函数单调性和奇偶性专题

1、实用标准函数单调性和奇偶性专题一知识点精讲：一、单调性1.函数的单调性定义：一、函数单调性的定义及性质（1 ）定义对于给定区间 I 上的函数 yfx ，如果对任意 x1 , x2I ，当 x1x2 ，都有 f x1fx2 ，那么就称 y f x 在区间 I上是增函数； 当 x1x2 ，都有 fx1fx2，那么就称 yfx在区间 I 上是减函数与之相等价的定义：fx1f x20，或都有 fx1fx20 则说 f (x) 在这x1x2x1x2个区间上是增函数（或减函数）。其几何意义为：增（减）函数图象上的任意两点x1, fx1, x2 , fx2连线的斜率都大于（或小于） 0 。（2 ）函数的单调

2、区间如果函数 yfx 在某个区间上是增函数（或减函数），就说 f ( x) 在这一区间上具有 （严格的） 单调性， 这一区间叫做该函数的单调区间。如函数是增函数则称区间为增区间，如函数为减函数则称区间为减区间。单调性反映函数的局部性质。一个函数f ( x) 在区间 I1, I1 上都是增函数，但它在区间I 2 U I 2 上不一定是增函数。（3 ）判断单调函数的方法：定义法，其步骤为：在该区间上任取x1x2 ，作差fx1fx2 、化积、定号；互为反函数的两个函数具有相同的单调性；奇函数在对称的两个区间上具有相同的单调性，而偶函数在对称的两个区间上却有相反的单调性；复合函数单调性的根据：设yfu

3、 , ug x , xa ,b , um,n 都是单调函数，则文案大全实用标准y f g x 在a, b上也是单调函数， 其单调性是 f与 g 单调性相同则yfg x 是增函数，单调性相反则yf g x 是减函数。 几个与函数单调性相关的结论：（）增函数 + 增函数 = 增函数；减函数 + 减函数 = 减函数；（）增函数减函数 = 增函数；减函数增函数= 减函数。如果 y fx在某个区间 D 上是增函数（或减函数） ，那么 . yfx.在区间 D 的任意一个子区间上也是增函数（或减函数）。（4 ）常见一些函数的单调性：一次函数ykxbk0 ，当 k0 时，在,上是增函数；当k0 时，在, 上是

4、减函数反比例函数kk0，当 k0 时，在,0和 0,上都是减函数； 当 k0 时，yx在,0和0,上都是增函数二次函数 yax2bxca 0，当 a 0 ，在,b上是减函数， 在b,2a2a上是增函数；当a0 ，在,bb,上是减函数上是增函数，在2a2a当 a 1时， ya x 和 ylog a x 在其定义域内为增函数，当0 a 1 ， ya x 和y log a x 在其定义域内为减函数。二、奇偶性对 于 函 数 f (x)的 定 义 域 内 任 意 一 个 x ， 都 有 f (x)f ( x) 或f (x)f (x) 0 ，则称f (x) 为奇函数 . 奇函数的图象关于原点对称。对 于

5、 函 数 f (x)的 定 义 域 内 任 意 一 个 x ， 都 有 f (x)f (x) 或f (x)f (x) 0 ，则称f (x) 为偶函数 . 偶函数的图象关于 y 轴对称。通常采用图像或定义判断函数的奇偶性. 具有奇偶性的函数，其定义域原点关于对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）二经典例题剖析：（不带答案版）文案大全实用标准单调性 :例 1 （ 1 ）函数 f(x) |x 2|x 的单调减区间是 _.（2）函数 f ( x)2 的单调区间 _；x1变式：（ 1 ）函数 y1的单调区间为x 11,x0（2）设函数 f(x) 0, x0 ，g (x)

6、x2f( x1) ，则函数 g(x)的递减区间是 _1,x0例 2：（1）函数f ( x)2x2(m1)x 1 在 (,1 上单调递减，则实数 m 的范围 _；（2 ）函数 y xa ( a0) 在 2,) 上单调递增，则实数 a 的范围 _。x变式：（ 1 ）已知函数 f(x) x2 2ax 3 在区间 1,2 上具有单调性，则实数a 的取值范围为（2 ）函数 y=log a（ 2 ax）在 0 ， 1 上是减函数，则a 的取值范围是 _.例 3设函数f(x)定义在实数集上，它的图象关于直线x 1 对称，且当x1 时， f(x) 3 x1 ，则 f 1, f3, f2之间的大小关系是 _.3

