工程电磁场部分课后习题答案

1、1-2-1-点电荷Q放在无界均匀介质中的一个球够空腔中心，设介质的介电常数为J空腔的半径为柿，求空腔盂面的极化电荷面密皮° 解 由离斯是律,介质中的电场濮度为由关系式D-0E + Pt得电极化强度为屮囚此,空胶表面的极化电荷IE密產为1-31从静电场基本方程岀发,证明当电介质均匀时扱化电荷密度耳 存在的条件是自山电荷的体密度p不为零且有关系式Pp= -（1 - ¥）“解 均匀介质的£为常数亩从关系式D = eol< + P及D = Q 得介质中的 电极化强度扱化电荷密度pp = - v * p = - v r( 1)d&0*7(1 )(I - )V

2、Dee由于它D = p和£口一和敲匕式成为竹=71-43邛岀下列静电场的边值冋题:（1）电荷怵甯度分别为小和0“半径分别为疥与住的取层同心带电球体 （如題1 - 4- 3图（話）；（2）在两同心导体球壳间，左半部和右半部分别填充介电常数为巧与电 的均匀介质”内球盍帯总电伺虽为Q,外球直接地（如题14-3图（b）”（3）半径分别为与”的两无限长空心同釉圆柱面导体，内圆柱表面上单 付长度的电量为.外圆桂面寻体搖地（如题3圈（J人（C）题f-4-3图解 选球坐栩系，球心与原点重合。占对称性可知，电位卩仅为厂的函 数，故有如下胖电场边值问题：半，単）一已 drdr£g(0r<

3、 a)_i（” 如）=_&(45 < r <2>)(X Y h )'=愛2宀竽1 f = ar = ar/ r1c? tp-i t >切彳么 r bc*r_E验s=有限值，nl（2）选球坐标系，球心与原点重合©分析可知，电位甲仅为尸的函数，故石 如F的静电场边值问题：占警）=0（在介质5中）吉£ （厂2警）=0（在介质“中）* 0 二虫 =0（在介质分界面上）L _® = P2由干在a<r<bf有0三枕二护，所以以上边值问題可以简化为齐。（3）选圆拄學标系山轴与圆拄导体咖的轴线重合，丙圆柱导体无限长，故 由对称性

4、可知，电位护仅为尸的亟数右如F的静电场边值问题；万蚯（P囂）" g5dtp1- 7-4真空中点电荷q = 10-ft C,放在距金属球壳（半徒为R-5crn） 的域心15 cm处，求：（1）球而上各点卩的表达武。何处场强虽人，数值如何？（2）若将球壳接地，则情况如何？解 应用镜豫电荷法、鏡像电荷的大小和位置为q - 务二吉X 0 $C= - y x 10f C疋=£_3d 一15- 31- 7-4 ffi所示：（JD球壳不接地口此时，球心处还宜放一点电荷球外和球表面上任一点的 2 由g,和/共同产生。®1-7-4 图4”、h _- i-A -b-V h2- u?c

5、m球更上的电位为(P = A v 5 二呦 kV球血上任一点的电场强度为E =曾*"_' _ 7(V 十 7 tfr?仏百。片1 4亦卄;1 4rsuJ?不难判瞬,球面上A点的场强最大数值为E 2.4b XI胪 VAii(2)若将俅壳接地，这时，球外和球表面上任一点的护和E由q和共同产 生C球面上的电位为审=0 V球袤面上任一点的电场强度为£ = ' ' *T 4 弟4兀曲小4江帥巧2球表而上A点的电场强潢展大，数值为Ez = 3JXl" V/n)1-7-5 两根平厅圆杆导体，半袴均 为2 cm,相距12 cm,设俪以1 GOT V电氐 束

6、两凰拄休表面上相距虽近的点和量远的 点的电荷向密度。解用电轴法求解首先确定电轴的位 S如题-7-5图所示，此时空间任意点的电 位为卩In 2叭 r2爲“；丸盲-点卩:；仁养 + (h a)式中心为 r辛所求点的距离，心为十至所求点的距离，设十r厨杜的 电位为卩带-r圆柱的电位为©，则卩0 = p 一仞所以，厠杜单位长度上的电荷T与两柱间的电压关系为21n方 + I h a) b _Ih-a)1 DOO= 283.65点A处，场强和电荷面密度最大nux -切 E哑-“ 2g° Q-(<1)十6 + (A - a)= 0.1775X10* C/m2点B处，场强和电荷面密度

7、最小迪eoEnm-eo 2?:e/a + (h “)_° + (h + b'= 0.088 7X10-6 C/m2iZ.题 1-8-3 S1-«-3姗半行导线位于与地面垂育的平面内， 如题1弋-3图所示已卸譬体半桎为2mm,求导线单 位长度的祁分电容口及两孕线间的尊效电容。解整个系统足由三个寻体组成的粹电独立系 统共有3个部分电容为计算部分也容先计算电位条 数，有77777777777777777 CTU tj + (ZiiViI 护2= a2，LTl + 口 22 旷 2令口 = "口 = 6计算此情况下的曲评恥将地面 的影响用境像屯荷代替,并珞去导线2

