初一数学上册总复习讲义

1、初一总复习一、有理数1 .代数式：用运算符号+ X +连接数及字母的式子称为代数式(单独一 个数或一个字母也是代数式)2 .几个重要的代数式：(mi n表示整数)(1) a与b的平方差是：a2-b2 ; a 与b差的平方是：(a-b) 2 ;(2)若a、b、c是正整数，则两位整数是：10a+b ,则三位整数是：100a+10b+c(3)若nn n是整数，则被5除商m余n的数是：5m+n ;偶数是：2n ,奇 数是：2n+1;三个连续整数是：n-1、n、n+1 ;、有理数1 .有理数：(1)凡能写成q(p,q为整数且p 0)形式的数，都是有理数.正整数、0、负整数统称整数； P正分数、负分数统称

2、分数；整数和分数统称有理数.注意：0即不是正数，也不是负数；-a不一定是负数，+a也不一定是正数； 不是有理数;正有理数(2)有理数的分类:有理数零正整数正分数正整数 整数零负整数负有理数负整数负分数分数，黑负分数11 / 31(3)注意：有理数中，1、0、-1是三个特殊的数，它们有自己的特性；这三个数把数轴上的数分成四个区域，这四个区域的数也有自己的特性；(4)自然数 0和正整数；a>0 a是正数；a<0 a是负数；a>0a是正数或0a是非负数；a< 0 a是负数或0 a是非正数.2 .数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线.3 .相反数：(1)只有符号不

3、同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0； 注意：a-b+c的相反数是-a+b-c ; a-b的相反数是b-a; a+b的相反数是-a-b ;(3)相反数的和为0a+b=0 a、b互为相反数.4 .绝对值：(1)正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0,负数的绝对值是它的相反数；注意:(2)绝对值可表示为:a(a0)、0(a0)或|2a(a0)绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离;二(a 0)；绝对值的问题经常分类讨a (a 0)论;aa1 a 0 ;-1aa(4) |a|是重要的非负数，即|a| >0;注意：|a|Tb|=|a , b|,5 .有理数比大小：(

4、1)正数的绝对值越大，这个数越大；(2)正数永远比0大,负数永远比。小；(3)正数大于一切负数；(4)两个负数比大小，绝对值大的反而小；(5)数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；(6)大数-小 数0 ,小数-大数V 0.6 .互为倒数：乘积为1的两个数互为倒数；注意：0没有倒数；若a+0,那么a的倒数是1 ;倒数是本身的数是土 1;若ab=1 a、b互为倒数；若ab=-1 a、 ab互为负倒数.7 .有理数加法法则：(1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；(2)异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；(3) 一个数与0相加，仍得这个数.8 .有理数加法

5、的运算律：(1)加法的交换律：a+b=b+a ; (2)加法的结合律：(a+b) +c=a+ (b+c).9 .有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+(-b).10有理数乘法法则：(1)两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘；(2)任何数同零相乘都得零；(3)几个数相乘，有一个因式为零，积为零；各个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定.11有理数乘法的运算律:(1)交换律：ab=ba; (2)结合律：(ab) c=a (bc); (3)分配律：a (b+c) =ab+ac.12 .有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数；注意：零不能做除数，即a无意

6、义013 .有理数乘方的法则：(1)正数的任何次事都是正数；(2)负数的奇次哥是负数；负数的偶次哥是正数；注意：当 n为正奇数时：(-a) n=-an 或(a -b) n=-(b-a) n ,当 n 为正偶数时：(-a) n =an 或 (a-b) n=(b-a) n .14 .乘方的定义：(1)求相同因式积的运算，叫做乘方；(2)乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫 做事；(3) a2是重要的非负数，即a2>0;若a2+|b|=0a=0,b=0 ;15 .科学记数法：把一个大于10的数记成ax 10n的形式，其中a是整数数位只 有一位的数，这种记数法叫科学记

