匀变速直线运动的推论应用.

1、专题三匀变速直线运动的推论应用1平均速度做匀变速直线运动的物体在一段时间t 内的平均速度等于这段时间的中间时刻的瞬时速度，还等于这段时间初末速度矢量和的一半。推导：设物体的初速度为v0，做匀变速运动的加速度为a， t 秒末的速度为 v。由 x v0t 1at2 得2平均速度v xv01att2由速度公式 v v at，当 t t 时02vt v0 a t22由得v vt2又 v vt at22v0 v由解得vt 22所以 v vtv0 v2。22某段位移的中间位置的速度v2v02vx22推导：设物体的初速度为 v0，做匀变速运动的加速度为 a，末的速度为 v，中间位移的速度为 vx2针对前半段

2、位移，由2222xv v0=2 ax 得： vxv02a22针对后半段位移，由2222xv v0=2 ax 得： vvx2a22由解得： vxv2v0222所以 vxv2v02223逐差相等在任意两个连续相等的时间间隔T 内，位移之差是一个常量，即x x x aT 212推导：时间T 内的位移 x1 v0T 2aT在时间 2T 内的位移 x2 v02T1a(2T)22则 x x1， x x2 x1由得x x x aT2此推论常有两方面的应用： 一是用以判断物体是否做匀变速直线运动， 二是用以求加速度4初速度为零的匀加速直线运动的几个比例（ 1）1T 末、 2T 末、 3T 末、 nT 末瞬时速

3、度之比为v1v2 v3 vn 12 3 n（ 2）1T 内、 2T 内、 3T 内、 nT 内的位移之比 x1 x2x3 xn 122 32 n2（ 3）第一个 T 内、第二个 T 内、第三个 T 内，第 n 个 T 内位移之比 xx x xn 1 3 5 (2n1)（ 4）通过前 x、前 2x、前 3x时的速度比v1 v2v3 vn 123n（ 5）通过前x、前 2x、前 3x的位移所用时间的比t1 t2 t3 tn 123n（ 6）通过连续相等的位移所用的时间之比t tt tn 1 (2 1) (32)(nn 1)。说明：（ 1）以上比例成立的前提是物体做初速度为零的匀加速直线运动。（ 2

4、）对于末速度为零的匀减速直线运动，可把它看成逆向的初速度为零的匀加速直线运动，应用比例关系，可使问题简化。类型一、多个物体问题【例题】 一小球自斜面上的 O 点由静止开始做匀加速直线运动，如图所示是用频闪照相的方法对正在斜面上滚动的小球拍摄的频闪照片，已知照相的闪光频率为10 Hz ，测得 AB=20 cm ， BC=25 cm ，CD=30 cm 。求：（ 1）小球运动的加速度。（2） OA 两点的距离。解析（ 1）1x2x=xBC-xAB =xCD -xBC =5cm， T=0.1s，a= 2=5m/s。fT（2）小球到达 B 点时速度： vB = xAC0.45m/s=2.25m/s 。

5、2T0.2小球从 O 到 B 运动的时间： t B= vB =0.45s ，a12xOB =a tB =50.625cm， xOA=xOB-xAB=30.625cm 。答案（ 1）5m/s2(2)30.625cm变式训练1屋檐定时滴出水滴，当第5 滴正欲滴下时，第正分别位于高1m 的窗户上、下沿，如图所示，取1 滴已刚好到达地面，而第 g=10m/s 2，问：3 滴与第2 滴（ 1）此屋檐离地面多少米 ?（ 2）滴水的时间间隔是多少 ?解析（ 1）设每滴水离屋檐的位移分别为x1、x2、x3、 ，滴水的时间间隔相等，根据初速度为零的匀加速直线运动的时间等分关系，可得x1 x2 x3 x4=16

6、94 1又 x2-x3=1m所以屋檐离地面的距离x3 =3.2m。（ 2）第 1 滴水刚好落到地面所需时间t=2x1 =0.8s。g所以滴水的时间间隔 t0=t/4=0.2s。答案（ 1）3.2m(2)0.2s2如图所示，有若干相同的小钢球从斜面的某一位置每隔0.1s 释放一颗，在连续释放若干颗钢球后，对斜面上正在滚动的若干小球摄下照片如图，测得AB=15cm ，BC=20cm ，试求：（ 1）拍照时 B 球的速度。（ 2）小球的加速度是多少 ?（ 3）A 球上面还有几颗正在滚动的小球?（ 4）能否求 A 点的速度 ?解析（ 1）照片中 B 点是 AC 段的时间中点，根据结论，时间中点的即时速