8、上鳳应电荷的彩 响，则得0i = y?lnxio3)2n02X10 b 2氏问_ r I 2X8-5OX1()2 r . »g>2 = o曲 tn =亍一hi3LT 2are05X10 2 2xP所以，有5一 2亦少曲10人呦-严1同理，令r!=0,r2-T JI算此情况下的小申“将地面的形响用鏡像电荷 代替，并略去导线1上感冋电荷的影响，则碍所比有仍-2衣_(0.5_ J-2ln31 化_ 2k/ 沽討 =2亦严7.5 x K?)*厲负a22 = «ln(7.5xiO3) 2®根据各个系数之间的关系，可得3ii 土=2tteq 乂0.130 1Qtla22

9、 - 122121念2 二 Zttcq x0.131 4一 2兀花0 x 0.050 2402 一 5221012 = Bu 二二再根据部分电容与感应系数之间的关系，可得C1221 /3】2 = 2” 788 9 x 10 " F/mF/mCj（）= /Sji + Pi£ = 4- 438 9 x 10 dF/mC20 =畑十炖2 =4. 5门 1 x 10-12两导线间的等效电容为Ce = C2 +026 3x 1O12 F/mJ山十°20闊个电客器ct tn c2 &充以电荷门和业。然厉移去电涕再将 肉电容器并联，问总的能鱼是否减少？减少了多少？到哪里

10、去了？解 两电客器井联斥，它们的电压相等，且总电荷与联接前相同頁这是一个 常电荷系统并联启，每个电容器的电压为脑以，两电容器中的总能凰w；为评'产jC2c/' =1 （如丈血）亠2<ClC2）而幷联之前，两电容器中的总曙鼠.为W 一丄蜀亠丄呈 此- 2 C2 G 因此，能量的变化为6缶：QgiF2© y）CG可児并联后总的餡鼠减少了。减少的这祁分能量用于在电容器并职达到稔态 的过渡过理中，电位移电流辐貳到空间中去了。1-9 3用8mm厚*5 = 5的电介匮片隔开的两片金属盘，形成一电容为 1时、的平行板电容器，并接1 kY的电(8°如果不计厚擦，要把电

11、介质片从两金 属盘间移出来.问在下列两种iff况下各需做芳少功？(1) 移动前，屯沥已断开*(2) 移动中，电祿-賣联若。解根据带电体系统中的能量守恒关系：与帯电体相联接的仔电谒提供的能卓=电场能呈的塔量+电场力所做的功(1)对于电藤断幵的常电荷系址：电场力做功二-(电场能凰的WM)移动前电容器中的电场能臺为-XKI' 110" = 0.5 讨£厶棉动后，电容齬的电容为厂-%S 帥屯小11严所以”电容器中的舖能为附包注业冃生.皆常电荷系统) F现A扣忌卜討閒陶二扣U痒卜叫所以外力做的功=-(电场力做的功)=W.2 *.1=2 0对于电源-直接着的常电位系统，电场力所

12、做的功在数佰匕第干电场 能凰的«Sa因为=2Cj0.5 pj% = *GU；专x扣心二寺叫 所以外力做的功-wd) = - M/el = 0.4 “J1-9-6应用虚位移沫，计算教材中例-27平行板电容器中两神介质分 界面上每单位面积所受的力°解(t)先讨论題1 -9-6ffi(s)D这种情况下，设介质鞋和可的厚度分别为 小和吐，且右十必=圧W是平板电容誌的两极板间的距离人则电容器的电容 为C =引啣 =“皿“疋2十艺2心 j(c/ - Jj) +所以，电场能量为VKe=yCl/2-4i"Su1（E - 2）el2*S十（习 一 i ）7 F则介烦分界面I:所受的

13、总力为f -弓爭=-y U2dd 12由于价质1和2中的电场分别为F = "U1 d2 + "d 1所以/=*E£Oi - c2）S = D2ZLEI2单位面积匕所受的力为乎结匕这里,尸的参考方向由介质G指向介质£“ 再看题1-9-6图(b人 这种情况下，两种价质中皓E是相導的口没介 质和和勺填充扱板的面积分别为5| = ZtW和S厂乙闪且为根 扳的长度带为扱板的宽度人则电容器的电容为广i SSr (“-eJD+MELd d 所以电场能星为叭二 y CU2 二斗 M b - G?ZZcz（b）则介质分界面上所受的总力为（a）厂 y 亿一 IP®

14、 GW 丄 Hr）= yEz（2-L>W单位面积I：所受的力为f = f = 三（I _ £ r ）7 S Wd 2® L/这里十f的参驴方向由介质。捲向介质eio1 - I试回答下列各问题：（1）等侍向上的电忖址处一样，因此面上各处的电场强度的数值也一样n这 句话对呜？试举例说明Q（2）某处电忖卩=山因此那里的电场E= J二-V0 = 0&对吗？（3申处电位是10 000 V,乙处电位是10 V故甲处的电场强度大于乙处的 电场强度。对吗？答此三冋的内容基本一致，均是不正确的口静电场中电场强度是电位函 数的样度，即电场强度E是电位函数卩沿最大减小率方向的空间变