7、数法.16 .近似数的精确位：一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的精确 到那一位.17 .有效数字：从左边第一个不为零的数字起，到精确的位数止，所有数字，都 叫这个近似数的有效数字.18 .混合运算法则：先乘方，后乘除，最后加减；注意：怎样算简单，怎样算准 确，是数学计算的最重要的原则.19 .特殊值法：用符合题目要求的数代入，并验证题设成立而进行猜想的方法，但 不能用于证明.【典型例题解析1】：1、若abf0,则以 凹 网的值等于多少？ a b ab2 .如果m是大于1的有理数，那么m一定小于它的()A.相反数 B.倒数 C.绝对值 D.平方3、已知两数a、b互为相反数，c、d互为

8、倒数，X的绝对值是 2 ,求 | | »Q 0 b220062007 ,x (a b cd)x (a b) ( cd)的值。4、如果在数轴上表示a、b两上实数点的位置，如下图所示，那么|a b| |a b|化 简的结果等于(A. 2a B. 2a C.0 D. 2b5、已知(a 3)2 |b 2| 0,求ab的值是()A.2 B.3C.9 D.66、 有3个有理数a,b,c ,两两不等，那么垄,J,一中有几个负数？ b c c a a b7、 设三个互不相等的有理数，既可表示为1, a b,a的形式式，又可表示为0, b, b 的形式，求 a2006 b2007 a8、三个有理数a,

9、b,c的积为负数，和为正数，且X 3上工幽蚂幽则 | a | | b | | c | ab bc acax3 bx2 cx 1的值是多少？9、9、若 a,b,c 为整数，且 |a b |2007 |c a |2007 1 ,试求 | c a| |a b| |b c| 的值。【典型例题解析21：1、(1)若 2 a 0 ,化简 |a 2| |a 2|(2)若xp0,化简 |x| 2x|x 3| |x|2、设 ap0, J=L x 且，试化简 |x 1| | x 2| |a|3、a、b是有理数，下列各式对吗？若不对，应附加什么条件?(1) | a b| |a| |b|; |ab| |a|b|;(3

10、) | a b| |b a|;(4)若|a| b则 a b(5)若 |a|p|b|,则 apb(6)若 afb,则 |a|f|b|3、若|x 5| |x 2| 7,求x的取值范围。4、不相等的有理数a,b,c在数轴上的对应点分别为A、B、C,如果 |a b| |b c| |a c|,那么B点在A、C的什么位置？5、设 apbpcpd ,求 |x a | | x b| | x c| | x d | 的最小值。6、abcde 是一i 个五位数，apbpcpdpe,求 |a b| |b c| |c d | | d e| 的最大值。7、tai,a2,a3,L , a2006者B是不F理!娄C, 令 M

11、 (ai a2 a3 L a2005)9. (a2 a3a4La2006), N(a1a2a3L a2006)(a?a3a4L22005),试比5M*N 的大小。2200610如果(a 1)2 |b 2| 0,求代数式(b a) (a b005的值。2ab (a b)11若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2,求a2 b2(1 2m m2) cd的值。【备用练习题31:1、已知ab 1,比较M N的大小。2、已知x2 x 1 0,求x3 2x 1的值3、已知上上，K ,求K的值y z x z x y4、a 355,b444,c 533 ,比较 a,b, c 的大小5、已知 2a2

12、3a 5 0 ,求 4a4 12a3 9a2 10 的值。综合练习（一）1、若3 5,求上工丝包的值 x y2x 2y 3x 3y2、已知|xy 9|与（2x y3）2互为相反数，求yX。3、已知|x 2| x 2 0,求x的范围。4、判断代数式区区的正负x5、若回Cd!i,求回回回回的值。abcda b c d6、右|ab 2| (b 1)20，求 abL (a 2007；b 2007)7、已知 2Pxp 3 ,化简 |x 2| |x 3|8、已知a,b互为相反数，c,d互为倒数，m的绝对值等于2, P是数轴上的表示原点的数，求P1000 cd4m2的值。abcd9、问口中应填入什么数时，才

13、能使|2006 W 2006 | 200610、a,b,c在数轴上的位置如图所示,|a b| |b 1| |a c| |1 c| 12b 3|b|成立的x的取值范围11、若 af0,bp0,求使 |x a | |x b| |a12、计算,(2 1)(22 1)(24 1)(28 1)(216 1)、 什.232 113、已知a2004 2004 2004,b2003 2003 20032005 2005 2005,c2004 2004 20042006 2006 2006,小 abco2005 2005 20059-914、已知P络,q/，求P、q的大小关系9915、有理数a,b,c均不为 x

