J7)2即 15 + 2后<15 + 2后 即 >/54<V56 即 54<56故原不等式成立。2. 4换元法换元法实质上就是变量代换法，即对所证不等式的题设和结论中的字母作适当的 变换，以达到化难为易的目的。例1W J1 - x?-xW .证明：.:1x? NO，.一IWxWl，故可设 x = cos。» 其中 0W8<r 贝cos&= sin。一cose = V5sin(6 一 ?)，.一W .*. 1 V2 sin( 0V2 » 即一U

13、Jl-x? xWa/5 ,444故原不等式成立。2. 5增量代换法在对称式(任意互换两个字母，代数式不变)和给定字母顺序(如ab>c)的不等 式，常用增量进行代换，代换的目的是减少变量的个数，使要证的结论更清晰，思路 更直观，这样可以使问题化难为易，化繁为简。例 已知 a，beR，且 a + b = 1，求证：(a + 2)?+的 + 2/ N二2证明：二力，bR，且 a+b = 1，.设 a =L + t，b=1 t，(teR)22则(a + 2)?+(b + 2)2= (-+t + 2)2+(-t + 2)2= (t+-)2+(t-)2 =222222、,25.-.(a + 2)2+

14、(b+2)2>2故原不等式成立。2. 6反证法反证法的原理是：否定之否定等于肯定。反证法的思路是“假设矛盾肯定”， 采用反证法时，应从与结论相反的假设出发，推出矛盾的过程中，每一步推理必须是 正确的。例已知 a? + 力=2,(a,b £ R)求证：a + b<2 证：假设。+ /?>2成立则(a + Z?)3 >8 即。'+ b，+ 3ab + 3ab2 > 8 v a3 + Z?' = 2 /. ab(a + b)>2 / (a + b)(a2 -ab + b2) = a3 +b3 =2 /. ab(a + b)>(a +

15、 b)(a2 -ab + b2) a + b> 2 二.出?>/一出,+ /由此得(。一份2 <。，这是不可能的，得出矛盾。：.a + b<2 故原不等式成立。2.7放缩法放缩法是证明不等式的一种特殊的方法。从不等式的一边入手，逐渐放大或缩小 不等式，直到不等式的另一边，这种方法叫做放缩法。例 求证：Hr Hr + r < 2(/? TV )2-3-ir证：keN，24kWn 有上 <! = -k2 k* 1) k- k1111, rzl 1、 A 1、/ 11 .-r + -v + -T + + -5- < 1 + () + () + + ( -)

16、|I2 22 32 ir 1 22 3n- n=1 + (1-1) = 2-<2 - n n所以<2. 2- 3'-故原不等式成立o2.8构造法构造法是通过类比、联想、转化，合理的构造函数模型，从而使问题迎刃而解。过 程简单，一目了然。例 已知三A形ABC的三边长是a, b, c,且in为正数，求证：+ >. a+ m b + m c + rnxx证明：设fx) = / e (0,+S),显然函数/(x) = 一 在x £ (0,+8)是增函x + mx + m数。a, b,c是三角形ABC的三边长./. a + b>c，f（a + b）> f（

17、c），即一上>-， a + b + m c + rn° a b ab a+b又F>F= -a + m b + m a + b + m a + b + m a + b + maba+bc：.+>> -a + m h + m a+ b + m c + ma b c：.+>.a + m h + m c + ni故原不等式成立。2. 9数学归纳法证明有关自然数的不等式，可以采用数学归纳法来证明。2.1 证取第一个数值o（%£N*）时，不等式成立，2.2 设取某一自然数2（攵2%）时，不等式成立。（归纳假设），由此推演出取攵+ 1时，此不等式成立。(/?

18、 e N*)例 求证：1 + = + = + , H= < 2V2 5/3 G证：（1）当 =1时，左边=1，右边二2不等式显然成立。(2)假设=攵时，1 + -5= + -!=- +. + L< 2yk -贝”=攵 + 1 时，%/2 V3 &1 1+ vr+7HT<2尿 +VT+i二”缪1V"筌产= 2g< =八时不等式也成立.故原不等式成立。2.10 判别式法o判别式法是根据已知的或构造出来的一元二次方程，一元二次不等式，二次函数 的根，函数解集的性质等特征来确定判别式所应满足的不等式，从而推出欲证的不等 式的方程。例 设 a、b,c s R &

19、#187; 求证：a +b + c2 >ab + be + ca 证：f(a) = a2 +b +c -ab-bc-ca = a' (b + c)a + (b2 +c2 - be) = (/? + c)2 - 4(/?2 +c2 - be) = -3(/? + c)2 < 0 因为片的系数为i>。 ， ， /()>o .故原不等式成立。2.11 导数法当x属于某个区间，有/'(幻之。，则/*)单调递增；若尸(x)40，则/(x)单调 递减.推广之,若证/(x)«g(x)，只须证/(a) = g(a)及/'。)<8'*)/&

20、#163;(4,)即可.例 证明不等ex >+x » x 0.证明设/(#=/一1一元则广。)=短一1.故当x>。时，/'(x)>0J递增；当xv0J'(x)v0J 递减.则当 x X 0 时， f(x) > /(0) = 0,从而证得ex > 1 + x,x W 0.故原不等式成立。2.12 利用霖级数展开式证明不等式1 1例当xe(0,l)，证明一/二1-x+ X证明：因，/工分别可写成寐级数展开式：1-X1+ X)- = (l + x)(l + x + x2 + . + xn + .) 1-x = 1 + 2a* + 2r + +

