高等数学期末复习ppt课件

1、考察下列极限：考察下列极限：xyyx00lim)(lim2200yxyx例例. 设设)0(1sin)(),(222222yxyxyxyxf求证：求证：.0),(lim00yxfyx例例. . 设设0,sinsin),(11yxyxyxfxy求证：.0),(lim00yxfyx证明下列极限不存在。证明下列极限不存在。2200limyxxyyx2200limyxxyyx求下列二元函数的极限求下列二元函数的极限: :)(lim2200yxxyyx)sin(lim2212200yxyxyxxyyxxy100coslim求下列二元函数的累次极限求下列二元函数的累次极限)(limlim),(limlims

2、insin00sinsin00yxyxxyyxyxyx )(limlim),(limlim22220000yxxyxyyxxyyx 二重极限与累次极限的关系二重极限与累次极限的关系1 1、当二重极限与累次极限都存在时、当二重极限与累次极限都存在时, ,两种累两种累次极限与二重极限相等次极限与二重极限相等. .例例5:5:讨论函数讨论函数yxyxyxyxf 22),(在原点处的累次极限与二重极限的存在性在原点处的累次极限与二重极限的存在性. .注意：二重极限与累次极限的存在性注意：二重极限与累次极限的存在性之间并无必然联系。之间并无必然联系。二重极限存在，但是累次极限不存在的例子：二重极限存在，

3、但是累次极限不存在的例子：yxyxf1cos),(在在0，0处处累次极限存在，但二重极限不存在的例子：累次极限存在，但二重极限不存在的例子：22),(yxxyyxf在在0，0处处例例5. 求函数求函数yxez2.23xyz的二阶偏导数及 求某点的偏导数期中考试）求某点的偏导数期中考试）例例1. 计算函数计算函数在点 (2,1) 处的全微分. yxez 例例2. 计算函数计算函数的全微分. zyeyxu2sinzeyzyd课堂练习：课堂练习：)sin(xyz 求其偏导数及求其偏导数及yxz2);,(yxfxy（1）（2）判断函数在原点偏导数的存在性。判断函数在原点偏导数的存在性。22),(yxy

4、xf例：设例：设000222222yxyxzyxxy（1求求z的偏导数；的偏导数；（2讨论讨论yzxz,的连续性。的连续性。二元函数有极限二元函数有极限二元函数连续二元函数连续二元函数偏导数存在二元函数偏导数存在二元函数偏导数连续二元函数偏导数连续二元函数可微二元函数可微对二元函数：对二元函数：课堂练习课堂练习xyexzysin22在在，0处的全微分。处的全微分。求：求：讨论函数：讨论函数：000sin),(2222122yxyxxyyxfyx在原点的可微性。在原点的可微性。例：求下列函数的全导数。例：求下列函数的全导数。tytxyxzsin,2teztytxzyxu,sin,2tytxyxf

5、zsin,),(2例例1. 设设,sinyxvyxuvezu.,yzxz求例例. 设设 ,sintvuz.ddtz求全导数,teu ,costv 例例,sin,),(2222yxzezyxfuzyxyuxu,求解解:知：知：xyvyxuuvz,xyz222xz求例例. 设设 , ),(zyxzyxfw求.,2zxwxw习题选讲：习题选讲：1、证明、证明242),(yxyxyxf在原点的极限不存在，但两个累次极限都存在。在原点的极限不存在，但两个累次极限都存在。2判断函数在原点偏导数的存在性。判断函数在原点偏导数的存在性。22),(yxyxf3、设、设000222222yxyxzyxxy（1求求

6、z的偏导数；的偏导数；（2讨论讨论yzxz,的连续性。的连续性。4、求曲线、求曲线C：4422yzyx在点在点2，4，5处的切线与处的切线与x轴正轴正半轴所成的倾斜角是多少？半轴所成的倾斜角是多少？5、设、设2,/1),323tan(tytxyxtu求：求：tudtdu, P56:A5 P56:B4 P62:A4总复习题选）总复习题选）课堂练习课堂练习 P56:A1(1)、2(2) 、4、5 P56:B4课后作业：课后作业： P56:A1(2，3)、2(1) 、6 P56:B3、5第八章：偏导数在经济问题中的应用。第八章：偏导数在经济问题中的应用。第一节：常见的多元经济函数第一节：常见的多元经