15、化率。护的 数值大小与农的大小无关，因此甲处电位虽星10000 V,大丁乙处的电位，但并 不等于甲处的电场锻度人于乙处的电场强度。在尊位面上的电位均相尊，只能 说明沿等位面切线方向，电位的变化率等于零，因此導位面上任一点的电场强度 沿该面切线方向的份量等丁零，即£ 0。而电位函数沿等位面迭线方向的蛮 化擀并不一定等于零.即En不一定为零，且数值也不一定相笄即使等位血上 爭=0,该面上任"点沿等位面法线方向电位函数的变化率也不一定等于零。例 如:静电场中导休表面为等位面但导体表面上电场强度£垂直于导体表血，大 小与导体表面各点的曲率半径有关，曲率半径越小的地方电荷面

16、密度越大，电场 强度的数值也越大“1-5曲条电力线能否栢切？同一条电力线上任意两点的电位能否相弄? 为什么?答 电力线的疏密表示电场强度的弱或强.申力线披搐，说明该牡的场强越 大匸因此若阿条电力线相切，在坏点处的条电力线无限靠近即去示切点处的 场强趋于XR4X,这是不符合实际的，所以电力线不能相切。因为甲=Jfidz，说明周i条甌力线上任意筠点的电位不筋相竽朋电力线 方向电位在减小。1 -8在一不带电的导怵球内，挖Hi 備心的球形空腔。（I）若在空紀中心裁点电荷g,试问腔表面和球外表面上的电荷及腔内, 腔外各处的场强分别如何？2）若q不在空療的中则腔表面和球外表面的电荷怎样分布？球外的 场强怎

17、样分布？（3）若点电荷q放在空腔中心*但在肆外也械一点电荷，则腔表面和球表面 上电荷怎样分布？答（"空腔表面均匀分布与点鬼荷电量樹尊但异号的面电荷。导体球的 外表面均匀分布与点电荷电最相等H同号的面电荷"腔内空闾的屯场强度为式中为空腔中心（却点电荷所在处到腔内空间中任一点的距离。尿体球内 各处电场强度均为零°导体球外电场罡均匀帝电导体球在空间产生的电场匸_Q式申r为导体中心到球外空间任一点的距离。（2）点电荷q彳在空腔中心时则空腔表面分布着与点电荷g电量相等且 异号的非均匀的面电荷，在靠近点电荷附近的表面匕电荷分布的面密度大。此 时导体球外表S上剋电倚分布及球外空

18、间中场的分布与仆）间中此冋题相同p 若点屯荷q仍放在空腔中心，球外也赦点电荷,则空腔表面上的电荷 分布与（“问中此问题相同"此时导体球外表面匕电荷分布不均匀，靠近珠外点 电荷处，分布着非均匀的与球外点电椅异号的面电荷孑远康球外点电荷处，分布 着非均匀的与球外点电荷冋号的面电荷.但导体球外姿面上分布的面电荷总暈 仍与空腔内点电荷q的屯最相寻且同号。1HI圳绝绿导休A和Zi帶等塑异转电荷”现把第三个不带电的导体C 插入占、E之问（不与它们接触）.试问电位差 也-沖是堆大还是减小？（从能 屋观点分析人答 导体C的外表面将感竝分布不均匀的面屯宿L靠近A导体的农面带 负电，靠近£导休

19、的表面带疋电八插入的过程屮，电场力作功,AJi与外界无 联系（雜緣导体），所以电场能量要减小仃故71岀之间的电位羔仙-舸要甌 小。1-14在一个中性导休球克的中心放-电荷址拘项的点电荷这时球壳内 外表面各带多少电荷虽？若杷点电樹从球壳中芯移到壳内其它点，球壳内外表 面上的电荷分市变不变？球壳内外的场强分布变不变？答 点电荷Q放在球心时，球壳内表而带有均匀分布的（-q）的电量，外裘 面带有均匀分布的q电量二若把点电荷移至壳内其它点，球壳外表闻电荷分布 不变，球壳內表面分布的电間仍是（-g）的电号，但分布不均匀*幕近点电荷的内表面匕的电荷面密漠人于远离点电荷的内表面上的电荷面密膚，球壳外的场 强分

20、布不变仍* E = - 齐 球売内空间的电场分布改变了，町由镜像迭求 4irer得“1-16 说明E、。、P三个矢量的物理意义“ E与介质有关，D与介质无 关的说祛对吗？答E足电场强度，其物理意义在于是从力的角度描述静电场特性的物理 址。其定义为静电场中任一点单位正电荷所曼到的电场力。D是血位移矢量、是一个辅助物理量，其本身并段有明确的物理意义，然而 引人它可以方便地表达出静电场中任一点的场量与场源之间的关系'即电位移 矢量的敬度等于该点分布的R由电荷体密度P是电极化强度，其物理意义是描述申介质中任一点电极化强弱的物理E与介质有关与介质无丈的说法是不对的。E和D的分布均与介质右 关。但

21、录穿过闭合曲面的D通童仅与该闭合面所包围的自由电荷有关，而与介 质中的束缚电荷无关。1-17若电场中啟人电介质后，白由电荷分布耒变，电介虞中的场强大小 泉否一宦比真空中的场强小椁答不-定。只能说电介质小的场强比原*没放电介质时同一处宾空中的 场强小G1 囲有入说，均勺介质扱化丘不会产生体分怖的板化电荷，只足住介质 的表廊上才出现面分布的极化电荷若均匀介颅是无覘大的那么它的表直在无 限远处，那樂的根化电荷对考察点的场无影舸，因此均匀的无限大的电介质克 空完全相同。你星否同壷迖,种看法。答 这种看法是错1S的二举一反例说明n假设均匀介质是尢眼大的命题成 立，耍使介质极化，必要育外加电场.面外加电场

