平行四边形三个性质的应用

1、18.1 平行四边形学习目标、重点、难点【学习目标】1、理解平行四边形的定义，能根据定义探究平行四边形的性质2、了解平行四边形在生活中的应用实例，能根据平行四边形的性质解决有关的问题【重点难点】平行四边形性质的探究及应用；平行四边形性质的探究.知识概览图新课导引平行四边形是我们常见的图形，小区的伸缩门、 庭院的竹篱笆、载重汽车的防护栏等，都是平行四边形的形象。平行四边形在生活中比比皆是， 那么它有什么样的性质？又如何判断一个四边形是平行四边形呢？第 1 页教材精华知识点 1 平行四边形的概念有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.表示方法：平行四边形用“”表示，如图 19-1 所示，平行 四

2、 边 形ABCD 记作“ABCD”,其中表示顶点的字母要按顺时针或逆时针的顺序排列.相关概念：对边有AD 和 BC，AB 和 CD；对角有 DAB 和 DCB， ABC 和 ADC；对角线是 AC和 BD.知识点 2 平行四边形的性质（ 1）平行四边形的对边相等 .（ 2）平行四边形的对角相等 .（ 3）平行四边形的对角线互相平分 .知识点 3 平行四边形的面积平行四边形的面积等于平行四边形的底与底边上的高的积。用式子可表示为Sa h ，其中 a为底边长， h 为底边上的高（即相应的两条平行线之间的距离）.如图 19-3 所示， S ABCDBCAECDAF知识点 4 平行四边形的判定（1）

3、两组对边分别相等的四边形是平行四边形.（2） 对角线互相平分的四边形是平行四边形.（3） 两组对角分别相等的四边形是平行四边形.（4） 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.知识点 5三角形的中位线概念第 2 页连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.如图 19-6 所示，若点 D， E，F 分别为 ABC 的边 AB ，BC，CA 的中点，则线段 DE，EF， DF 均是 ABC 的中位线 .知识点 6三角形的中位线定理三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半.如图 19-6 所示，若 D，E，F 分别为 ABC 的边 AB，BC，CA 的中点，则 DE1 AC ，EF

4、1 AB ，22DF1BC.2【方法拓展】（ 1）三角形的中位线定理在同一条件下具有两个结论；一个定性的是平行于第三边，另一个定量的就是等于第三边的一半，此结论用途比较广泛，又因为中位线具有平移角度、倍分转化的功能， 因此当遇到中点或三角形中线时， 应考虑是否作中位线， 这种思想方法就是我们常说的“遇到中点想中位线” .知识点 7两条平行线间的距离两条平行线间最短的线段的长度叫做两条平行线间的距离.课堂检测基本概念题1、 如图 19-10 所示，小明用一根 36m 长的绳子围成了一个平行四边形的场地，一条边 AB 的长为 8m，则其他三边的长度各是多少？第 3 页基础知识应用题2、平行四边形不

5、一定具有的性质是（）A. 对边平行B. 对边相等C. 对角线互相垂直D. 对角线互相平分3、如图 19-11 所示，已知ABCD 的周长是 28cm,AC 与 BD 交于点 O，OAB 的周长比 OBC的周长大 4cm，则 AB cm，BCcm.综合应用题4、已知平行四边形的一边长为14，则下列各组数据中，能分别作为它的两条对角线长的是（）A.10和16B.12和 16C.20和 22D.10和 405、如图 19-16 所示，已知 D，E，F 分别在 ABC 的边 BC，AB ，AC 上，且 DEAF ，DF AF ，将 FD 延长到 G，使 FG2DF，连接 AG ，求证： ED， AG

6、互相平分 .第 4 页探索创新题6、如图 19-20 所示，在四边形 ABCD 中 AD BC，且 AD BC，BC6cm，P，Q 分别从 A ，C 同时出发， P 以 1cm/s 的速度由 A 向 D 运动，Q 以 2cm/s 的速度由 C 向B 运动，几妙后四边形ABQP 是平行四边形？体验中考1、如图 19-22 所示，在四边形 ABCD 中，E 是 BC 边的中点，连接DE并延长，交 AB 的延长线于点 F，AB BF，添加一个条件，使四边形ABCD是平行四边形，你认为下面四个条件中可选择的是（）A. AD BCB. CDBFC. ACD. FCDE2、如图 19-23 所示，在ABC