7、度等于该段的平均速度可知ABBC0.150.20。vB =2T0.12m/s=1.75m/s（ 2）因每两个球间时间差相等，可求出此时B 球经历的时间即可，根据x=aT2，得BCAB0.200.1522a=20.12m/s =5m/sT（ 3）B 球已运动时间tB= vB =0.35sa在 A 球上面正在滚动的球的个数n= t B -1=2( 颗 )T（ 4）由速度公式 vB=vA +aT得 vA=1.25m s。答案（ 1）1.75m/s（ 2） 5m/s2（3）2（ 4） 1.25m/s。类型二、打点计时器的逐差法【例题】 如图所示，某同学在做“研究匀变速直线运动”实验中， 由打点计时器得

8、到表示小车运动过程的一条清晰纸带，纸带上两相邻计数点的时间间隔为T0.10 s，其中 x1 7.05 cm ，x2 7.68 cm， x3 8.33 cm ，x4 8.95 cm ， x5 9.61 cm、 x6 10.26 cm，则打 A 点时小车的瞬时速度的大小是_m/s ，小车运动的加速度计算表达式为_ ，加速度的大小是_m/s2（计算结果保留两位有效数字）。点拨本题考查对测匀变速直线运动加速度原理的理解及某段时间内的平均速度与中点时刻瞬时速度的相等关系。解析 根据匀变速直线运动规律有，A 点的瞬时速度为x3 x4(8.338.95)10 2m/s 0.86 m/sv=20.12T加速度

9、 a1= x4 x1， a2= x5x2 ， a3= x6x33T 23T 23T 2取平均值得 a= a1a2a33所以 a= (x4x5x6 ) (x1x2x3 ) 代入数值得 a=0.64 m/s 2.9T 2答案 0.86a= (x4x5x6 )(x1x2 x3 )0.649T 2点评： 本题中注意给出的条件，如果给出四段及以上位移，就用逐差法求解a。取偶数段，中分相减，除以角标相减的周期的平方。如果给出三段及以下位移，任取两段，就用x=aT 2 来算。变式训练如图所示， 小车放在斜面上，车前端拴有不可伸长的细线，跨过固定在斜面边缘的小滑轮与重物相连， 小车后面与打点计时器的纸带相连。

10、起初小车停在靠近打点计时器的位置，重物到地面的距离小于小车到滑轮的距离。启动打点计时器，释放重物，小车在重物牵引下，由静止开始沿斜面向上运动， 重物落地后， 小车会继续向上运动一段距离。 打点计时器使用的交流电频率为 50 Hz。下图中 a、b、c 是小车运动纸带上的三段，纸带运动方向如箭头所示。（ 1）根据所提供纸带上的数据，计算打 c 段纸带时小车的加速度大小为_m/s2。（结果保留两位有效数字）（ 2）打 a 段纸带时，小车的加速度是2.5 m/s2。请根据加速度的情况，判断小车运动的最大速度可能出现在 b 段纸带中的 _。解析（1）由 T10.02 s，再由xnaT 2 得f(2.08

11、1.48)2102a13T 2m/s2a2(1.091.32) 10m/s2，3T 22a3(1.731.12) 10m/s2，3T 2则加速度 a1(a1 a2a3 )5.0m/s2。3（ 2）由 b 段数据可知：x34x23x23x120.10 cm，而 x45 x34 0.00 cm 0.10 cm 。即速度拐点出现在 D 4D 5 间，也就是最大速度出现在D 4D5 之间。答案（ 1）5.0 m/s2（2） D4D5 区间内类型三 、相等时间的位移之比【例题】质点从静止开始做匀加速直线运动，从开始运动起，通过连续三段位移所用的时间分别为1 s、 2 s、 3 s，这三段位移之比应是()