22、星曲竺间分布的自由电荷产生 的，这些自由电荷会分布在均匀价硬中.使均匀介质内部存在圾化电荷休密度， 故与直空的悄况不能相同。ffi#® 1-221-22 有带电为q的球休，附近自一块介电常数为 £的介质，如思考题1-22图所示请问下列公式成立否?£ D - <IS = 9P (IS = qD =你严5 E dS = 2口 &5 E dS = &每e0答 £ § O »站=打型w D dS二g, #、D朋二g及# f $ =囂成立=益务和# E d& = f不辰立，冈为滋有考虑介 质的影响了*1-29电缆为

23、什么娶制舷多层绝缘的结构（即在内、外导体间用介电常数 答不相同的多层介质）？各层奔质的介电常数的选取遵循什么原则？为什么？答 在电缆内、外导体之间施加崗样电压绚情况下，对于多层绝缘结构，其 电介质中电场强度的蜻大值比单）5绝缘情况下的电场强度的呈大值小，这样窑 层绝缘的电缆可以承受更大的电压。如果各层介质的仆电常数选择为|P1 = 2f>2 = 3p3=i5 为i戻介质的最小半径人则在各层电什质中，场强的最人值 均相等且均小于单层绝綵情况下的电场蟲度的最大值。若冷层电介庫的击穿场强不同，这时既要考虑介质的介电常数的大小，还要 考虑介质排列的顺序及厚度的选取，1-30強定镜像电荷的分布上要

24、有哪两点？已学过的有哪几种典型的镜 像问题？并总结之。说明镜像电荷是代替哪些实际存在的电荷分布。答 苜先镜像电荷必狈位于待求解的场域简称有效区域）之外，保吐有效 区内的电荷分布不变，也就是电位方程不变。另一点是镜像电荷的个数、位置, 电荷量的大小和符号的选取要能等裁替代有效区以外区域的电荷和有效区场域 边界上复杂分布的电荷的作用，以保证边界条件不变，已学过的典型的镜像问题 有：（1）如点电荷対无限大导体平面的镜像；（2）球形导体边界问题-如点电荷对 导体球的镜敝圆柱形导体边骅问題（也称电轴法打无限大平面介质边界A卜述问题中，镜像电荷主冬用以替代'有散区场域边界上实际存在的感应 电荷或束

25、缚电荷的分布或作用。1-31以下各小题（见思考題1-3图）能否用镜像底求解？如館，画出其 镜像电荷的位置并标明数值；如不能，说明理由口思考題1- 31图答 分界面均按无穷大导体平面对待。对于图（“2 =60-敏打二应-3,有（2” -1） = 5个镜像口其位置与平面镣成像的方法祸同，数值均为v冷号毎成-次像加牛负号（图略）对丁图（3,不能用橈像法求牺口因为像电荷不能 出现在有效区内，而图（b）中不能避免这点，故不能采用鏡像法。心）可选择无穷 个镜像”但镜像电荷距有效区的距离越来越远心当问题的精确度要求一定时，可 舍夫远处不定以影响精度的徐电荷达到满足问题要求的近似解。1 -34静电场中储存的能

26、量町从哪几个方面来计算它们各适用于什么情 況？足旁因为W；=当曲，故当电容器中介电常数牟增加耳电场能量也培 加？答 叽=*=*><罢”适用于计算电容器的倩能。适用于空间屮有有限体电荷和面电荷分布拮况下的计算，其屮积分域忙，S是 电荷分布的区域。We= ¥ 4<7A 适用于点电费系统或导体系统储能的计算斗（E DdVz j v说明挣电能是储存在电场之中，适用于计算区域"内分布已知的情况， 静电能量密度W = zE2中徉增人时+由于E的分布也会发生变化，因 此电场能量井非一定会增加。1 -2两半径为(i和A(a<&)的同心导体球面间电位差为匕K,

27、问:若应固 足，芸使半径为a的球面上场强最小皿与b的比值应是多少？解 由髙斯定律，容易求得同心球面间任一 r处的电场强度E为所以从中解得E(C=严马h _ a r半徃为G的球面上的场强为当石和超时tE(a) a不同而变ft*但不是a的单调函数，它存在极值口 为了求出u取什么数值时，EJ)最小，则令即a与力的比值应为0.41-3具有两层同轴介阪的圆柱彬电容器，内导体的直径齿2an.内层介质 的相对介电常数6丄=外层介质的相对介电常数-2.要使两层介质中的撮 大场强相等，并且内层价质所承爱的电压和外层介质的相等，问两层介质的區度 各为多少？解 设网屋介质的交界面¥桎为4外导体內半轻为氣月