21、2x” + .，x (0,1) 、22 )2i = 1 + 2x H+. HXh + ，X (S,+S)2!n2n xn2n则要证不等式左边的一般项为2父，右边的一般项为一，因此当N3，2>， m7i!-1 + X九，1 + XOr/c 八有.所以，xe(OJ).1 - x1-x故原不等式成立。2.13向量法利用向量的数量积及不等式关系 Wl ? II n I例 已知 a、b、c都是正实数，求证 7 + +N " + ?( b + c a+ c a+ b2i正明：设？=(-;,b ，-()'n = (y/b + ca + c.y/a + b)，贝”yjb + c y/a

22、 + C y/a+ba2 b1 c2(a + b + c)1a + b + c+T 、 = b + c a + c a + bI n T 2(ci + h + c) 2a2 b2 c2 a + b + c+> h+c a+c a+b 2故原不等式成立。2.14利用定积分性质证明不等式对可积函数/(X)，g(x) » 若/(x)<g(x) » 则 £/(x),awfg(x)x -例证明：j >x In xdx < x In xdx 证明 当 X£l,2时，yfx < x，hi x > 0，贝 ijV7lnxKxlnx，因

23、 «lnx,xlnx 在(1,2)上均为连续函数。则J71nx,xlnx在(1,2)均可导，由定积分性质可知Vx In xdx < xdx 故原不等式成立。3 利用函数的性质证明不等式设/ ，g和人为 增函数，满足f (x) < g(x) < h(x) » xwR ，证明： f(f(x)<g(S(x)<h(h(x) >利用复合函数及其单调性质。证明：因对于任意的x e R，有/(x) < g(x) < /?(x)，且/(x)，g(x)和力(x)均为增函数，所以有 /(/(x) << g(g(x) < g(/?

24、(x) < (/7«) 即 /(/W) < g(g(x) < h(h(x) 故原不等式成立。4 利用柯西不等式证明设均为实数，则面+)(/+1)'(ac +次厅，当且仅当/=反时成立.例 15 若 x+y + z = l 求证 J3x+1 +，3y + 2 + j3z + 3 43力i正明：(j3x+lxl + j3)，+ 2xl + j3z + 3xl)2w(3x + l + 3y + 2 + 3z + 3)(12+i2+i2)=27，3.+1 + J3y + 2 + J3z + 3 < 37 3当3工+ 1 = 3），+ 2 = 3 + 3时等号成

25、立。故原不等式成立。5利用均值不等式证明均值不等式公式：，= +<当且仅当=。时取"=”)；a + b> 14ab = yab yab a,b e /?*)，(当且仅当 4= 时取"=”)。均值不等式是高考中一个重要知识点，其变形多，约束条件“苛刻“(一正、二定， 三相等)。例 已知a，。为不全相等的正数，求证：a(i()ib(d)>6abc.分析：观察要证不等式的两端都是关于a，Zm c的3次多项式，左侧6项»右侧6项»左 和右积，具备均值不等式的特征。证明：-6+dNUc、»0,2ade同理»汉洛齿')三

26、2为c, c才+lf)Acab,又因为a，b »。不全相等,所以上述三个不等式中等号不能同时成立，因此 cilr +c2 ) + b(a2 +c2) + c(a2 +b2)> babe 故原不等式成立。例 若x,y>0,x+y = 2 » 求证：+ = 2 x y证明：, x, y > 0,l + l = l(x+')(- + -) =-(1 + 1+- + -)2 又工+ 工22 U-=2 x y 2 x y 2 x yx y y当且仅当上=），即x = l,y = l时等号成立 故原不等式成立。6利用施瓦茨不等式证明施瓦茨不等式：若/和g在口，

27、句上可积，则(/(x)g(x)公)2 <jaf2(x)dx jg2(x)dx 例 证明：若/在小句上可积,则(J ：/*)公)2 < S - 4)尸*)心证明：根据施瓦茨不等式有：(J)(X)公丁 =(J )").如尸 <dxbafx)dx= (b-a)f2(x)dx 所以(J：/(X)dx)2«S )J：/2(x)八故原不等式成立。word版本.7利用中值定理法证明不等式7.1拉格朗日中值定理若函数/满足如下条件：(1) /在闭区间卜力上连续(2) /在开区间(。力)可导，则在(。力)至少存在一点、6使得 b-a例 证明：- < In < -

28、 -，其中 0 v a v b a a证明：设/(x) = lii xyxea,h »显然/(x)在a,上满足拉格朗日中值定理的条件»且/'« = -，故三，使"? 一 "")=尸0) = xb-a彳门，, b-a , b b-a <111. b-a b-a b-a即 In 一 In a =In =而一 < 一 <一，故有<<4 a g b g abac b-a , b b-a 即< In < -b a a故原不等式成立。7.2积分第一中值定理若/在口,句上连续，则至少存在一点看

29、63;a,b，使得例证明：4xve 证明：.在。上，1 = / <ex' <e' =e »且函数不恒等于1和e »所以有1 = | ydx < |dx< j yedx = e ：. < j yex dx< e 故原不等式成立。8利用詹森不等式证明詹森不等式：若/为伍,们上凸函数，则对任意看>°。= 12,=1，有 /(工4七)4Z4/(七)， 例 证明：不等式(c而“一厂4/川犬，其中。，b , c均为正数证明：设/(x) = xlnx，x>0，由/(x)的一阶和二阶导致 f'(x) = lnx + l，/''(x) = 可 x见，/(x) = xlnx在工>。时为严格凸函数，依詹森不等式有：')4(/(。)+ /(、) +/(c) a +