7、23例 4 定义新运算：当ab 时， ab a；当 a b 时， ab b 2，则函数f(x ) (1 x)x (2 x)，x 2,2 的最大值等于 _.例 5 ：（ 1 ）用定义证明 f (x)3) 上是减函数。x a (a R) 在 ( ,变式： 用定义证明函数 f (x) xk在 (0,) 上的单调性。( k 0)x文案大全实用标准例 6 ：已知函数2a，常数 aR ）若函数 f ( x) 在 x2，) 上为增函数，f (x) x( x 0x求 a 的取值范围变式： 已知函数f ( x)x22 a1 x2 在区间4,上是增函数，求实数a 的范围。例 7 ：设函数 f (x)xa ( a

8、b 0) ，判断 f (x) 在其定义域上的单调性。xb例 8 ：求 f ( x) log a (3x20 且 a1）的单调区间。5x 2) （ a例 9 ：设 a 为实数，函数f ( x)x2| xa |1 ， xR ，求 f ( x) 的最小值奇偶性例 1 ：判断下列函数的奇偶性：（1 ） f ( x)x31 （ 2 ） f (x) | x 1| | x 1|x（3 ） f ( x)23x22x, x0x( x5 5)xx（ 4） f (x)2x, x0（ 5 ） f (x)x2x24变式： 判断函数的奇偶性 y1 , x 0 y x21 y x2x3 y 2xx f ( x)1x2x 1

9、1 x f ( x)x22x 3, x 0 f ( x)x22x 3, x 0x 2 21 x例 2 ：已知 f (x) 是偶函数， x0 时， f ( x)20 时 f ( x) 的解析式 .2 x 4 x，求 x变式： 已知 f (x) 是奇函数， g( x) 是偶函数，且 f (x) g ( x)1，求 f ( x) 、 g (x) .x1文案大全实用标准例 3 ：若 f (x) 是偶函数，且在 (,0) 上增函数，又f ( 3) 0 ，求 f ( x)0 的解集。x例 4：（1）定义在 (2。1,1)上的奇函数 f ( x) 是减函数，解关于 a 的不等式： f (1 a) f (1

10、a ) 0（2 ）定义在 2,2上的偶函数 f (x) 在 0,2 上单调递减， 且 f (1 m)f (m) 成立，求 m 的取值范围。变式：（ 1 ）定义在 ( 1,1)上的偶函数， （ 0,1 ）上为增函数，且f (a2)f (4 a2 ) 0 成立，求 a 的取值范围。（2 ）定义在 ( 1,1)上的奇函数f (x) 是减函数，且 f ( a 2)f (420 成立，求 a 的取值a )范围。例 5 ：已知函数f (x) 对任意 m,n R 都有 f ( mn) f ( m) f (n) 1 ，并且当 x0 时， f ( x) 1 。（1）求证：f ( x) 在 R 上是增函数；（2）

11、若 f (3)4 ,求满足条件 f (a2a 5) 2的实数 a 的取值范围。变式：（1 ）设函数f (x) 是定义在R 上的奇函数，且在区间(,0) 上是减函数。试判断函数f ( x) 在区间 (0,) 上的单调性，并给予证明。（2 ）已知定义在R 上的函数f (x)满足 f(x )f ( x) 0 ，且在 (， 0) 上单调递增，如果x1 x2 0 且 x1 x2 0 ，则 f(x1 ) f(x2 )的取值范围是 _.例 6 ：已知函数 f （x） = x+ p + m （ p 0 ）是奇函数，当x 1， 2时，求 f（ x）的最大x值和最小值 .文案大全实用标准变式： 设 a 为实数，函