28、内、外导体衣面 单位长度上的电荷分别为卜r和-厂则由奋斯定律可求得介质q利介匯宅中的电场分别为根据题意，要使两层介质中的相等由于乐页北10' Eg=a欣扁lnwix = 1.5X10-11=1.5uni內怡卜层介质分别承受的电压为»彳益乔(町題图(0QRJ电场强度E =父，故R(*RJ_益7厂盘碍(Ri<p<r2) 益育盘加g<F<&) 0<p>Ry)i®io航切卩F 虹勺 L5 x 10 *垠摇题意：要使两层介质亜受的电压相等，即口-6,故7-lnL5 =1n , JsR6肚o如t£|)L5X10 2解之得0

29、= 1,% cm 最后*得介质1的厚度g - 1.0二1.5-1卫=汛5 cm介质 2 的厚度 1*96 L50,46 cm1-4用双层电介质制成的同轴电缆如题1-4图所示；介电常数巧上毗亦 也=2切；内、外导休单位长度上所带电荷分别为亡和-化(1) 求两种电介质中以及p<RL和p>«3处的电场 憬度与电通密度；(2) 求两种电介质中的电极化iftS；(3) 问何处有极化电荷，并求其密度$ 解(1)应用高斯定律，不难求得电通密度为03<心Q）由O =引E + P,得两种电介质中的电扳化强度为(R<p<R2)(R2<p<&)内 '

30、;外导体圆杵表更卜和两种电介质交界面上有极化电荷，它们分别是枉卩=&:处："严P珂即）=仏鼻在卩=尺2处：（7r '卩斗P（ 找/_ 3r r _ rSrJ?2 4恣2 8ttR1ft有一平行板电容器，却极板距离为ABd.中间平行地放人两块薄 金属片CJJ,且= 励= 4/3 （见题1-6图）如将為两板充电到电 压口。后，拆去屯源，问：（1）ACCD.BC囘电斤一各为多少？ C,D片上看无电荷？ ACTCYJ,DR间 电场强度各为多少？ 若将CQ两片用导线联结再断开重答问;（3）若充电前先联结C J）,然厉依次拆去电源和C,D的联结线何答（丄） 问；（4）若继（2）之

31、后，乂将两板用导线短接，再断开，重新回答仃）问，解 忽略边缘效应，作为均匀带电的无限大平行板电容器來处理，各区域为 为均匀电场.方向垂直于极板。(b)<c)® 1 -6 图U玫.-(Ucd 十 Ue =-亨(I)充电到电压5后= =Ei手1 Lz斗+码务=5 因此，有Ed - U。所以E、= E2 = E尸字 Zac= 口畑 _ Une 丄 E # 二学 各极板上的带电悄况如题1 -6图(h)所示，有(2) 若将CJ)板用导线联结，C*D两皈内侧的+%与-丸将中和有二0和虽=0这杆，様内侧的+ m与-刊将仝部中和出，而其它部分的电荷则由于电场 的作用以及电荷守恒(这时电源已拆去

32、)都不变化口再断开联结线时也*会变 化”即有E' = F尸甞= u囲%二-5十皿=-¥丽人板、円板丄板和D板外侧的电荷也都保持不变°3)由t：住联結C.D时接有电源，电漁的作用将看迫A,R板间电圧口迢 保持在【衣匚，门板被短接强迫1&=航 显然"：2 =入但同时为了又満足 U/W = Uo的条件，必狈使Ei和E,增大，也即相应的电荷密度由“增大到 小 这时有E =E 和.Ej % 斗 彳=U。所以G.D板内侧没有电荷分布川j A板板,C板和D板外侧的电荷密度都 由（1）问中的“墳大到"口由于电场力的作用，依次拆去电鯨与C,D |可的联 线

33、时情况不再变化“若在继问之启将儿E短接，山于©的悄况下上陋亠号5刊， 因此两板上的电荷将逬行屮和达到U?lB=0的強制条件口而f：,D板由十 与外界没有导线联接，电荷守恒各自板匕的总申満保持不变，但会庄内、外侧板 囱周发生电荷转移。达到U昭=0后，一切电荷的转移将停止*电荷分布如題 1-6图0）所示口有(E1 + E2 + E5)/3=0由电荷守恒，还应有解之得_r % ?g(*Un 兀一 2可-F_ £o 53 = 3M 'Ujjc _ （ t/fy）+ Ujtb ） 由于电场力的作用，再断开A,占联接线时，情况不变口1-7半径为b的无限长圆柱中，有体密度为內的电

34、荷与它偏轴地放有 半轻为“的无限氏圆住空洞，两者的轴线距高为几求空洞内的电场強度 设在真空中）。（提示：可应用叠加原理）题1 -7图解 空洞可看成是密度为和（见题1 - 1图（b）和一po（见题7图2）的 体电荷分布的叠加，而电场为原来电荷分布与空附中密度为佝的体电荷分布瓦JI * h « ' IK 同作用产生的场和由空洞中密度为-代的体电荷分布单独产生的电场叠加而 得口在图b）中*空洞部分的电场町选取单位长度的同轴圆柱面作为高斯面，利 用高斯定程求得码二瓷饼（0<r<6）在图（町中，空洞部分的电场可用类似方法求得F产-譽* e,（0<rJ<a