12、A123B135C 12 22 32D 1323 ：33解析根据 v0 0 的匀加速运动的一个推论：从开始起第1个 T内，第 2个 T内，第 3个 T 内 的位移之比为 xxx 135 ，所以，所求位移之比为1(3 5) (7 9 11) 13 23： 33 ，D 对。答案D变式训练1汽车刹车后做匀减速直线运动，经3 s 后停止运动，那么，在这连续的3 个 1 s 内汽车通过的位移之比为 ()A135B531C12 3D321解析 末速度为零的匀减速直线运动可以看做反向的初速度为零的匀加速直线运动处理，初速度为零的匀加速直线运动第1 秒内、第 2 秒内、第 3 秒内 的位移之比为135 答案B

13、2做匀减速运动的物体经 4 s 后停止，若在第 1 s 内的位移是 14 m ，则最后 1 s 内的位移是多少 ?解析 将时间反演， 则上述的运动可以看成初速度为零的匀加速运动，连续相等时间内位移之比为1 3 57，故物体这4 s 内位移之比为14 10 6 2，所以最后1 s 内位移为 2 m。答案 2 m类型四、相等位移的时间之比【例题】如右图所示， 在水平面上固定着三个完全相同的木块，一粒子弹以水平速度 v 射入。若子弹在木块中做匀减速直线运动，当穿透第三个木块时速度恰好为零，则子弹依次穿入每个木块时的速度之比和穿过每个木块所用时间之比分别为()A v1 v2 v3 3 21Bv1 v2

14、 v3 3 2 1Ct 1 t2 t 3 1 2 3D t1 t2 t3 ( 3 2) ( 2 1) 1解析 子弹运动的逆过程可看成初速度为零、末速度为 v 的匀加速直线运动， 子弹通过连续相等位移的时间之比为1 ( 2 1) ( 3 2) 则子弹实际运动通过连续相等位移的时间之比为 t1 t2 t3 (3 2) (2 1) 1，故 D 正确12知，子弹运动的逆过程由右向左穿过第1块、前 2 块、前 3 块的时间之比由 x at2t1 t2 t3 12 3，再根据 v at 知，子弹由右向左依次“穿出”3 个木块的速度之比为1 23.则子弹实际运动依次穿入每个木块时的速度之比v1 v2 v3

15、3 2 1，故B 正确答案 BD点评： 解决匀减速运动一般都用逆向分析法，具体步骤如下：变式训练1一物体以一定的初速度从一光滑斜面底端 A 点上滑， 最高可滑到 C 点，B 是 AC 的中点，如右图所示， 已知物块从 A 至 B 需时间为 t 0，问它从 B 经 C 再回到 B，需要的时间是多少？解析 据初速度为零的匀加速直线运动通过连续相等位移所用时间之比为tCB t0 =1(2 -1) tCB =1t0 =( 2 +1)t0(2 1)所需时间为 t=2t CB =2( 2 +1) t0答案 2（2 +1 ） t02站台上有一观察者，在火车开动时站在第1 节车厢前端附近，第1 节车厢在5 s

16、 内驶过此人，设火车做匀加速直线运动，求第10 节车厢驶过此人需要多少时间？解析：以列车为参考系，则观察者相对列车做初速度为零的匀加速运动，由初速度为零的匀加速运动的规律得：t1 t2 t3=1 (2 -1) (3 -2 )所以 t10=5×(10 -3)s=（ 510 -15） s答案（ 510 -15） s1骑自行车的人沿着直线从静止开始运动，运动后，在第1s、第 2s、第过的路程分别为1m、 2m、 3m、 4m。有关其运动的描述正确的是（A 4s 内的平均速度是2.5m/sB 在第 3s4s 内的平均速度是3.5m/sC第 3s 末的即时速度一定是3m/sD 该运动一定是匀加

17、速直线运动3s、第）4s 内，通2甲、乙两球先后由静止出发，从很长的斜面顶端滚下来，加速度相同，乙迟运动一段时间，相对乙而言，甲做（）A 向前的匀速直线运动B 静止不动C向后的匀速直线运动D向前的匀加速直线运动3汽车以 20m/s 的速度做匀速直线运动，刹车后的加速度为5m/s2，那么开始刹车后2s 与开始刹车后6s 汽车通过的位移之比为（）A 11B31C3 4D434物体从斜面顶端由静止开始滑下，经秒到达中点，则物体从斜面顶端到底端共用时间为（）A sBsC 2t sD2ts25做匀加速直线运动的物体，先后经过则（）A、B 两点时的速度分别为和，经历的时间为，A 前半程速度增加3.5B 前