12、数fxx2xa1 xR 。（1 ）讨论函数的奇偶性；（2 ）求函数的最小值三经典例题剖析：（部分带答案版）单调性 :例 1 （ 1 ）函数 f(x) |x 2|x 的单调减区间是 _.x22x, x2解由于 f(x) |x 2| xx2 , x结合图象可知函数的单调减区间是1,2 2x2（2 ）函数 f ( x)2的单调区间 _；x1【分析】对函数 f ( x)2 ，是由 y2 向右平移1 个单位得到，由反比例函数性质得，x 1x函数在,1和1,上单调递增，特别注意：单调区间不能写成,1 U 1,，可举反例说明；【解】,1和1,上单调递增；变式：（ 1 ）函数 y1的单调区间为x11,x0（2

13、 ）设函数 f(x) 0, x0 ，g (x) x2f( x1) ，则函数 g(x)的递减区间是 _1,x021x , x【解析】由题意知g (x) 0, x1函数图象如图所示，其递减区间是0,1) x2 , x1文案大全实用标准例 2 ：（ 1 ）函数 f ( x)2x2(m 1)x1 在 (,1 上单调递减，则实数m 的范围 _；【分析】关于二次函数的单调性，注意看两个方面，即开口方向和对称轴，注意结合二次函数的图像解题 .问题（ 1）中给定了函数在,1上单调递减，而图象开口向上，因此对称轴xm 1 应在,1的右边，从而m 11m 3 ；44（2 ）函数 yxa0)在 2,) 上单调递增，

14、则实数a 的范围 _。( ax【分析】函数ya(a0) ，由图象可知函数在 x0 的范围内，当 x 0,a 递减，当xxxa ,递增，由题意在2,上单调递增得a20a4 。变式：（ 1 ）已知函数f(x) x2 2 ax 3 在区间 1,2 上具有单调性，则实数a 的取值范围为【解析】函数 f (x) x2 2 ax 3 的图象开口向上， 对称轴为直线x a，画出草图如图所示由图象可知，函数在(， a和 a， )上都具有单调性，因此要使函数f(x)在区间 1,2上具有单调性，只需a1 或 a2 ，从而 a (， 1 2 ， )（2 ）函数 y=log a（ 2 ax）在 0 ， 1 上是减函数

15、，则a 的取值范围是 _.【解析】题中隐含a 0，2 ax 在 0， 1 上是减函数 .y=log au 应为增函数，且u =2a1,ax 在 0 ，1 上应恒大于零.1 a2.2a0.文案大全实用标准例 3设函数f(x)定义在实数集上，它的图象关于直线x 1 对称，且当 x1时， f(x) 3 x1 ，则 f 1, f3, f2之间的大小关系是 _.323【解析】 由题设知，当x1时， f( x)单调递减，当x1 时， f(x)单调递增，而x 1 为对称1f3f2轴， f233例 4 定义新运算：当时， ；当ab时， b2，则函数()(1 )xa ba b aa bf xx (2 x)，x

16、2,2 的最大值等于 _.【解析】 f ( x)x 2,2x1,x32,1xf(x)在定义域内都为增函数，所以最大值6 。2,例 5 ：用定义证明 f ( x)3a(aR)在(,) 上是减函数。x【证明】 设 x1 , x2(,) ，且 x1x2 ，则f (x1 )f ( x2 )33a)33( x222x1a ( x2x2x1x1 )( x1x2 x1 x2 ).由于 x2x2x x( xx2 )23 x2 0 ， x2x10 ，12121242则 f (x1 )f ( x2 )( x222x1 x2 )0 ，即f ( x1 )f (x2 ) ，所以 f ( x) 在,上x1 )( x1x2

17、是减函数。变式： 用定义证明函数f (x) xk( k0) 在 (0,) 上的单调性。x【证明】 设 x1 、 x2(0,) ，且 x1x2，则f (x1 ) f ( x2 )( x1k) (x2k( x1kkx1)x2 ) ()x2x1x2(x1x2 ) k( x2x1 )(x1x2 ) k( x1x2 ) ( x1x2 )( x1x2 k ) ，x1x2x1x2x1 x2又 0x1x2 ，所以 x1x20 ， x1 x20，当 x1、 x2(0,k 时 x1 x2k0f ( x1 )f (x2 )0 ，此时函数f ( x) 为减函数；当 x1、 x2(k ,) 时 x1x2k0f ( x1