35、3;2丸空乖I实际的屯场為匕述：者的叠加E E丰冋2丄骅叫亠广O =豊（孑F）1* 2 臥Zeo由图可见所以1-12在离半径为R的导体球球心为d处（d>R）#一电荷冋要在 球匕加翁少电荷才能使作用在电荷q上的力为零？解应用球面镜像法在球心处有一镜谏电荷.R?=屮另在球心与点电荷q的连线匕距球心b（二孚）处有一镜像电荷a gJ -% 它们对点电荷g的忙用力即为导体球对点电荷g的作用力。为使作用衣点电荷 q上的作用力为零，设在球心再加电荷Q 则点电荷q受的吸引力为p = （Q ! Qg 4 dq4血£护4冗£ （沖&）2令F = 0解得2d2R3-R（屮-尺呼泸1

36、 1S 一半径为口的球壳嗣心地詈于半桎为的球壳内，外壳接地口 一 点电荷放在内球内距其球心为d 4b.问大球内各点的电位为多少？解（1）由于半屋为b的球壳捷施,所以其外部的电场強度为零，电位为 零。即卩=0（r >）（2）在内球壳与外球壳之同，由于瓷足球形的，内球壳外表面上的感应电荷 Q的分布是均匀的，外球壳内我而上的感应电荷（-q）的分布也是均匀的。因 此，内外球壳间的电场强度由下式决定4应护略(a <r<b枉一点的电付为E " m )r4ne(i r b(3) 庄内球壳内部.应用球面镜像法。设在内球壳外部离球心为b处有镜 像电荷d和卜的大小由下式决定aA_ u2

37、达样，内球壳内部任意P点的电位山下式决定： 式中，C和。分别是F戌到点电荷g和的距离。盂(+一+)为内球壳表临 电飢117三条输电线位于同水平向上，锌线半径皆为=地面高度«-14叫线间距离 = 2m,其中导线1接电源，对地电压为L'l-IW kV 如 ® 1 -17图所示芒(1) 导线2,3未接至电源,但它们由于静电感应作用也有电压。间其电H dIK各为多少？I-?(2) 若将导线2接地，问导线2上|的电荷与导线3的对地电压份别为多少？I3此吋*若切断接地线，然后斷开 门门 H门小门小厂门 电源，问三根线对地的电压为多少？解 此题的关键是求岀各电位系® 1

38、'17 0数莖个系统是由4个导体？fi成的静电独立条统，选大地为0号导体.有仰=。“口 + 52心十"3口仇=21 口 + 22 T1 + 23 T*3対=口31 " + 口32 2 +。魁匸3这一方釋組说明r各导线的电位与各导线的电荷之间的关系e令口二仆门二计算此悄况下的0占2和的将地面影响用境像电 荷代替，又山于人和H都远犬于厂°,所以町以略去导线2和3丄的感应电荷的彫响，则得r t 2x14 _1_2xe n 0.004 P一 r ( /(2xi4>2+2-列盂忸2"白Q这戶込盘450所以心7 000ln/197二初n/50宙图示结勾

39、不难看出这一静电独立系统中的电位系数育如下特征 022=住53 二 G 和 巴13 =空|_2所以，最后得各电位系数分别为11° 22 = 33 = 2rg000, ©2 = 5 = £ln / 1另a23口乜二 Si =£In "50t 巾3 = o翘二吉"/197当导线2和3未接电沁时，有七=巧=0。由上述的方程纽侮得导线2 和3的电压分别为CT?i亡Or it护严巾1 丁严盂卩1和卩3二肓卩I代入给定数据® = I10kS和相关的电位系数併取« =etl = &85"07午/皿。计算得z2-

40、321 kv, 旳= 24. 31 kV若将导线2接地”此时筠=0.但口工山又由于导线3未接电源有 巾二山幽此，由上述方程组有件-俚让“卜门O' ajj rl 1 口22比 ff3i r 1 十白111*2联立解之*得_Q10 一 s_（住號口“ - a却。？2）“ 2;、 和舸一厂irr池（切一旳1）（冬厂町J代入给定数据® "WkV,和柑关的电位系数，并取£-£-&呂5X1（1 W/叫 计算得T2 =226.06 nC/m *<p3 - 15.93 kV(3) 若切断接地线然后断开电源此时导线1.2和3上的电荷不变，所以它 们上

41、的电乐都保持不变。有110 kV, 归= UkV. -15.93 kVl ift 牢气中相隔1 rm的曲块平行导尅平板充电到100 V肩脱离电源, 然石将一彤度为1 mm的绝缘导电片插入两板间，问：“)忽略边缘效应，导电片吸收了多少能虽？这部分能量起到了什么作用? 两板间的电压和电荷的收变量各为若干¥最后储存在其中的能量多犬？(2)如果电压源一直与两平行导电平板相联重答前问。解 设导电平板的面积为两平板间的间隔为d=lctm,显燃，绝缘界电片的厚度S 壽就二I平板间39电压为(Jo = 1(H) V<,(1)忽略边缘效应，未插入绝缘导电片时 如=5口0=罟5, w诡二寺a疋二+

42、罟u： 播人导电片后£f)S _ 10£OS JO所以”导电片中吸收的能量为用由 一 = 4-425 x 10_ 7 J这部分施量使绝缘导电片中的正、负电荷分离，在导电片进人极板间时.做机械 功£这是一常电荷系统电荷守恒，各极板电荷号不変，=on而插入绝缘导 电片百的电压为S产吿喘X器器390V所以电压的改变量为U= C/()i - 5= 10 V如果电漁一直联接着，则 U = 0, U” 二 5 = 100 Vg L G S =罟G 5 二畔 go 所以F电荷的改变量为Af?= 91 'Vo = 0=0*983 X 10 _s CR2三牛镜像电荷在q处产

