平面向量的数量积

1、平面向量的数量积一、考纲要求掌握平面向量的数量积及几何意义、性质和运算律。掌握两个向量垂直的充要条件和向量数量积的简单运用。 注意向量夹角的概念、 两向量夹角的范围及垂直的充要条件的应用。二、基础知识1. ( 1)两向量夹角的定义；(2)向量夹角的范围角a与b 的数量积(或内积)，记作2. ( 1)平面向量的数量积已知两个非零向量 a,b,它们的夹角为8，贝ya_b，即 ab=,并规定零向量与任一向量的数量积为(2) 平面向量的数量积的几何意义(3) 向量的数量积的性质(4) 向量的数量积的运算律(5) 向量的数量积的坐标表示。三、基础练习4 4-1.设a,b,c是任意的非零平面向量，且相互不

2、共线，则：(2) aL = b_ckbH0,贝Ua=c ； (3) (abbf =44 - 4 -(1)若 ib =0，则 a = 0或b=0 ；)；(4) (bjcjj -(cZa 不与c垂直(5) (Ob :蟹活2 ；(6) (/ + 2bM3a-2b)=9彳2 3 2a 4 b中，是真命题的有I442. 已知ab是非零向量且满足 (aT T3. 已知向量 OB =(2,0，OC =(2,44 444-2b )丄 a,(b2a )丄 b，则爲b 的夹角是2 ),CA=(J2cosa,J2sin )，则向量 OA与OB 的夹角的取值范围是4. 边长为J2的L ABC中, AC =C, BC

3、= a, AC = b，贝U aLb + b_c+C_a =5. 若向量 AB = (3,1 ),n =(2,1),且黑说=_6. 若平面向量a,b满足：2a-b兰3,则aLb的最小值是 四、例题分析例 1. (1 )在口ABC中, a =3,b =4,C =45:则 设向量a,b,c满足a = b =1,a_b =1 片彳屮。一一，向量a-c与b-C的夹角为60，则2的最大值等于例2.已知平面上三个向量的模均为1，它们之间的夹角为120（1）求证：（a-b）丄c；(2)求 a+b+c例3.已知是同一个平面内的三个向量,其中:巳1,2)= 2j5,且cLI：,求c的坐标;卄 1J5-+444(

4、2)右 b = J,且a+3b与2a-b垂直, 丨2例4.平面内有向量 OA = (1,7 ),OB=(5,求a与b的夹角日1 ）,0P= （2, 1），点 OP 上的一动点。（1）XAlXB取最小值时，求OX的坐标（2）当点X满足（1）的条件和结论时，求 cosNAXB的值例 5.如图，梯形 ABCD中，ABL|CD,AB=3CD2(1)求证：BC=AB +AD;3若 AB=3, AD=2,dBC=1,求"ACJBD 的值。跟踪练习LI ABC为等边三角形，AB = 2,设 r FrF3P,Q 满足 AP = aAB,AQ =(1-A )AC,a< R,若 BQLc P =,

5、则 a =2(2)在 LABC中，AB =2, AC =3,Ab_BC =1,贝UBC =如abcd中, ab = 72,BC=2,点E为BC的中点，点F在边矩cd 上，若 aBbf值是abcd中，Na =,边AB, ad的长分别为2、若M,N分别是点BC、CD上的点,3满足坐旦,则AM 的取值范围是BC jcD五。课后作业1.已知a =（3,1）b =（1,2）,向量c满足ac = 7,贝c的坐标是_ = 1,|2a -b| =yT0,贝贝b =4 4O |42.已知向量a,b的夹角为45，且a一 -4-44和柑44.,_c + a =44彳彳 5 呻 d4.已知向量 a =(1,2),b=

6、(2,V),c = 75,若(a + bc = ?，则 a与c 的夹角为3.已知 a b =3, C =23且 a +b + C =0,则aLb + b(5.已知正方形ABCD的边长为1，点E是A边上的动点，则CB值为, DElDC的最大值为6在平行四边形 ABCD中，AD =2, N BAD=60 : E为CD的中点。若 冷lBE=1,则AB的长为7.已知 0为原点，点，A勺坐标分别为（）（&）,，0其，中常数a :>0,点P在线段AB上，且APnab,则OAOP的最大值为 8. 在ABC中，M 是BC的中点，AM =3, BC =10,则 ABAC =4 4*|49. 已知向

7、量a,b满足a =1,(a+b Ua2b )=0,则b的最小值为 4410. 已知 a =(cosa,sin a ) b =(cosP,sin P )0 v P cot c兀呻4 厂44(1)若 a -b = J2,求证：a 丄 b ;+lI*(2)设 c=(0,1)若 a+b=C，求 a, p 的值。11.已知 A(3,0 J B(03， C (cosa,sin a ) 0(0,0 )(1)若 AC_BC =1，求 sin2 a 的值(2)若= 73,且八（0），求OB与OC的夹角。T T3 H 412.已知向量 m=(1,1),向量n与m的夹角为兀，且 Hn =-1(1)求向量n。呻4吓H fC 、(2 )若向量n与向量q=(1,0的夹2角为二，向量P = I cos A,2cos2丨，其中nM的取值范围2 1 2丿A,B,C为LI ABC的内角，A,B,C依次成等差数列，求13.已知 LJaBC中，AB=2, BC =710, AC =3（1）求AblAC的值； （2）设点0是LI ABC的外心T T 1 2 T| T 1 T2<1>求证：AOLaB =AB ,AOLaC = AC2 2T T T<2>当A0 = pAB +qAC时，求实数p,q的值。(1)求角A的大小。 (14.在 LAB中，已知（sin