7、济函数)(pfQd 需求函数：需求函数：供给函数：供给函数：)(pgQs 总成本函数：总成本函数：)()(10QCCQC 总收入函数：总收入函数：PQQR )(总利润函数：总利润函数：)()()(QCQRQL 1、常见的一元经济函数、常见的一元经济函数总效用函数：总效用函数：)(QUU 边际成本边际成本MC)(QCMC 边际收益边际收益MR)(QRMR 边际利润边际利润ML)(QLML MCMR 边际效用边际效用MU：)(QUMU 弹性：弹性：xdxfdyxExEyxfln)(ln)(),.,(21MpppfQkd需求函数：需求函数：供给函数：供给函数：总成本函数：总成本函数：)(.)()()

8、,.,(22111kkkQCQCQCQQC总收入函数：总收入函数：kkkQPQPQQR.),.,(111总利润函数。总利润函数。),.,(),.,(),.,(111kkkQQCQQRQQL2、常见的多元经济函数、常见的多元经济函数总效用函数。总效用函数。),.,(1kQQUU ),.,(21kSpppfQ 生产函数：生产函数：,.),(LKfQ 生产函数：描述生产要素与最大产出生产函数：描述生产要素与最大产出之间的关系，不仅包括各要素与产出之间的关系，不仅包括各要素与产出之间的关系，而且要包括要素之间的之间的关系，而且要包括要素之间的关系。关系。边际成本边际成本MCikQQQCiMC),.,(

9、1边际收益边际收益MR边际利润边际利润MLMCMR 边际效用边际效用MU：ikQQQRiMR),.,(1ikQQQLiML),.,(1ikQQQUiMU),.,(1边际产量：边际产量：ikxxxfiMQ),.,(1二元函数的偏弹性：二元函数的偏弹性：xyxfzxxzExEzln),(ln简记为：简记为：xE例例.讨论函数讨论函数在点在点(0,0)是否取得极值是否取得极值.2232yxzxyzsin在点在点(/2,1)是否取得极值是否取得极值.例例1.1.求函数求函数的极值的极值. .xyxyxyxf933),(2233例例2.讨论函数讨论函数及及是否取得极值是否取得极值.33yxz222)(y

10、xz在点在点(0,0)例：求下列函数的极值例：求下列函数的极值yxyxf2100),(约束条件：约束条件：1 yx例例. .求函数求函数的极值.yxyxyxf22),(22例例. .求函数求函数满足下列约束条件时的极值满足下列约束条件时的极值. .22 yxyxyxyxf22),(22xyzzyxf),(1222zyx0zyx课堂练习课堂练习P85A:(5)、B775. 025. 0100LKQ xyyxR43 75. 025. 0100LKQ ) 10 , 0( ,),(AyAxyxU) 10 , 0( ,),(AyAxyxU第九章 二重积分 第九章 利用二重积分的定义求二重积分利用二重积分

11、的定义求二重积分.Dd1其中其中D为：为：122 yx, 1),(yxfD上若在DDdd1 为为D 的面积的面积, 那那么么 结论：结论：三、二重积分的性质三、二重积分的性质Dyxfkd),(. 1( k 为常数为常数)Dyxgyxfd),(),(. 221d),(d),(d),(. 3DDDyxfyxfyxf),(2121无公共内点DDDDDDyxfkd),(DDyxgyxfd),(d),(, 1),(4yxfD上若在DDdd1 为D 的面积, 那么 特别特别, 由于由于),(),(),(yxfyxfyxfDyxfd),(那那么么Dyxfd),(Dyxd),(5. 若在D上),(yxf, )

12、,(yxDyxfd),(6. 设),(min),(maxyxfmyxfMDDD 的面积为的面积为 ,MyxfmDd),(则有则有7.(二重积分的中值定理),(yxf设函数,),(D),(),(fdyxfD证证: 由性质由性质6 可知可知,MyxfmDd),(1由连续函数介值定理由连续函数介值定理, 至少有一点至少有一点D),(Dyxffd),(1),(),(d),(fyxfD在闭区域在闭区域D上上 为为D 的面积的面积 ,则至少存在一点则至少存在一点使使使连续连续,因而),(min),(max(yxfmyxfMDD例例. 比较下列积分的大小比较下列积分的大小:d)(,d)(32DDyxyx其中