7、D 中， E，F 分别为边 AB ，CD 的中点，连接 DE，BF，BD.（ 1） 求证 ADE CBF；（ 2） 若 AD BD ，则四边形 BFDE 是什么特殊四边形？请证明你的结论 .第 5 页学后反思附： 课堂检测及体验中考答案课堂检测1、解：因为四边形 ABCD 是平行四边形，所以 AB CD，AD BC.又因为 AB 8m，所以 CD 8m.因为 AB+BC+CD+DA 36m，所以 1(361AD BC8 2)20 10( m).22所以 CD8m, ADBC10 m.2、C3、954 、C5、解：连接 AD ，EG.因为 DEAF，DFAF，所以四边形 AEDF 为平行四边形，

8、所以AEFD.因为 FG2DF，所以 GDDF，所以 AE DG，即 AEDG.所以四边形 AEGD 为平行四边形 .所以 ED，AG 互相平分6、解：设经过 x 秒后， APBQ，第 6 页则 APx,BQ=BC-CQ=6-2 x，所以 x=6-2x，所以 x=2 。所以 2 秒后四边形 ABQP 是平行四边形体验中考1、D2、证明： （1）在平行四边形 ABCD 中， A C，AD CB，AB CD，E，F 分别为 AB ， CD 的中点， AE CF.ADCB要 AED 和 CFB 中，AC ,AECF , AED CFB（SAS） .解：（ 2） ADBD ，则四边形 BFDE 是菱形

9、 .证明如下： ADBD ， ADE 是直角三角形，且AB 是斜边 .1E 是 AB 的中点， DEABBE .2由题意可知 EBDF 且 EBDF，四边形 BFDE是平行四边形 .又 DE=BE,四边形 BFDE是菱形 .18.2 特殊的平行四边形导学案学习目标、重点、难点第 7 页【学习目标】掌握矩形、菱形和正方形的定义、性质、判定及其之间的关系.【重点难点】矩形、菱形和正方形性质的灵活运用及其的判定.知识概览图新课导引工人师傅在做门窗或矩形零件时，不仅要测量两组对边的长度是否分别相等，还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形。测量两组对边的长度分别相等，可以说明这个四边形是平行

10、四边形；如果再测得它们的两条对角线相等，则这个平行四边形是矩形，这其中的道理是什么呢？在平行四边形的前提下，再加一个什么条件才能判定这个图形是矩形呢？教材精华知识点 1 矩形的定义第 8 页有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.知识点 2 矩形的性质（1）矩形具有平行四边形的所有性质.（ 2）矩形的四个角是直角 .（ 3）矩形的对角线相等 .（ 4）矩形是轴对称图形，有两条对称轴 .知识点 3 直角三角形的性质直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.如图所示，在 RtACB 中，ACB90 ，点 D 是 AB的中点，则CD1ABA.DBD2知识点 4矩形的判定（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形

11、.（2）对角线相等的平行四边形是矩形.（3）有三个角是直角的四边形是矩形.拓展：（ 1）若已证一个四边形，则再证一角为直角或对角线相等，即可证得为矩形.（ 2）对角线相等的四边形不一定是矩形（如等腰梯形），对 角 线相等且互相平分的四边形为矩形.知识点 5 菱形的定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.如图所示，在ABCD 中 ，AB BC，则四边形 ABCD 是菱形.知识点 6菱形的性质（1）菱形具有平行四边形的所有性质.（2）菱形的四条边都相等 .（3）菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.（4）菱形是轴对称图形，它的两条对角线所在的直线即是它的对称轴.知识点 7菱形的面

12、积公式菱形的面积等于两条对角线乘积的一半.第 9 页知识点 8菱形的判定（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形.（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形.（3）四边相等的四边形是菱形.菱形判定的几种常见情况：（1）用边来判定：先说明四边形是平行四边形，再说明有一组邻边相等；说明四边形的四条边都相等 .（2）用对角线进行判定：先说明四边形是平行四边形，再说明四边形的对角线互相垂直；说明四边形的对角线互相垂直平分 .知识点 9正方形的定义一组邻边相等的矩形是正方形.知识点 10正方形的性质正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质.知识点 11正方形的判定（1）一组邻边相等的矩形是正方形。（2）有一个

