数的整除特征

1、.数的整除性质主要有：（ 1） 若甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数能被丙数整除。（ 2） 若两个数能被一个自然数整除， 那么这两个数的和与差都能被这个自然数整除。（ 3） 几个数相乘，若其中有一个因数能被某一个数整除， 那么它们的积也能被这个数整除。（ 4） 若一个数能被两个互质数中的每一个数整除， 那么这个数也能被这两个互质数的积整除。（ 5） 若一个数能被两个互质数的积整除， 那么这个数也能分别被这两个互质数整除。（ 6） 若一个质数能整除两个自然数的乘积， 那么这个质数至少能整除这两个自然数中的一个。（ 7） 个位上是 0、 2、 4、 6、 8 的数都能被 2 整除。（ 8

2、） 个位上是 0 或者 5 的数都能被 5 整除。（ 9） 若一个整数各位数字之和能被 3（或 9）整除，则这个整数能被 3（或 9）整除。（ 10）若一个整数末尾两位数能被 4 整除，则这个数能被 4 整除。（ 11）若一个整数末尾三位数能被 8 整除，则这个数能被 8 整除。（ 12）若一个整数各位数字之和能被 9 整除，则这个整数能被 9 整除。（ 13）一个三位以上的整数能否被 7（11 或 13）整除 ,只须看这个数的末三位数字表示的三位数与末三位数字以前的数字所组成的数的差 （以大减小）能否被 7（11 或 13）整除（ 14）末位数字为零的整数必能被 10 整除（ 15）另外 ,

3、一个整数的奇数位数字和与偶数位数字和的差如果是11 的倍数 ,那么这个整数也是 11 的倍数 .（一个整数的个位、百位、万位、 称为奇数位 ,十位、千位、百万位称为偶数位 .）（ 16）至于 6 和 12 的整除特性，通过以上的原则判断即可：各位数之和能被 3 整除的偶数能被 6 整除；各位数之和能被 3 整除且末两位数字组成的两位数能被 4 整除的整数能被 12 整除。'.（ 17）能被 7 整除的数的特征： 若一个整数的个位数字去掉 ,再从余下的数中 ,减去个位数的 2 倍,如果差是 7 的倍数 ,则原数能被 7 整除。如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程。方法 1、（适

4、用于数字位数少时）一个数割去末位数字，再从留下来的数中减去所割去数字的 2 倍，这样，一次次减下去，如果最后的结果是 7 的倍数（包括 0），那么，原来的这个数就一定能被 7 整除例如：判断 133 是否 7 的倍数的过程如下： 13 3×27，所以 133 是 7 的倍数；又例如 判断 6139 是否 7 的倍数的过程如下： 6139×2595 ， 59 5×249，所以 6139 是 7 的倍数，余类推。方法 2、（适用于数字位数在三位以上）一个多位数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差， 如果能被 7 整除，那么，这个多位数就一定能被 7 整除如判断数

5、 280679 末三位数字是 679，末三位以前数字所组成的数是280，679 280=399， 399 能被 7 整除，因此 280679 也能被 7 整除。此法也适用于判断能否被11 或 13 整除的问题。如：283679 的末三位数字是679，末三位以前数字所组成的数是283，679 283=396， 396 能被 11 整除，因此， 283679 就一定能被 11 整除如：判断 383357 能不能被 13 整除这个数的未三位数字是 357，末三位以前的数字所组成的数是 383，这两个数的差是： 383357=26， 26 能被 13 整除，因此， 383357 也一定能被13 整除方

6、法 3、首位缩小法，在首位或前几位，减于7 的倍数。例如，判断 452669 能不能被 7 整除， 452669-420000=32669，只要 32669能被 7 整除即可。对 32669 可继续，32669-28000=4669，4669-4200=469，469-420=49，49 当然被 7 整除，所以 452669 能被 7 整除。（ 18）能被 11 整除的数的特征：除了前面讲的被 7 整除的方法二适用于 11 之外，还可以把一个数由右边向左边数 ,将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来 ,再求它们的差 ,如果这个差是 11 的倍数 (包括 0),那么 ,原来这个数就一定能被 11

7、 整除。例如：判断 491678 能不能被 11 整除。奇位数字的和'.9+6+8=23 ，偶位数位的和4+1+7=12 ，23-12=11 因此 ,491678 能被 11 整除。这种方法叫 “奇偶位差法 ”。11 的倍数检验法也可用上述检查7 的割尾法处理！过程唯一不同的是：倍数不是 2 而是 1。（ 19）能被 13 整除的数的特征：除了前面讲的被 7 整除的方法二适用于 13 之外，还可以把一个整数的个位数字去掉，再从余下的数中，加上个位数的 4 倍，如果和是 13 的倍数，则原数能被 13 整除。如果数字仍然太大不能直接观察出来， 就需要继续上述截尾、倍大、相加、验和的过程，