43、生的电场强度 为吧严討心欝轨哈打必 为此导电片吸收的能量为d)= -J = 4.915xlO'7J1-20点电荷彳肯于导休A附 近，导体有半球形凸赴如题1 一20图 所示口已知求此点电荷所受 的力。解应如图所示放置三个镜像电 荷来滞足边界条件，其中肌° o爪=盘舄卩一 at弄訪閔打打皿所以J所受之力为F =妙1(0,0. A )V(进Z2- 2 半径为u的均匀带电球带电总量为Q,该球绕直径以角速度 疑转。求；仃)球内各处的也流密度J;(2逋过半径为口的半圆的总电流"解(DW球心为原点，旋转轴为Z轴楚立球坐标系口球内任-点距球心 处，与2轴的夹他为0,该点运动的线速度

44、为v = wrsine带电球的电荷体密度为2）利用与J的关蔡可得u 3QjtysinErdrdfl -2- 7有阿块不同屯导率的樽钢片构成一导 电孤片，如题2-7图所示。若7（ - 6. 5 x 107 S/rn,y2 l，2x IQ7 S/rn,K： = 45 cm,Ri =30 cm, 厚度为2 mm,电极间电压V - 30 V,且冷様 求Ml）弧片内的电位分布（设旦轴上的电扱 为零t&）;（2）总电说I和弧片电阻RM3）在分 界面上rD,J,E是否发生突变；（4）分界面上的 电荷面密度62ir爆（L）因为川电极表面町視为等位眄由对称性分析，屯流密度 统是沿图示勺方向，即垂直于电极

45、表面而等位线垂宜于E线（即J线）因此平 只与坐标0有关，面与坐标p无关口将系统分为两个均匀的导电媒质区域，其 边值问题为护V认-寺讳匕。（昭0益“于冬0W牙） 卩2 =寺 = 0 （附卩尺2,0丢*0¥） <jP - U卩2 0*=0其通堺可写为平=G。十Cj<p： = C理 + 利用边界条件決定待定系数可碍Cl-U= 5.95C产 U-寿 0 = 20,65C3 = ?C1=32.26-乃C4 = 0tij此可得孤片内的电位分布为5.95+20.65 V 血=22.260 V F-V?= -十綸再利用分界面上电流惭度的衔接*件/ln=/in由【比可得到弧片内的总电流J

46、力场y 沖2 -； let严J -dS = " ddp =C1/i1n 2 = 3J37XH)5 A 打 PKi式中J = 2mni,te薄钢片的厚度。弧片的电阻F=¥ = 956X1O7 a 利用分界面上的衔接棗件尽-丿0期电流密度在分界面上保持连 续，泣有突变。因兀凰2厂"Ei十0,人故电场强度住分界面上不连续，有突变。又 囚为两种导电媒质的介电常数均可视为母，故电位移矢量也不连续，有突变#利用D%-Dg二"将咼严-2，企尸-£代入得fi&_4eq( yx - y2)Ua Tt(yy2)p2- 12半球形电极置于一个苴而探的睦肇附近

47、.丿M2-12图所示巾巳知K = (h3nb半球中心距陡壁 必匕丿"Y的距离h = 1() m,土壤的电导率y - IO"2 S/rn,求接地-_5；社阻心/解 根据解的唯一性定理°在保证边界条件不变的；情况下*利用镜像法，在呼陡壁右测h处对弥地引出接*地半球的镜像°由于近假认为两半球之电 题2-12图 流沿球的径向均匀分布，电流终止于无限远处，由此可 得口丄/F二er卡齐1 2jt”2 2式中门和厂分别为接地器中心和它的鏡像的中心到土壤内任意一点的距离; 花"。分别为该距离连线上的单位矢量°若以无限远处为电位的参考点半球 的电位为半

48、球电扱的接地电阻为恥誉击（护击）=乩87 H5-1-2設住空咒中有一个边长分别为1 m和0.5m的栓方形回路，通以 电流U4A*求其中心垂宜轴线上离回路平而f m处的磁感应強度。® 曲于对称性，町分衲长方形回路四条边上的电涼在P点产生的磁感应 强度的方向沿<3-1-2圏所示片方向。捌用聲加定理，在尸点的磕感应强度町觇为两组对边的线电流在P恵产牛的磁感应强度的矢量和 仃?1=sAFoSsy 二 vTTows代=/卩 + （0. 5严=M 1.25 triB = 2x式中= X 1 = 0,5 tn/2y X0,5 = 0/250.25OJSQ 1 = _ PL0.5msaa =*

49、 p2将上而各数字代人貯武中虹 r ”訂 x 0.25r 1= 2X4xXL146Ll70625E+仔严二 COSC + 十丹=3.039 x 10_/e=(T)3- 3 -3在恒定磁场中，若两种不同媒质的分界面为xoz平面其上有电 流线密度K = 2ez A/im已知Hi = q+2勺+ 3%,求H2<t解 陌种养质的分界面为丈少平面,则分界面的法线方向为片的方向。曲 分界面上鶴衔接条件可知仏=险'RL*AUHl，= M2,HlyHvz =也 H|v =7尸2丿4j即为法线方向，由题意町知是由媒质2摘向媒匪，故叭- KH2« = Hh + K 二匕 + 3名十 2eT

