全国初中数学竞赛试题(含答案)汇编

1、2013 年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题bc 满足a2b3c0，abbcca的值为（）1，则设非零实数 a2a 3b 4c 0， a2b2c2（ A）1（B） 01（D）12（ C）2【答案】 A【解答】 由已知得 abc(2 a3b4c)( a2b3c)0，故( abc) 20于是 abbcca1 (a2b2c2 ) ，所以 abbcca1 2a2b2c222b，c 是实常数，关于x 的一元二次方程ax2bxc 0有两个非零实根已知 a ，x1 ， x2 ，则下列关于x 的一元二次方程中，以1， 1为两个实根的是（）x12x22（ A） c2 x2(b22ac)xa20（ B） c

2、2 x2(b22ac) xa 20（ C） c2 x2(b22ac) xa20（ D） c2 x2( b22ac) xa20【答案】 B【解答】由于 ax 2bxc0 是关于 x 的一元二次方程， 则 a0 因为 x1x2b ，ac11 ( x122 x1 x222a cx1 x20 ， 所 以 c 0， 且x2 )b， 且 x1x22222c2 ，ax1x2x1x211a2，x12 x22c2于是根据方程根与系数的关系，以1 ， 1为两个实根的一元x12x22二次方程是 x2b22acxa20 ，即c2cc2 x2(b22ac) xa20（第 3题）3如图， 在 Rt ABC 中，已知 O

3、是斜边 AB 的中点， CD AB，垂足为 D， DE OC，垂足为E若 AD ，DB ， CD 的长度都是有理数，则线段DE ，AC 的长度中，不一定是有理数的为（）（ A）OD（B）OE（ C）DE（D）AC【答案】 D【解答】 因 AD ，DB ，CD 的长度都是有理数，所以，OA OBOC AD BD 是有理数于是，OD OA AD 是有理数2由 RtDOE RtCOD ，知OD 2DC ·DOOE， DE都是有OCOC理数，而 AC AD ·AB 不一定是有理数4如图，已知ABC 的面积为24，点 D 在线段 AC 上，点F 在线段BC 的延长线上，且BC4CF

4、， DCFE 是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（）（ A）3（B）4（ C）6（D）8【答案】 C【解答】 因为 DCFE 是平行四边形，所以DE/CF，且 EF/DC 连接 CE ，因为 DE /CF，即 DE/BF，所以 SDEC，DEB=S因此原来阴影部分的面积等于ACE 的面积连接 AF ，因为 EF/CD ，即 EF /AC，所以 SACE = S ACF因为 BC4CF ，所以 S ABC = 4SACF 故阴影部分的面积为65对于任意实数x， y， z，定义运算 “ *为”：OD， OE，（第 3 题答题）（第 4题）（第 4 题答题）3x3 y3x2 y2xy345x y3

5、360，x 1y1且 x y z x yz ，则 2013 20123 2 的值为（）（ A） 607（ B）1821（ C）5463（ D ）16389967967967967【答案】 C【解答】 设 2013 20124m ，则2013 201243m33m333m29m27459，m33m23m16460于是 201320123292393239222923455463 1033360967二、填空题3(b2)3 的值为6设 a3 ， b 是 a2 的小数部分，则【答案】 9【解答】 由于 1 a2 a23 ，故 ba232) 3(39)39 29 2 ，因此 (b7如图，点 D， E

6、分别是 ABC 的边 AC， AB 上的点，直线 BD 与 CE 交于点 F ，已知 CDF ， BFE ， BCF 的面积分别是 3， 4，5，则四边形AEFD 的面积是【答案】 20413【解答】 如图，连接 AF ，则有：S AEF4S AEFS BFEBFS BCF5S AFD=S AFDFDS CDF，3（第 7题）SAFD3SAFD SCDFS AEFS AEF解得 S AEF10896，SAFD1313所以，四边形AEFD 的面积是 204 138已知正整数 a，b，c 满足 ab22c的最大值为CFS BCF5FES BEF，420 ，3a28bc0，则 abc（第 7 题答题