18、 )f ( x2 )0 ，此时函数f ( x) 为增函数。文案大全实用标准综上函数f ( x)xk (k 0) 在区间 (0,k 内为减函数；在区间( k , ) 内为增函数。x注由于 x1 x2k 与 0的大小关系(k 0) 不是明确的，因此要分段讨论。讨论的方法是令x1 =x2 =x ，则 x2k 。k ，解得 x例 6 ：已知函数 f (x)2a0 ，常数 aR ）若函数 f ( x) 在 x 2，) 上为增函数，x( xx求 a 的取值范围【解析】设2 x1x2，则f ( x1 )2a2a( x1 x2 )f ( x2 ) x1x1x2x2x1 x2 ( x1 x2 ) a ，x1x2

19、要使函数 f ( x) 在 x2 ，) 上为增函数，必须f ( x1 ) f ( x2 ) 0 恒成立Q x1x20， x1x24 ，还要 x1 x2 ( x1 x2 ) a0 ，即 a x1x2 ( x1x2 ) 恒成立又Qx1x2 4 ，x1x2 ( x1 x2 )16 ，所以 a 的取值范围是 (，16 变式： 已知函数f ( x)x22 a1 x2 在区间4,上是增函数，求实数a 的范围。【答案】 a3以上例题都是用定义法判定函数单调性，基本方法是作差 - 化积 - 定号。这种方法思路比较清晰， 但通常过程比较繁琐， 有时也可以利用函数单调性的性质来判断其他函数的单调性。例 7 ：设函

20、数 f (x)xa ( a b 0) ，判断 f (x) 在其定义域上的单调性。xb【解析】 函数 f xxa 的定义域为 ( , b)( b,) .( )xb先判断 f ( x) 在 ( b,) 内的单调性，由题可把f ( x)xa转化为 f (x) 1ab ，又xbxba b 0 故 a b0 ，1虽 x 的增大而减小，所以f (x) 在 (b, ) 上为减函数；xb文案大全实用标准同理可判断f ( x) 在 (, b) 内也是减函数。 故函数 f (x)xa 在 (, b) 和 ( b,) 内xb是减函数（本题f ( x) 在 (, b) ( b, ) 内也是减函数） 。变式： 已知 f

21、 ( x)82xx2 ，若 g( x)f2x2 ，试确定 g ( x) 的单调区间和单调性。函数性质法只能借助于我们熟悉的单调函数去判断一些函数的单调性，因此首先把函数等价地转化成我们熟悉的单调函数的四则混合运算的形式，然后利用函数单调性的性质去判断， 但有些函数不能化成简单单调函数四则混合运算形式就不能采用这种方法。例 8 ：求 f ( x)log a (3x25x2) （ a0 且 a1）的单调区间。【 解 析 】 由 题 可 得 函 数f ( x)log a (3x25x2) 是 由 外 函 数 yloga u 和 内 函 数u3x25x2 符 合 而 成 。 由 题 知 函 数f (x

22、) 的 定 义 域 是 (,2) U (1 ,) 。 内 函 数3u3x25x2 在 ( 1 ,) 内为增函数，在(, 2) 内为减函数。3若 a1，外函数ylog a u 为增函数，由同增异减法则，故函数f ( x) 在 (1 ,) 上是3增函数；函数f ( x) 在,2 上是减函数。若 0a1 ，外函数ylog a u 为减函数，由同增异减法则，故函数f (x) 在 (1 ,) 上3是减函数；函数f ( x) 在, 2 上是增函数。小结： 判断复合函数yf g (x) 的单调性的一般步骤：合理地分解成两个基本初等函数yf (u ),ug (x) ；分别解出两个基本初等函数的定义域；分别确定

23、单调区间；文案大全实用标准若两个基本初等函数在对应区间上的单调性相同，则yf g ( x) 为增函数，若为一增一减，则yf g (x) 为减函数（同增异减） ；求出相应区间的交集，即是复合函数yf g (x) 的单调区间。一分二求三定四交同增异减确定区间例 9 ：设 a 为实数，函数 f ( x)2| xa |1 ， xR ，求 f ( x) 的最小值x【解析】 当 xa 时，函数 f ( x)x2xa 1( x1 )2a3 ，24若 a1 ，则函数 f (x) 在 (,a 上单调递减，函数f (x) 在 (,a 上的最小值为221 ；f ( a) a若 a1 ，函数 f ( x) 在 (,