18、t时间内通过的位移为33/122C后t时间内通过的位移为33/122D后半程速度增加3。6一观察者站在第一节车厢前端，当列车从静止开始做匀加速运动时A 每节车厢末端经过观察者的速度之比是1 B每节车厢经过观察者所经历的时间之比是1 C在相等时间里经过观察者的车厢数之比是1 35 D在相等时间里经过观察者的车厢数之比是1 2 3 7一小球沿斜面由静止开始匀加速滚下(斜面足够长 )，已知小球在第4 s 末的速度为4 m/s.求：（ 1）第 6 s 末的速度；（ 2）前 6 s 内的位移；（ 3）第 6 s 内的位移。8一滑块自静止开始，从斜面顶端匀加速下滑，第5 s 末的速度是6 m/s，试求（

19、1）第 4 s 末的速度；（ 2）运动后 7 s 内的位移；（ 3）第 3 s 内的位移。9某同学在做 “研究匀变速直线运动 ”实验时，从打下的若干纸带中选出了如图所示的一条（每两点间还有 4 个点没有画出来），图中上部的数字为相邻两个计数点间的距离，打点计时器的电源频率为 50 Hz 。由这些已知数据计算：该匀变速直线运动的加速度 a _m/s2。与纸带上 D 点相对应的瞬时速度 v _m/s。（答案均要求保留 3 位有效数字）10 (09.1 东城期末 )某同学用打点计时器测定重力加速度，使用的电源频率为 50Hz 。打出的纸带如图所示，实验时纸带的 端通过夹子和重物相连接。 （选填 “甲

20、 ”或“乙 ”） 22因。1 一物体沿斜面顶端由静止开始做匀加速直线运动，最初3s 内的位移为 x1 ，最后 3s 内的位移为 x2，已知 x2x1=6 m； x1 x2=37，求斜面的总长。2一列车由等长的车厢连接而成。车厢之间的间隙忽略不计，一人站在站台上与第一节车厢的最前端相齐。当列车由静止开始做匀加速直线运动时开始计时， 测量第一节车厢通过他的时间为 2s，则从第 5 节至第 16 节车厢通过他的时间为多少 ?3 已知 O、 A、 B、 C 为同一直线上的四点、 AB 间的距离为l1， BC 间的距离为 l 2，一物体自 O 点由静止出发，沿此直线做匀加速运动，依次经过A、 B、C 三

21、点，已知物体通过AB 段与 BC 段所用的时间相等。求O与 A的距离。4 如图所示，在一个倾斜的长冰道上方，一群孩子排成队，每隔1 s 有一个小孩往下滑，一游客对着冰道上的孩子拍下一张照片，照片上有甲、乙、丙、丁四个孩子，他根据照片与实物的比例推算出乙与甲和丙孩子间的距离为12.5m和 17.5m。请你据此求解下列问题： (g 取 10ms2)（ 1）求小孩下滑的 a?（ 2）拍照时，最下面的小孩丁的速度是多少?（ 3）拍照时，在小孩甲上面的冰道上下滑的小孩不会超过几个?5 在火车站站台上有一观察者，在列车开动时恰好站在第一节车厢的最前端，列车起动后做匀加速直线运动；经过 4s 第一节车厢通过

22、观察者，整个列车经过他历时 20s，设每节车厢等长，车厢连接处长度不计，求：(1) 这列列车共有多少节车厢；(2) 最后 9 节车厢通过观察者所经历的时间。6一个做匀变速直线运动的物体 ,初速度为 0.5 m/s, 在第 9 s 内的位移比第 5 s 内的位移多 4 m, 求： (1) 物体的加速度；(2) 物体在 9 s 内通过的位移。7 (11 朝阳二模 )某同学用图甲所示的实验装置研究小车在斜面上的匀变速直线运动。实验步骤如下：a安装好实验器材，将打点计时器接到频率为50Hz 的交流电源上。b接通电源后，让拖着纸带的小车沿斜面向下运动，重复几次。选出一条点迹清晰的纸带，舍去开始密集的点迹