13、其中D由由x，y轴及直线轴及直线x+y=1围成。围成。例例. 估计下列积分之值估计下列积分之值10:coscos100ddI22yxDyxyxDyxyxIyxdd1122yxyxIyxdd12例例. 比较下列积分值的大小关系比较下列积分值的大小关系:例：计算二重积分例：计算二重积分Dxydxdy其中其中D是由是由y=2x、y=x2围成的区域。围成的区域。例：计算二重积分例：计算二重积分Dxydxdy其中其中D是由是由y=2x、y=x2围成的区域。围成的区域。例：计算二重积分例：计算二重积分Dxydxdy其中其中D是由是由y=x、y=1,x=2围成的区域。围成的区域。例：计算二重积分例：计算二重

14、积分Dyxdxdy2)(1其中其中D:21 , 43yx例：计算二重积分例：计算二重积分Dxydxdy其中其中D是由是由y=2x、x=2y、x+y=3围成的区域。围成的区域。例例 1 1 改改变变积积分分 xdyyxfdx1010),(的的次次序序.例例 2 2 改改变变积积分分 xxxdyyxfdxdyyxfdx20212010),(),(2的的次次序序.例例 3 3 改变积分改变积分)0(),(20222 adyyxfdxaaxxax 的次序的次序.例例2解解. 10, 11:.2 yxDdxyD其其中中计计算算 1D2D3D先去掉绝对值符号，如图先去掉绝对值符号，如图 dxydyxdxy

15、DDDD 321)()(222 1211021122)()(xxdyxydxdyyxdx.1511 例：计算二重积分例：计算二重积分Dyydxdysin其中其中D是由是由x=y及抛物线及抛物线y2=x所围成的的区域。所围成的的区域。例例5 5 求求 Dydxdyex22，其中，其中 D 是以是以),1 , 1(),0 , 0()1 , 0(为顶点的三角形为顶点的三角形. dyey2无无法法用用初初等等函函数数表表示示解解 积积分分时时必必须须考考虑虑次次序序 Dydxdyex22 yydxexdy02102dyyey 10332210262dyyey ).21(61e 所所围围区区域域。及及是

16、是由由其其中中、14,)(122 yxyxyDdyxD dyxyx 122)(2、课堂练习课堂练习P122：A1(1)、22）、）、33）、）、44）二重积分的简单几何应用二重积分的简单几何应用1、求面积、求面积求由求由y=x2 、y=2x围成的图形的面积。围成的图形的面积。2、求体积：、求体积：求两个半径相等的直交圆柱面求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体体积。所围成的立体体积。求平面求平面x+y+z=1与三个坐标与三个坐标平面围成的立体的体积。平面围成的立体的体积。例：计算二重积分例：计算二重积分Dyxdxdye)(22222:RyxD例：求下列二重积分。例：求下列二重积分。xyyyxy

17、xDdxdyDxy, 0, 1, 4:,arctan2222围成的第一象限的部分。围成的第一象限的部分。无穷级数 第十章例例2. 判别下列级数的敛散性判别下列级数的敛散性: .) 1(1)2( ;1ln) 1 (11nnnnnn二、无穷级数的基本性质二、无穷级数的基本性质 性质性质1. 若级数若级数1nnu和为和为 S ,1nnuS则各项则各项乘以常数乘以常数 c 所得级数所得级数1nnuc也收敛也收敛 ,证证: 令令,1nkknuS那么nkknuc1,nScnnlimSc这说明这说明1nnuc收敛收敛 , 其和为其和为 c S . nnSclim结论结论: 级数各项乘以非零常数后其敛散性不变