14、19 99x 2008 的值。0,Ha b c 0。设* |且 J-b-L b c c a号，求代数式11 / 31整式的加减同类项 合并同类项31 / 311 .单项式：在代数式中，若只含有乘法（包括乘方）运算。或虽含有除法运算， 但除式中不含字母的一类代数式叫单项式.2 .单项式的系数与次数：单项式中不为零的数字因数，叫单项式的数字系数， 简称单项式的系数；系数不为零时，单项式中所有字母指数的和，叫单项式的 次数.3 .多项式：几个单项式的和叫多项式.4 .多项式的项数与次数：多项式中所含单项式的个数就是多项式的项数，每个 单项式叫多项式的项；多项式里，次数最高项的次数叫多项式的次数；注意

15、：（若a、b、c、p、q是常数）ax2+bx+c和x2+px+q是常见的两个二次三项式.5 .整式：凡不含有除法运算，或虽含有除法运算但除式中不含字母的代数式叫整式.击63单项式整式分类为：整式多项式.6 .同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的单项式是同类项.7 .合并同类项法则：系数相加，字母与字母的指数不变.8 .去（添）括号法则：去（添）括号时，若括号前边是“ +”号，括号里的各项 都不变号；若括号前边是“-”号，括号里的各项都要变号.9 .整式的加减：整式的加减，实际上是在去括号的基础上，把多项式的同类项 合并.10 .多项式的升哥和降哥排列：把一个多项式的各项按某个字母的

16、指数从小到大（或从大到小）排列起来，叫做按这个字母的升哥排列（或降哥排列）.注意：多 项式计算的最后结果一般应该进行升累（或降哥）排列.典型例题11 化简求值：5abc 2a2b 3abc 2（4ab2 a2b）其中 a,b,c满足 a 1 |b 2 c2 02代数式(2x2 ax 3y 1) (2x 2y 1 bx2)的值与字母x的取值无关，求2a 5b的值3 已知 a3 b327,a2bab26,求代数式(b3a3)(a2b3ab2)2(b3a2b)的值4当x 1时，代数式2ax3 3bx 8的值为18,求代数式9b 6a 2的值5已知x 2, y 4时，代数式ax3 1by 5 1997

17、 ,求当x 4, y -时，代数式 223ax 24by3 4986 的值6 已知 a2 a 1 0,求 a3 2a2 2007 的值.7已知四5 ,求代数式型3纶3的值 a ba b 2ab8当50 (2a 3b)2达到最大值时，求1 4a2 9b2的值典型例题2例1若代数式(2/+办-y + 6)-(2坛一3工+"-1)的值与字母x的取值无关，求代数式一 十 4的值/工心】已知甲是自臧，十皿+K-由次三越求1例3J已知两个多项式上和3,人加阳+产-/+”3,8二犷43 + /+苏-2"L试判断是否存在整效用，使4是五权六项式？裂【例”已知用乂Z为自髅，且X <7，

18、当工+ >二1999,”1二2000时，求i+j+z的所有值中最大的一个是多强1例5】设十一一 二 1，K 一明汇+ 1则61：3 的值是 x -m x +1例6如果代数式口Y' +匕/ + s-5当工=-2时的值为了/那么当久=2时该式的值是* 【例7】（第15届“迎春杯”）如果不论沈取什么敬，代放式已三的值3h十55 . 12个定值，求代数式"fa -b【例8】当50-3 +光达到最大值时,求1 + 4?-9/的值电1例9若/瓦E互异,且上=二=二L,求方+y+Z的值。e一8 右一匕 c-aJ101已知w?+二一1=0.求麻电2城十加05的值。三、 一元一次方程1

19、等式的性质：等式性质1：等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式；等式性质2：等式两边都乘以（或除以）同一个不为零的数，所得结果仍是等式 .2方程：含未知数的等式，叫方程.3方程的解：使等式左右两边相等的未知数的值叫方程的解；注意： “方程的解就能代入” ！4 一元一次方程：只含有一个未知数，且未知数的次数是1， 并且含未知数项的系数不是零的整式方程是一元一次方程.7. 一元一次方程的标准形式：ax+b=0 （x是未知数，a、b是已知数，Haw。）.8. 一元一次方程的最简形式：ax=b （x是未知数，a、b是已知数，且aw 0）.9一元一次方程一般步骤：整理方程。去分母