24、a 上的最小值为f ( 1 )3a ，且 f ( 1 )f ( a) 2242当 xa 时，函数 f ( x)x2xa 1(x1 )2a3，24若 a1 ，则函数 f ( x) 在 a,) 上的最小值为f ( 1 )3a ，且 f (1 ) f (a) ；2242若 a1 ，则函数 f ( x) 在 a,) 上单调递增，函数f (x) 在 a,) 上的最小值2f ( a) a21 综上，当 a1 时，函数 f (x) 的最小值是3a ，当1a1 时，函数 f ( x) 的最小242221 ，函数 f ( x) 的最小值是 a3值是 a 1 ，当 a24奇偶性例 1 ：判断下列函数的奇偶性：（1

25、 ） f ( x)x31 （ 2 ） f (x) | x 1| | x 1|x文案大全实用标准23x22x, x0x( x 55)（3 ） f ( x) xx（ 4） f (x)2x, x0（ 5 ） f (x)x2x24变式： 判断函数的奇偶性 y1 , x0 y x21 y x2x3 y 2xx1x2x 11xx22x 3, x 0 f ( x) f ( x) f ( x)22x 3, x 0x2 21xx例 2 ：已知 f (x) 是偶函数， x0 时， f ( x)20 时 f ( x) 的解析式 .2 x 4 x，求 x变式： 已知 f (x) 是奇函数， g( x) 是偶函数，且

26、f (x) g ( x)1，求 f ( x) 、 g (x) .x1例 3 ：若 f (x) 是偶函数，且在 (,0) 上增函数，又f ( 3) 0 ，求 f ( x)0 的解集。x【解析】 ( 3,0) U (3, ) 。例 4 ：（1 ）定义在 ( 1,1)上的奇函数f ( x) 是减函数，解关于 a 的不等式： f (1a)f (1a 2 ) 0 。【解析】不等式可化简为f (1 a)f (1a2 ) 由于函数是奇函数因此 f (1a )f (a21)12 a01 1 a则有 1 1 a 21, 解得2 a 0 或 0a2 ，即 1 a 01 a a 211 a2不等式 f (1 a)

27、f (1 a2)0的解集是 a| -1a0（2 ）定义在 2,2 上的偶函数f (x) 在 0,2 上单调递减， 且 f (1m)f (m) 成立，求 m 的取值范围。1【答案】1m2文案大全实用标准变式：（ 1 ）定义在 ( 1,1)上的偶函数， （ 0,1 ）上为增函数，且f (a2)f (4a2 )0 成立，求 a 的取值范围。【答案】3 a 2 或 2 a5（2 ）定义在 ( 1,1)上的奇函数f (x) 是减函数，且 f ( a 2)2f (4 a ) 0 成立，求 a 的取值范围。点评：函数的单调性和奇偶性结合应用是此类习题的一般解法，但在应用时要特别注意函数的定义域。例 5 ：已

28、知函数 f (x) 对任意 m,nR 都有 f ( m n) f ( m) f (n)1 ，并且当 x0 时， f ( x) 1 。（1）求证： f ( x) 在 R 上是增函数；（2）若 f (3) 4 ,求满足条件2a 5)2 的实数 a 的取值范围。f (a【解析】（1 ）设x1x2，由 x2x1 0 ， 得 f ( x2 x1 )1 。又 f (x2 ) f (x2x1x1 )f ( x2x1 )f ( x1 ) 1 f ( x1 ) ，故函数 f ( x)在 R 上是增函数。（ 2） f (3)f (2)f(1) 1f (1)f (1)1f (1) 13 f(1)2Q f(3)4,3 f(1)24, f (1)2 。由 f (a 2a5)2 ，得 f (a2a5)f (1)。根据 f ( x) 在 R 上是增函数，可得a 2a51 ，解得3a2 。变式（1 ）设函数f (x) 是定义在 R 上的奇函数， 且在