8、直到能清楚判断为止， 重复此过程。例如：判断 1284322 能不能被 13 整除。 128432+2×4=128440 ，12844+0× 4=12844， 1284+4× 4=1300， 1300÷ 13=100所以， 1284322 能被13 整除。（ 20）能被 17 整除的数的特征：把一个整数的个位数字去掉， 再从余下的数中，减去个位数的 5 倍，如果差是 17 的倍数，则原数能被 17 整除。如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程。例如：判断 1675282 能不能被 17 整除。167528-2× 5=1675181675

9、1-8× 5=167111671-1× 5=1666166-6× 5=136如果差太大或心算不易看出是否 17 的倍数，就需要继续上述截尾、倍大、相减、验差的过程，直到能清楚判断为止。6× 5=30，现在个位 × 5=30>剩下的 13，就用大数减去小数， 30-13=17， 17÷ 17=1；所以 1675282 能被 17 整除。若一个整数的末三位与 3 倍的前面的隔出数的差能被 17 整除，则这个数能被 17 整除。（ 21）能被 19 整除的数的特征：把一个整数的个位数字去掉， 再从余下的数中，加上个位数的 2 倍，如果

10、和是 19 的倍数，则原数能被 19 整除。如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程。'.若一个整数的末三位与7 倍的前面的隔出数的差能被19 整除，则这个数能被 19 整除。（ 22）被 4 或 25 整除的数的特征如果一个数的末两位数能被4 或 25 整除，那么，这个数就一定能被4 或25 整除。例如： 467546×10075由于 100 能被 25 整除， 100 的倍数也一定能被25 整除， 4600 与 75 均能被 25 整除，它们的和也必然能被 25 整除因此，一个数只要末两位数能被 25 整除，这个数就一定能被 25 整除又如：8328×10

11、0 32由于 100 能被 4 整除， 100 的倍数也一定能被 4 整除， 800 与 32 均能被 4 整除，它们的和也必然能被 4 整除因此， 因此，一个数只要末两位数字能被 4 整除，这个数就一定能被 4 整除（ 23）被 8 整除的数的特征如果一个数的末三位数能被8 或 125 整除，那么，这个数就一定能被8或 125 整除例如：9864 的末三位是 864，864 能被 8 整除， 9864 就一定能被 8 整除 72375 的末三位数是375，375 能被 125 整除， 72375 就一定能被 125整除。（24）1 与 0 的特性：1 是任何整数的约数，即对于任何整数a，总有

12、 1|a.0 是任何非零整数的倍数，a 0,a为整数，则 a|0.（ 25）被 23 或 29 整除的数的特征：若一个整数的末四位与前面5 倍的隔出数的差能被 23(或 29)整除，则这个数能被23(或 29)整除重点 ·难点数的整除概念、 性质及整除特征为解决一些整除问题带来了很大方便， 在实际问题中应用广泛。要学好数的整除问题，就必须找到规律，牢记上面的整除性质，不可似是而非。'.学法指导能被 2 和 5，4 和 25，8 和 125 整除的数的特征是分别看这个数的末一位、末两位、末三位。我们可以综合推广成一条：末n 位数能被（或）整除的数，本身必能被（或）整除；反过来，

13、末 n 位数不能被（或）整除的数，本身必不能被 （或）整除。例如，判断 253200、371601 能否被 16 整除，因为，所以只要看各数的末四位数能否被 16 整除。学习这一讲知识要学会举一反三。经典例题 例 1在 568 后面补上三个数字， 组成一个六位数， 使它能分别被 3、4、5 整除，且使这个数尽可能小。思路剖析这个六位数分别被3、4、5 整除，故它应满足如下三个条件：（ 1）各位数字和是 3 的奇数；（ 2）末两位数组成的两位数是 4 的倍数；（ 3）末位数为 0 或 5。按此条件很容易找到这个六位数。解答不妨设补上三个数字后的位数为， 由于这个六位数被 4、5 整除，因为被 4

14、 整除，所以 c 不能是 5 而只能是 0，且 b 只可能是 2、4、6、8、0。又因，所以 3|（5+6+8+a+b+0），所以：当 b=2 时， 3|（5+6+8+a+2）， a 可为 0、 3、 6、 9；当 b=4 时， 3|（5+6+8+a+4）， a 可为 1、 4、 7；当 b=6 时， 3|（5+6+8+a+6）， a 可为 2、 5、 8；当 b=8 时， 3|（5+6+8+a+8）， a 可为 0、 3、 6、 9；当 b=0 时， 3|（5+6+8+a+0）， a 可为 2、 5、 8。为了使六位数尽可能地小，则 a 应取 0、b 应取 2、c 应取 0。故能被 3、 4