20、 去括号 移项 合并同类项 系数化为1（检 .10 列方程解应用题的常用公式：（1）周长、面积、体积问题：C圆=2兀R, S圆二兀口，C长方形=2（a+b）, S长方形=ab, C正方形=4a,S正方形=a2, S环形=兀(R2-r 2),V长方体=abc , V正方体=a3, V圆柱 =TtR2h , V圆锥=-兀R2h.3(2)柱体的体积等于底面积乘以高，当体积不变时，底面越大，高度就越低. 所以等积变化的相等关系一般为：变形前的体积=变形后的体积.(3)打折销售这类题型的等量关系是：利润=售价-成本.(4)行程问题中关建的等量关系：路程=速度X时间，以及由此导生的其化 关系.(5)在一些

21、复杂问题中，可以借助表格分析复杂问题中的数量关系，找由若 干个较直接的等量关系，借此列由方程，列表可帮助我们分析各量之间的相互关 系.(6)在行程问题中，可将题目中的数字语言用“线段图”表达由来，分析问 题中的数量关系，从而找由等量关系，列由方程.(7)关于储蓄中的一些概念：本金：顾客存入银行的钱；利息：银行给顾客的酬金；本息：本金与利息的 和；期数：存入的时间；利率：每个期数内利息与本金的比；利息=本金X利率x期数；本息=本金+利息.典型例题解析1:1、解下列方程：(1)1(2) - - - 1 2 x 2 ；362 3 40.3x 0.21.5 5x0.20.5(3) 0.7 2、能否从(

22、a 2)x b 3；得到x客，为什么？反之，能否从x.得到(a 2)x b 3,为什么？3、若关于x的方程-2 T，无论K为何值时，它的解总是x 1，求m、 n的值。4、(3x 1)a§xaxL a1x a0。求a§a4为 a? a1a0的值。5、已知x 1是方程2mx 3x 1的解，求代数式(m2 7m 9产的值6、关于x的方程(2k 1)x 6的解是正整数，求整数K的值。7、若方程2xf4 6x与方程2mx 丁 2年同解，求m的值。8、关于x的一元一次方程(m2 1)x2 (m 1)x 8 0求代数式200(m x)(x 2m) m的值。9、解方程上上上Lx 20061

23、 2 2 3 3 42006 200710、已知方程2(x 1) 3(x 1)的解为a 2,求方程22(x 3) 3(x a) 3a的解。11、当a满足什么条件时，关于x的方程|x 2| |x 5| a,有一解；有无数解;无解。典型例题解析21、要配制浓度为20%的硫酸溶液100千克，今有98%的浓硫酸和10%的硫酸, 问这两种硫酸分别应各取多少千克？2、一项工程由师傅来做需8天完成，由徒弟做需16天完成，现由师徒同时做了 4天，后因师傅有事离开，余下的全由徒弟来做，问徒弟做这项工程共花了几天？3、某市场鸡蛋买卖按个数计价，一商贩以每个 0.24元购进一批鸡蛋，但在贩运 途中不慎碰坏了 12个

24、，剩下的蛋以每个0.28元售生，结果仍获利11.2元，问该 商贩当初买进多少个鸡蛋？4、某商店将彩电按原价提高40%,然后在广告上写“大酬宾，八折优惠”，结果 每台彩电仍可获利270元，那么每台彩电原价是多少？5、一个三位数，十位上的数比个位上的数大 4,个位上的数比百位上的数小2, 若将此三位数的个位与百位对调，所得的新数与原数之比为 7:4,求原来的三位 数？6、初一年级三个班，完成甲、乙两项任务，（一）班有45人，（二）班有50人, （三）班有43人，现因任务的需要，需将（三）班人数分配至（一）、（二）两个班，且使得分配后（二）班的总人数是（一）班的总人数的 2倍少36人，问: 应将（三