13、内角是直角的菱形是正方形.（3）对角线相等的菱形是正方形.判断四边形是正方形的正确的命题有：（1）对角线互相平分、垂直且相等的四边形是正方形.（2）对角线互相垂直相等的平行四边形是正方形.（3）对角线相等的菱形是正方形.（4）对角线互相垂直的矩形是正方形.（5）既是菱形又是矩形的四边形是正方形.规律方法小结平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系第10页课堂检测基础知识应用题1、如图所示，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O， AOB=60°， AB=4cm ，求矩形的对角线的长 .2、如图所示， EF 过矩形 ABCD 对角线的交点 O，且分别交 AB ，CD 于点 E，F，那么阴

14、影部分的面积是矩形ABCD 面积的（）A. 1B. 1C. 1D. 354310综合应用题3、如图所示的是一种“羊头”形图案，其作法是：从正方法开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形和 依此类推，若正方形的边长为 64cm，则正方形的边长为cm.第11页4、如图所示，在 ABC 中，ABC90 ，BD 平分ABC , DEBC, DFAB , 求证四边形DFBE是正方形 .探索创新题5、如图所示，在矩形 ABCD 中， AB 12 ， BC6 . 现有两动点 P，Q，点 P 沿 AB边从点 A 开始向点 B 以 2cm/s 的速度移动。点 Q没 D

15、A边点 D开始向点 A 以 1cm/s 的速度移动，如果 P，Q同时出发，用 t (s) 表示移动的时间 (0t6) .（1）t 为何值时， QAP 为等腰直角三角形？（2）求四边形 QAPC 的面积，并探索一个与计算结果有关的结论.体验中考1、如图所示，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O，AOB60 , AB2 ，则矩形的对角线第12页AC的长是（）A.2B.4C.2 3D.4 32、如图所示，在菱形ABCD 中， AB 5， BCD120，则对角线 AC 等于（）A.20B.15C.10D.5学后反思附： 课堂检测及体验中考答案课堂检测1、分析 由矩形的性质可知 AC=BD=2OA=2O

16、B ，所以 OA=OB ，因为 AOB=60°，所以 AOB 是等边三角形，所以 OA=OB=AB ，即可求出 OA ，OB 的长，进而求得矩形对角线的长 .解：因为四边形 ABCD 是矩形，所以 AC 与 BD 相等且互相平分，所以OA=OB.又因为 AOB= 60°，所以 OAB 是等边三角形，所以OA=OB=AB=4cm.所以矩形的对角线长AC=BD=2OA=2 ×4=8（ cm） .2、B.分析由已知，易证 ODF OBE，即 S AOE+SDOF S AOE+SOBES第13页，又因为SAOB1S矩形 ABCD ，所以 S 阴影部分 1S矩形 ABCD.

17、AOB443 、 8分析 由勾股定理可得正方形、正方形、正方形的边长依次是222233264 162cm,由此可归纳正方形的边长为642cm,64 32cm,222628cm .6424 、分析先证明它是矩形，再证明有一组邻边相等 .证明：因为ABC90 ,DE BC，所以 DE AB 。同理， DF BC。所以四边形 DFBE 是平行四边形。又因为ABC90 ，所以DFBE 是矩形。因为 BD 平分ABC , DEBC,DFAB ，所以 DE DF，所以四边形 DFBE 是正方形。【解题策略】 本题也可以在证明四边形DFBE 是平行四边形的前提下，先证明它是菱形，再证明它是正方形，解题时要灵

18、活发选择方法 .5、分析（ 1）观察 AQP 的形状，要使它成为等腰直角三角形， 用 t 的代数式表示 AQ，AP，求当 AQ AP 时 t 的值即可。（ 2）四边形 QAPC 的面积 QAC 的面积 +PAC 的面积 .解：（ 1）对于任何时刻 t (0 t6) ，有 AP 2t , AQ6t ,当 QAAP 时， QAP 为等腰直角三角形所以 6t2t ，解得 t2所以，当 t2s 时， QAP 为等腰直角三角形（ 2）在 QAC 中， QA 6t, QA 边上的高 DC12，所以 SQAC1QA DC1 (6 t)12 6(6t )22在 APC 中， AP2t, BC6,所以 SAPC162t 6t2第14页所以 S 四