18、级数各项乘以非零常数后其敛散性不变 .即其和为其和为 c S .性质性质2. 设有两个收敛级数设有两个收敛级数,1nnuS1nnv则级数则级数)(1nnnvu 也收敛也收敛, 其和为其和为.S证证: 令令,1nkknuS,1nkknv那那么么)(1knkknvu nnS)(nS这说明级数这说明级数)(1nnnvu 也收敛也收敛, 其和为其和为.S问题问题:若两级数中一个收敛，一个发散若两级数中一个收敛，一个发散 , 问问)(1nnnvu 是收敛还是发散？是收敛还是发散？但若二级数都发散但若二级数都发散 ,)(1nnnvu 又如何？又如何？例如例如, ,) 1(2nnu取,) 1(12 nnv0

19、nnvu而性质性质3.在级数前面加上或去掉有限项在级数前面加上或去掉有限项, 不会影响级数不会影响级数的敛散性的敛散性.证证: 将级数将级数1nnu的前的前 k 项去掉项去掉,1nnku的部分和为的部分和为nllknu1knkSSnknS与,时由于n数敛散性相同数敛散性相同. 当级数收敛时当级数收敛时, 其和的关系为其和的关系为.kSS 类似可证前面加上有限项的情况类似可证前面加上有限项的情况 .极限状况相同极限状况相同, 故新旧两级所得新级数所得新级数性质性质4. 收敛级数加括号后所成的级数仍收敛于原级数收敛级数加括号后所成的级数仍收敛于原级数的和的和.证证: 设收敛级数设收敛级数,1nnu

20、S若按某一规律加括号若按某一规律加括号,)()(54321uuuuu则新级数的部分和序列则新级数的部分和序列 ), 2 , 1(mm为原级数部分和为原级数部分和序列 ),2,1(nSn的一个子序列的一个子序列,nnmmS limlimS推论推论: 若加括弧后的级数发散若加括弧后的级数发散, 则原级数必发散则原级数必发散.注意注意: 收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.,0) 11 () 11 (但1111发散.因此必有因此必有例如，例如，例如例如三、级数收敛的必要条件三、级数收敛的必要条件 设收敛级数设收敛级数,1nnuS则必有则必有.0limnnu证证:

21、 1nnnSSu1limlimlimnnnnnnSSu0SS可见可见: 若级数的一般项不趋于若级数的一般项不趋于0 , 则级数必发散则级数必发散 .判断判断,1) 1(544332211nnn收敛还是发散？收敛还是发散？注意注意:0limnnu并非级数收敛的充分条件并非级数收敛的充分条件.判断判断 调和级数调和级数nnn13121111的敛散性。的敛散性。事实上事实上 , 假设调和级数收敛于假设调和级数收敛于 S , 那那么么0)(lim2nnnSSnn2nnnn21312111但但nnSS2矛盾矛盾! ! 所以假设不真所以假设不真 .211、等比级数、等比级数)0(0aqann当当|q|1时

22、收敛，否则发散。时收敛，否则发散。2、调和级数、调和级数nnn13121111发散。发散。3、P级数的敛散性级数的敛散性课堂练习课堂练习P156:A2,4(1、3、6）B1、2、32）利用比较判别法判断正项级数的敛散利用比较判别法判断正项级数的敛散性性121)2(nnn1121) 1 (nn例：判断下列正项级数的敛散性。例：判断下列正项级数的敛散性。2112) 1 (nn211)2(nn判断下列正项级数的敛散性。判断下列正项级数的敛散性。11tan) 1 (nn121sin)2(nn的敛散性的敛散性. 例例4. 判别级数判别级数1211lnnn判断下列级数的敛散性判断下列级数的敛散性1!1nn12nnn判断下列级数的敛散性判断下列级数的敛散性11nnn12nnn课堂练习课堂练习P168 A2(1、3、5）、）、31、3、5）、）、41、4）nn1) 1(4131211) 11!1) 1(!41!31!211)21nn用用Leibnitz 判别法判别下列级数的敛散性判别法判别下列级数的敛散性:nnn10) 1(104103102101)31432111) 1(nnn,! ) 1(1) 1(11nnn1110) 1(nnnn绝对收敛还是条件收敛绝对收敛还是条件收敛 ？例如例如 ：呢？呢？呢？呢？定理定理8. 绝对收敛的级数一定收敛绝对收