指数与对数运算

1、淘出优秀的你第六周指数与对数运算重点知识梳理1分数指数幂的有关概念m(1) 正分数指数幂： a n n am(a>0， m， n N* ，且 n>1) ；m1m 1(a>0 ， m， n N* ，且 n>1)；(2) 负分数指数幂： an na nam(3)0 的正分数指数幂等于0,0 的负分数指数幂没有意义2分数指数幂与根式的关系：分数指数幂与根式可以相互转化，通常利用分数指数幂的意义把根式的运算转化为幂的运算，从而简化计算过程3有理数指数幂的性质r sr s， r， sQ )；(1) a a a (a>0(2)(ar)sars(a>0， r ， s Q)

2、；(3)(ab)r arbr (a>0， b>0， r Q)4有理指数幂求值时用到的因式分解与化简技巧：11a b ( a2 )2 (b2 ) 2 ( a b)(a b) ；1 1 a±b (a 3 )3 ±(b3 )3112112 (a 3b3 ) (a 3a3 b3b 3 ) ； b a 1. a b5对数的定义：如果 ax N(a>0 且 a1)，那么数x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作xlog aN，其中 a 叫做对数的底数， N 叫做真数当a 10 时叫常用对数，记作x lg N，当 a e 时叫自然对数，记作 x ln N.6对数的常用关系

3、式( a， b， c， d 均大于 0 且不等于1) ： log a1 0. log aa 1.对数恒等式：alogaNN.logcb换底公式： log ab logca.1推广loga b log ba， loga b·logbc·logcd log ad.1淘出优秀的你7对数的运算法则：如果a>0，且 a1， M >0 ， N>0 ，那么： log a(M·N) log aM log aN；Mlog aN log aM log aN； log aMn nlog aM( n R )； log amMn nlog aM. m典型例题剖析例 1计算

4、：13112(1)(1)033；6 36448(2)13248 lg245.lg49lg2361( 1) 01【解析】(1)3 31438642531233643 1425 13 162216.(2)13248lg245lg49 lg23231×(5lg431(lg 5 2lg 7)2 2lg 7) × lg 2 232251 2lg 2 lg 7 2lg 2 2lg 5 lg 71111 2lg 2 2lg 5 2lg (2 5)× 2.变式训练化简下列各式37134 log49；(1) 3log 3 log 3 log32427102370.5 20(2)(2

5、 ) 0.1 (2)3 3.92748【解析】(1)原式 log 33 37log 34log 37 log 342log 327 log38log 37log3 4log 32 log3 73.116423725(2) 原式92 0.12 273 3482淘出优秀的你 53 100 169 3 3748100.例 2求解下列各题(1) 已知 log 189 a,18b 5，则用 a， b 表示 log 3645_；(2) 若 2a 5bm，且 1a 1b 2，则 m _.a b【答案】 (1)(2)10【解析】 (1) 由已知得 18a 9，再由 18b5 得 18a b 45，于是， lo

6、g 3645 log3618a b ( a b)log 3618a b1818log182 log1818a b1 (log 1818 log 189)a b.2 a(2) 由 2a 5bm 得 a log2m， b log 5m，11 a b logm2 logm5 log m10. 1 1 2， a b log m10 2，即 m210，解得 m 10(m>0) ab12变式训练(1)已知 4 5 100，求 的值；(2) 已知 log 147 a,14b 5，求用 a， b 表示的 log 3528 的结果【解析】 (1)由已知得 log 4100 a， log 5100 b，即1

7、 log 1004， 1 log 1005， 2log 10025，abb1 2 a b log100 4 log 10025 1.(2) 14b5， log 145 b，214log 352814log14 72 a.log 28log1435log145 log 147a b1 1例 3 已知 a 2 a 2 3，求下列各式的值：3淘出优秀的你332 2(2)a 2a 2(1) a a ；11 .a 2a 211a a1 2 9，即 a a1 7.【解析】 (1)将条件 a 2 a 2 3 两边平方，得将式两边平方，得a2 a2 2 49，所以 a2 a 2 47.3311(2) 由于 a

8、 2 a 2 (a2 )3 (a 2 )3 ，3所以有a 2a1a 2a3112(a 2a 2 )(a a 1 1)1112a2a 2 a a1 1 8.变式训练(1)已知 2x2 x a(a 为常数 )，求 8x 8x 的值；11(2) 已知 x y 12，xy 9 且 x<y，求x2y 21的值1x2y 2【解析】 (1)令 2x t，则 2 xt 1， t t 1 a.方法一：由两边平方得t2 t 2 a2 2，8x 8 xt 3 t 3 (t t1 )(t2 t·t1 t 2)a(a2 21) a3 3a.方法二： 8x 8x t3 t 3(t t1)(t2 t