25、）班各分配多少名学生到（一）、（二）两班？7、一个容器内盛满酒精溶液，第一次倒由它的1后，用水加满，第二次倒由它的31后用水加满，这时容器中的酒精浓度为25%,求原来酒精溶液的浓度。28、某中学组织初一同学春游，如果租用 45座的客车，则有15个人没有座位； 如果租用同数量的60座的客车，则除多由一辆外，其余车恰好坐满，已知租用 45座的客车日租金为每辆车250元，60座的客车日租金为每辆300元，问租用 哪种客车更合算？租几辆车？9、 1994年底，张先生的年龄是其祖母的一半，他们生生的年之和是 3838,问 到2006年底张先生多大？10、有一满池水，池底有泉总能均匀地向外涌流，已知用 2

26、4部A型抽水机，6 天可抽干池水，若用21部A型抽水机13天也可抽干池水，设每部抽水机单位时间的抽水量相同，要使这一池水永抽不干，则至多只能用多少部A 型抽水机抽水？11、狗跑 5 步的时间，马能跑6 步，马跑4 步的距离，狗要跑7 步，现在狗已跑55 米，马开始追它，问狗再跑多远马可以追到它？12、 一名落水小孩抱着木头在河中漂流，在 A 处遇到逆水而上的快艇和轮船，因雾大而未被发现，1 小时快艇和轮船获悉此事，随即掉头追救，求快艇和轮船从获悉到追及小孩各需多少时间？四、图形初步认识总复习（一）多姿多彩的图形立体图形：棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球、台体等1、几何图形平面图形：三角形、四边形、圆

27、等.主（正）视图 从正面看2、几何体的三视图侧（左、右）视图 从左（右）边看俯视图 从上面看（ 1）会判断简单物体（直棱柱、圆柱、圆锥、球）的三视图.（ 2）能根据三视图描述基本几何体或实物原型.3、立体图形的平面展开图（ 1）同一个立体图形按不同的方式展开，得到的平现图形不一样的.（ 2）了解直棱柱、圆柱、圆锥的平面展开图，能根据展开图判断和制作立体模型.4、点、线、面、体（ 1）几何图形的组成点：线和线相交的地方是点，它是几何图形最基本的图形.线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲线.面：包围着体的是面，分为平面和曲面体：几何体也简称体.(2)点动成线，线动成面，面动成体.(二)直线、射线

28、、线段1、基本概念图形直线射线线段端点个数无一个两个表不法一直线a直线AB (BA射线AB线段a线段AB (BA作法叙述叫mAB作直线a作射线AB作线段a;作线管AB;连接AB延长叙述不能延长反向延长射线AB延长线段AB 反向延长线段BA2、直线的性质经过两点有一条直线，并且只有一条直线简单地：两点确定一条直线.3、画一条线段等于已知线段(1)度量法(2)用尺规作图法4、线段的大小比较方法(1)度量法(2)叠合法5、线段的中点(二等分点)、三等分点、四等分点等 定义：把一条线段平均分成两条相等线段的点.图形：A M B符号：若点 M是线段AB的中点，贝U AM=BM=ABAB=2AM=2BM.

29、6、线段的性质两点的所有连线中，线段最短.简单地：两点之间，线段最短.7、两点的距离连接两点的线段长度叫做两点的距离.8、点与直线的位置关系(1)点在直线上(2)点在直线外.(三)角1、角：由公共端点的两条射线所组成的图形叫做角2、角的表示法(四种)：3、角的度量单位及换算4、角的分类锐角直角钝角平角周角0v/ B90 </ B<90二90<180二180二3605、角的比较方法(1)度量法(2)叠合法6、角的和、差、倍、分及其近似值7、画一个角等于已知角(1)借助三角尺能画由15的倍数的角，在0180°之间共能画由11个角.(2)借助量角器能画由给定度数的角.(3)用尺规作图法.8、角的平线线定义：从一个角的顶点由发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做角的平 分线.图形：符号：9、互余、互补(1)若/ 1+/ 2=90° ,则/ 1与/2互为余角.其中/1是/2的余角，/ 2是 / 1的余角.(2)若/ 1+/2=180° ,则/ 1与/