50、 = rr + 5e,2 £ZiHr 二 + *pv -J- 5 A/mg '3- 51截面为圆环形的中空仪直导线沿轴向流过的电流为f,导线圆环 的内外半轻分捌为RttR2c求导体及外空间各处的磁位和磁场强度。解 由于在R<piR2的范闌内有悄定电流存在，因此该范围内不能用 磁位函数屮辭住QWpUR、及戸>R,的空间范围内无电流存在，故可刀引人 磁位亜数单窗建立磁位所满足的拉普拉斯方程及边界条件令阳J “0 = 0= 00 < p <L可 Em2 厶 °P > 2（鑫考点）卩m2丨gQ二0护d丰=2片。忖I g"=-利用磁位函

51、数所满足的方程，町求出通第为Pnd p C4 C3 0 W P V J?护沁-十G* 0 >局利用边界条件决定通解中的待定系数由此可得曲 *=o =06=0曲心=oG工0卩皿 1 0=厲" oc = °卩m2 1 / =2 " 一【Cm一 2希护说=00 W p V R卩诫=一 ±0P > 2再利用If =得两区域内的磁场强度注;此题也可用安培坏路定律先求出H*再求fmc3 2真空中，在P = 0平面上的0<a：<10和y>0范圉内，有以线密度K =500 A/m均匀分布的电流,求在点（h0#5）所产生的磁感应强度。解如题3

52、-2图所示'选择d/ = kdx,视为 半无限长直导线，它在P点产生的磁感应强度的大 小为d” = J其中p = 7x2 + 52o由右手探旋法则可判断d”的 方向，井将HE分解为疋方向和z方向两个分量dBz 二 dBcosfl题31圈dBt片 dBsinS =庐qKh4tt(j? + 5*)利用養加定理,P点的磁感应强度的忑分量和忙分量分别为10十才-o 4jt（ j2 + 52）_譬X十响an专Iarctan2 = 44 1何 Tr10 眶壮严 丁Jo 42十5巧山"2“小B =和441珀十32乞）T3-3 真空中一通有电流（密度J = J"、半径为6的无限长圆

53、柱内，有一半处为口的不同轴圆杆形空洞，两轴线之间相距£如题3亠3图所示。求空洞内任一点的解若假设空洞处有大小同为几但流向分别 为方向和（'町方向的电流，这样可檸此何題 视为半径为&的无限长圆柱内繫体载有电流几耳 和半径为口的无限K：圆柱内载有电流（-J。）的 两个K圆柱在P点产生前磁感应强度的叠加心刑用安培环路定律，半栓为&的大圆社住空 洞内尸点所产生的磁感应强度夭小为B dS =| J - dSJ 5J S2PiBi = “Mo 呼g其方向用右手縹旅法则判断，它沿以大圆柱轴线为申心Ml为半径圆环的切线 方向。对半径为。的小圆柱，在空洞内F点所产生的瞳感应强度

54、大小为u _ 厂 J0P2 2其方向也用右手螺it法则判断貝是电滥沿（-化）方向。若设大圆柱与小虧柱 中心连线为工正方向、则P点的磁感应强度应为两圆柱各自崔P点产空的磁感 应强度的矢量和H = B1 + 拆2= Bkr 一吕2丄十pin日 1 + sin（?2）er 十° 005叭十丹心乞）丹】二響（“£*绘）务+ S氓*尹叮7?_訂叫. /JOO ,H - J（T1 + X2）_2"式中九为卩点到工釉的垂直距离山为何4 #紬上的投影，工2为尸2在乂轴 上的投影皿为两圆柱轴线的距离二3-4真空中有一厚度为/的无限大載流（均匀密度 M平板,在其中心位置有一半径等于a

55、的圆柱形 牢洞*如题3图所示。求各处的確感应强度i解与上题思路相同假设空洞中存在J。"和 （几）的电Sfct求各点处的磁感应强度可视为一个无 限大均匀载流几叫的平板与一个载流为（-儿色）的无 限畏直圆柱各自在该处产牛.的磁感强度的矢量和样越3-4图尹（JM地J2<y<通有J=扎叫的无限大平板在空间各点产生的磁感 应强度，可利用安培环路定律求岀通有J - - JoFs的无限长直圆柱产生的磁感应强度也可利用安培环賂定律求出卜2（宀丹皿+却宀 一令址ye工+哼】p < a各处的场强为它们的矢量和B = B1 + &23-7半径为s长度为/的园拄，被永久磁化到磁 化强度为（Z轴就是顿柱的轴线人（1）求沿轴各处的B及H；（2）求远离圆柱屮"处的磁场少解 先分析该园柱的磁化现象。由十是均匀磁化， 为常数在圆柱内部磁化电流尙密厦为丿皿=灯x M匸V x二0磁化电流线密度为K刑匸M X你其兔为表面的法向方向。在圆柱的两个端囱，其外法題3-7图线