9、3;t1 t2)a (tt1(a2 3) a3 3a.)2 3t·t 1 a1111x 2y2(x 2y2 ) 2(2) 111111x2y2(x 2y2 )( x 2y 2 )1( xy)2( xy) 2xy，又因为 x y12， xy 9， ( xy)2 (x y)2 4xy 122 4×9 108，x<y，xy 63，4淘出优秀的你111把代入式得，x2y212 292311633 .x 2y2跟踪训练112 (210)21 (5) 2 ( 1)1÷0.753等于()16279494A. 4B.9C4D 92已知 3a 5b x，且 11 2，则 x

10、等于 ()abA15B.15C± 15D2251311213. ( 2a 3b 4 ) ·( a2 b 3 )6 ÷( 3a 3 b 4 ) 等于 ()858A. 2 a3 b 2B2a 3331515C2 a6 b 6D. 2 a6b 233221221224若 a 3 b 3 4，x a 3a 3 b3 ， yb 1 3a 3 b3 .则 ( xy)3 (x y) 3 的值为 ()A2 B4 C 8 D105若 log 2(log 3(log4x) log 3(log 4(log 2y) log4(log 2(log 3z) 0，则 x yz 等于 ()A 5

11、0 B58C 89 D 1116 lg 5 22lg 8 lg 5lg 20 (lg 2) 2 _.317计算 0.25 ×(1 4 4÷(51) 0 25 2 _.2)434(1 2)4 _.8. (1 2)3 9 (1)log 22 2 _；(2)log 8(log 22) _；(3) lg22 lg 1 1 lg 5 _. 410 (log 25 log 40.2)(log 52 log 250.5)_.5淘出优秀的你11计算3331433(1)7 3 324693；14(2)(0.0625)42×7 02×3 3 10(2 3)11 0.5；33

12、0011322(3)(124 223)2276164 2×(8 3 ) 1 5 2×(45 ) 1.xy11112已知 2.5 1 000,0.25 1 000，求证： .1113设 a1， b 13 ，求下式的值：221111(a 2b2 ) 1( a2b2 ) 11111.(a 2b2 ) 1( a 2b2 ) 16淘出优秀的你参考答案81132642 1÷1 A 原式 16427232 94 1÷ 43 2 2764 3 94 169 169 94.2 Ba log3 x，b log5x， 11 logx3 logx5 logx15， log x1

13、52, a b x215，又 x>0， x 15.1323212853 A 原式2a 33 ·b44a3b2，故选 A.3312214 C x a 3a 3 b 3 ， y b1 3a 3 b 3 ，1221 x y a3a 3 b 3 3a 3 b 3 b 1111111 (a 3 ) 3 3 (a3 ) 2b 3 3a 3(b 3 ) 2 (b 3 ) 311 (a 3b 3 )3,1221xy a 3a 3 b 3 3a 3 b 3 b 1111111 (a 3 )3 3 (a 3 ) 2b 3 3a 3 (b 3 )2 (b 3 )311 (a 3b 3 ) 3 ，22

14、 (x y) 3 (x y) 311321132( a3b333b33)( a)1111( a3b 3 ) 2(a 3 b 3 )2222( a3b 3 )8.故选 C.5C由已知得342 9，log3(log 4x) 1，即 log 4x3，所以 x 4 64，同理， y 2 16，z 3所以 x y z89，答案为 C.6 3解析原式 2lg5 2lg2lg 5(lg 4 lg 5) (lg 2) 22 lg 5(2lg 2 lg 5) (lg 2) 27淘出优秀的你2 2lg 2lg 5 (lg 5) 2(lg 2) 2 2 (lg 2 lg 5) 2 2 1 3.725解析 0.25

15、×(1) 4 4÷( 5 1)0 2524120.25 ×24 4÷142524 4 52 .58 0342)3 (1 2)4解析原式 (1 (1 2)|1 2| 1 2 2 1 0.3(2)1(3)09 (1)433解析(1) 原式 log 22 4 3.41(2) 原式 log812 log 82 log 88 3 13.(3) 由 0<lg 2<1 ，得原式 lg22 2lg 2 1 lg 5 1 lg 2 lg 5 0.110.4lg 5lg 0.2lg 2lg 0.5(2lg 5 lg 0.2)(2lg2 lg 0.5)解析原式 l

16、g 2 lg 4lg 5 lg25 4(lg 2)(lg 5)(lg 25 lg 0.2)(lg4 lg 0.5) (lg 5)(lg 2) 1.4(lg 2)(lg 5)4(lg 2)(lg 5)4113 21113 ×(3×23) 3 2×3×3 3 411解析(1)原式 7×33()(33 )11241 7×3 3 3×3 3 ×2 2×3×3 3 (33 )41111 7×33 6×33 2×3 3 3 3 0.11(2) 原式 (0.5)4 4 ( 2×1)2×( 2)4 10 (3×102) 2 2 38淘出优秀的你 12 126 10(2 3) 10 32 64 20 103 103 42.113214(3) 原式 (11