23、，从便于测量的点开始，每2个打点间隔取一个计数点，如图乙中0、 1、 28点所示。c用最小刻度是毫米的刻度尺测量各计数点的刻度数值，分别记作x0 、x1 、x2x8 。d分别计算出打点计时器打下计数点1、 2、 37时小车的瞬时速度v1、 v2、 v3v7。v1、 v2、v3、 v4、 v5和 v7对应的坐标点，请你在图中标出e以 v为纵坐标、 t为横坐标，标出v与对应时间 t 的坐标点，画出v t图线。乙甲结合上述实验步骤，请你完成下列任务：1 表 1记录的是该同学测出计数点的刻度数值，其中x5未测定，请你根据图乙将这个测量值填入表 1中。表 1：符 号x0x1x2x3x4x5x6x7x8刻

24、度数值 /cm01.122.754.867.4914.1918.2722.03 表 2记录的是该同学根据各计数点的刻度数值，计算出打点计时器打下各计数点时小车的瞬时速度，请你根据表1中 x5和x7计算出 v6的值，并填入表2中。表 2：符 号v1v2速度数值 /(m ·s-1)0.340.47 该同学在图丙中已标出的坐标点，并画出vt图线。v3v4v5v6v70.590.720.840.98v6对应丙 根据 v t图线可计算出小车的加速度a=_m/s 2。（保留两位有效数字） 为验证上述结果，该同学将打点计时器打下相邻计数点的时间间隔记为T，并做了以下的计算：( x2x1 )( x1

25、a1T2( x6x5 )( x5a3T2求出其平均值a1a2a 'x0 ) ； a2( x4x3 )2 (x3x2 ) ；Tx4 ) ； a4( x8x7 ) (x7x6 ) 。T 2a3a4 。你认为 a和 a哪个更准确，请说明理由。4_8质点以加速度a 从静止出发做匀加速直线运动，在时刻t 加速度变为2a，时刻 2t 加速度变为 3a ，求质点在开始的nt 时间内通过的总位移。本专题参考答案夯实基础巩固部分：1 AB2A3 C4 A5 C6 AC7 (1)6 m/s(2)18 m(3)5.5 m解析：由 v at得 a v1 4 m/s 1 m/s11t1 4 s12所以第 1 s

26、 内的位移 x1 2a×1m 0.5 m(1) 由于第 4 s 末与第 6 s 末的速度之比v1 v2 4 62 3故第 6 s 末的速度 v23v1 6 m/s.2(2) 第 1 s 内与前 6 s 内的位移之比22x x 1 616故前 6 s 内小球的位移x6 36x1 18 m.(3) 第 1 s 内与第 6 s 内的位移之比x x 1 (2 ×61)故第 6 s 内的位移x 11x 5.5 m.8（ 1） 4.8m/s（ 2） 29.4m（ 3） 3 m9 x1、和 x6x1、 x2、 x3、 x4、 x5、 x6B 偶然阻力 交流电频率不稳定等解析 ：打点计时器

27、的电源频率为50Hz ，则它的周期为0.02 s，所以相邻两个计数点间的时间间隔T 0.02 s ×5 0.1 s。做匀变速直线运动的物体，某一时间内的平均速度等于这段时间中间时刻的速度，所以与D 点相对应的瞬时速度为CE 这段内的平均速度，则vxCE/ 2 1.22 m / s 。 令 OA x1 ， AB x2 ， ， EF x6 ， 则Tx4x1, a2x5x2, a3x 6 x 3a123T23T2，3Ta1a2a3( x5x4x6 ) (x1x2 x3 )a39T 2代入数据解之得 a2.07m/s2 ，故匀变速直线运动的加速度a 2.07 m/s2。纸带和打点计时器间的摩擦阻力、空气阻力；10 1 乙；29.4；3提升能力培优部分：1. 12.5 m2 4s(3ll)23 l=128(l 2l 1 )解析 ：设物体的加速度为a，到达 A 点的速度为 v0，通过 AB 段和 BC 点所用的时间为则有l 1=v0t+ 1 at22l 1+l2=2 v0t+2at2联立式得l 2-l 1=at23l 1-l 2=2v0t设 O 与 A 的距离为l，则有l=v022a联立式得l=(3l 1l2 )28(l2l1 )4（ 1） 5m/s2（ 2）25m/s（3） 2解析 ：