7、）【答案】 2013【解答】 由已知 ab22c 2 0 ， 3a28bc 0 消去 c，并整理得2a66 由 a 为正整数及 6a2a 66，可得 1a3b 86a22若 a1 ，则b859 ，无正整数解；若 a2 ，则b240，无正整数解；8若 a3 ，则 b29 ，于是可解得 b11， b5 8（ i）若 b11 ，则 c61 ，从而可得 abc311612013；（ ii ）若 b5 ，则 c13，从而可得 abc3513195综上知 abc 的最大值为20139实数 a， b， c， d 满足：一元二次方程 x2cxd0 的两根为 a，b，一元二次方程 x2axb0 的两根为 c，

8、d，则所有满足条件的数组( a，b，c d )为【答案】 (1， 2，1，2) ， (t，0， t，0) （ t 为任意实数）abc，【解答】 由韦达定理得abd，cda，cdb由上式，可知 bacd 若 bd0，则 ad1， cb1，进而bda c2 bd若 bd0，则 ca ，有 (a，b，c d )(t，0， t，0) （ t 为任意实数）经检验，数组 (1， 2，1，2) 与 (t，0， t，0) （ t 为任意实数）满足条件10小明某天在文具店做志愿者卖笔，铅笔每支售4 元，圆珠笔每支售 7 元 开始时他有铅笔和圆珠笔共350 支，当天虽然笔没有全部卖完， 但是他的销售收入恰好是20

9、13 元则他至少卖出了支圆珠笔【答案】 207【解答】 设 x， y 分别表示已经卖出的铅笔和圆珠笔的支数，则4x7 y2013，xy350，所以 x2013 7 y(503y142 y)，4于是 y1 是整数又20134( x y)3y4 350 3 y ，4所以 y204 ，故 y 的最小值为 207，此时 x141 12设 ABC 的外心，垂心分别为O，H ，若 B， C， H， O共圆，对于所有的 ABC ，求 BAC 所有可能的度数【解答】 分三种情况讨论（ i）若 ABC 为锐角三角形因为BHC180A，BOC2A，所以由BHCBOC ，可得180A2A，于是A60 5 分（第 1

10、2 题答题（ ii ）（第 12 题答题（ i ）（ ii ）若 ABC 为钝角三角形当 A90 时，因为BHC180A， BOC2 180A ，所以由BHCBOC180，可得 3 180A180，于是A120 。10分当 A90 时，不妨假设 B90 ，因为BHCA， BOC2A，所以由BHCBOC180，可得 3A180 ，于是A6015分（ iii ）若 ABC 为直角三角形当 A 90 时，因为 O 为边 BC 的中点， B，C，H， O 不可能共圆，所以 A 不可能等于 90 ；当A 90时，不妨假设B90，此时点 B 与 H 重合，于是总有 B，C，H，O 共圆，因此A 可以是满足

11、 0A90的所有角综上可得，A 所有可能取到的度数为所有锐角及 120 20分13 设 a ， b ， c 是 素 数 ， 记 x bc a y c ab z ab c ， 当z2y, xy2 时， a ， b ， c 能否构成三角形的三边长？证明你的结论【解答】 不能依题意，得 a1 ( yz)，b1 ( x z)， c1 (xy) 222因为 yz2 ，所以 a1 ( yz)1 ( z2z)z( z1)222又由于 z 为整数， a 为素数，所以z 2 或3， a310分当z2时，22y z 4 x ( y 2) 16进而，b 9，c 10，与b， c 是素，数矛盾；15 分当 z3 时，

12、 abc0 ，所以 a ， b ， c 不能构成三角形的三边长20 分14如果将正整数M 放在正整数 m 左侧，所得到的新数可被7 整除，那么称M 为 m的“魔术数 ”（例如，把86 放在 415 的左侧，得到的数86415 能被 7 整除，所以称86 为 415的魔术数）求正整数n 的最小值，使得存在互不相同的正整数a1 a2an ，满足对任意一个正整数m，在 a1 a2an 中都至少有一个为 m 的魔术数【解答】 若 n6，取 m1， 2， ，7，根据抽屉原理知，必有a1 a2an 中的一个正整数M是 i j (1 j7)的公共的魔术数， 即7|( 10M， 10M j)则ii ) 7|(有 7|( j i )，但 0 j i 6，矛盾故 n7 10 分又当 a1 a2an为 1，2， ，7 时，对任意一个正整数m