《线段的垂直平分线》中一道题的变式

1、5 / 4线段的垂直平分线中一道题的变式例 1 如图1,在ABC中，已知 AC=27, BC=23, AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E,求 BCE的周长.图1C变式1：如图2,在ABC中，AB的垂直平分线交 AB于点D，交AC于点 E,若/ BEC=70，则/ A= ?解析：由线段垂直平分线定理得出 AE=BE，可得 ABE是等腰三角形，由三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”可得出/ BEC=2 / A，进而得出/ A=35 .点评：此题变式求角的计算方法，应用了两个定理 .按照同样的方法，图2中也能得出相应的结论：/ AEC=2 / B.变式2:如图3,在RtAABC中，

2、AB的垂直平分线交 BC边于点E.若BE=2,/ B =15°求：AC的长.B解析：由线段垂直平分线定理得出AE=BE，应用变式1的结论，可求得/ AEC =30°，再应用 直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半 ”性质，可出求AC=1.点评：此题为图形变式，由一般三角形变为直角三角形，上面我们总结的结论不变，然后再应用直角三角形的有关性质变式练习1求：AC的长.如图4,在Rt ABC中，AB的垂直平分线交BC边于点E.若BE=2，/ B =22.5 °是等腰直角三角形,AE=2，再应用勾股定理得AC= 42例 2:如图 5,在ABC 中，AB=A

3、C, BC=12,/BAC =120° ,AB 的垂直平分 线交BC边于点E, AC的垂直平分线交BC边于点N.求 AEN的周长.求/ EAN的度数.判断 AEN的形状.(3)解析：此题图形为一个顶角是钝角的等腰三角形， 两腰的垂直平分线都与底 边相交，（1）应用线段垂直平分线定理得出 AE=BE , AN=NC，因此 AEN的周长等于BC的长.（2）应用变式1的结论/ AEN=2 / B=60°，/ ENA=2 / C=60所以/ EAN=60 . （3）由（2）知AEN是等边三角形.变式练习2如图6,在ABC中，AB=AC, BC=12,/BAC =130°,

4、AB的垂直平分线交BC边于点E, AC的垂直平分线交BC边于点N.(2)(3)求 AEN的周长.求/ EAN的度数.判断 AEN的形状.C图6提示与答案：（1 ） AEN 的周长不变.（2 ） / AEN=2 / B=50 , / ENA=2 / C=50所以/ EAN=80 (3)由(2)知 AEN是等腰三角形.变式练习3如图7,在ABC中，BC=12,/BAC =100° ,AB的垂直平分线交 BC边于点E, AC的垂直平分线交BC边于点N.（1） 求 AEN的周长.（2） 求/ EAN的度数.C提示与答案：（1） AEN的周长不变.（2）/ AEN=2 / B,/ ENA=2

5、/ C,因为/ B+ / C=80 所以/ AEN+ / ENA=160 所以/ EAN=20 .点评：例2和它的两道变式练习题中发现： 三个图形由特殊到一般，从顶角 是120 °的等腰三角形到顶角是钝角的一般的等腰三角形到一般钝角三角形, AEN的形状也不断的变化，/ EAN的度数也变化，但 AEN的周长不变，因此得出结论：1） AEN的周长=BC长.2） AEN的形状变化规律是由等边三角形到等腰三角形到一般三角形，与 ABC的形状有关.3） / EAN的度数与/ BAC的度数有关.因为/ EAN=180 -2 / B-2 / C=180 -2 ( / B+ / C ) =180° -2(180° - / BAC ) =2/ BAC -180 ° .从等式中也得出/ BAC必须大于90 ° .变式练习4如图8,厶ABC中,/ BAC =70 , BC=12,AB的垂直平分线交BC边于点E, AC的垂直平分线交BC边于点N.求:/EAN的度数.答案：/ EAN=40点评：由上题的方法得出/ AEC+ / BNA =2 / B+2 / C,由平角性质可得/ AEB+ / CNA=360 -( 2/ B+2 / C ),由三角形内角和定理得 / EAN=180 -2 / BAC总评：从上述两道例题及变式题中得出无论是图形变化还是题条件