15、、5 整除的最小六位数应为 568020。 例 2四位数能同时被2、3、5 整除，问这个四位数是多少？思路剖析'.能同时被 2、3、 5 整除，所以满足以下三个条件：个位数字B 在 0、2、4、6、8之中，各位数字之和是3 的倍数，个位数B 在 0、5 之中。第一个和第三个条件都是针对个位数字的，所以先根据第二个条件确定百位数字A 。解答要使能同时被 2 和 5 整除，个位数字只能是 B=0；又要使能被 3 整除，所以各位数字之和 8+A+1+0=9+A 应能被 3 整除。可以看出，当 A 取 0、 3、 6、 9 时，各位数字之和 9+A 可以被 3 整除。所求的四位数是 8010、

16、8310、8610、8910。 例 3有两堆糖果，第一堆有513 块，第二堆有 633 块，哪一堆可以平均分给9个小朋友而无剩余？思路剖析本题实际上是判断513 与 633 能否被 9 整除。解答513 各位上数字之和是 5+1+3=9，能被 9 整除；633 各位上数字的和是 6+3+3=12，不能被 9 整除。所以，第一堆可以平均分给 9 个小朋友而无剩余， 第二堆平均分给 9 个小朋友还剩余 3块。 例 4有一个四位数是9 的倍数，求 A 的值。思路剖析四位数是 9 的倍数，即能被 9 整除，根据能被 9 整除的数的特征， 这个四位数的各位数字之和一定是9 的倍数。解答（ 1）当和是 9

17、 时， 3+A+A+1=9 ，即 2A=5 ，所以 A=2 5（舍）；（ 2）当和是 18 时， 3+A+A+1=18 ，即 2A=14 ，A=7 ；（ 3）当和是 27 时， 3+A+A+1=27 ，即 2A=23 ，可见 A=11 5>10（舍）。所以， A 的值是 7。'. 例 5一位马虎的采购员买了72 只桶，洗衣时将购货发票洗烂了， 只能依稀看到：72 只桶，共 67 9元（ 内的数字洗烂了），请你帮他算一算，他一共用了多少钱？思路剖析用整除性质：一个数能被两个数和的积整除， 那么这个数就能同时被这两个数整除。例如，整数 a 能被 15 整除，那么这个数一定能同时被 3

18、 和 5 整除。这种方法是分析整数问题的基本方法。解答将 679元看做 679分，这是 72 只桶的总价，因为单价 ×72=679，所以 679 能被 72 整除。 72=8×9，所以 679应该能被 8 和 9 整除。如果 679能被 8 整除，那么它的末三位一定能被 8 整除，即 8|79 ，容易算出 内是 2。因为 6792能被 9 整除，所以其各数之和能被 9 整除。+6+7+9+2=+24，显然，中的数只能是 3。所以这笔账是 367 92 元。答：一共用了 367 92 元。 例 6在 里填上适当的数字，使得六位数 678能被 8、9 和 25 整除。解答解法一

19、：根据8、 9 和 25 整除的数的特征很容易解出此题。这个六位数能被 25 整除，根据能被 25 整除的数的特征知， 六位数的末两位数可能是 00、25、50、75；该数又能被 8 整除，所以这个六位数的末三位数应能被 8 整除，而在 800、825、850、875 中只有 800 满足条件，所以这个六位数的个位、十位都是 0；又因为这个六位数能被 9 整除，所以这个六位数的各位数字之和 （不妨设首位为 x）为：x+6+7+8=21+x能被 9 整除，可推出 x 只能为 6，所以这个六位数为667800。解法二：根据数的整除性质（4）：如果一个数能被两个互质数中的每一个数整除，那么这个数也能

20、被这两个互质数的积整除。'.因为 8×25=200，而且 8 与 25 互质，根据整除的性质（4），所求的六位数能被200 整除，所以个位、十位都应该是0。然后由这六位数能被9 整除，和解法一一样的方法可知这个六位数为667800。例 7有一水果摊一天进货6 筐，分别装着香蕉和苹果， 重量为 8 千克、9 千克、16 千克、19 千克、23 千克和 27 千克。头一天卖出一筐苹果， 在剩下的 5 筐中，香蕉的重量是苹果重量的2 倍。问卖掉的那筐重多少千克？剩下的5 筐，哪几筐是苹果，哪几筐是香蕉？思路剖析根据已知条件： 剩下的 5 筐中香蕉的重量是苹果的 2 倍。可推出：剩下

21、的 5 筐中香蕉重量与苹果重量之和是 3 的倍数，即能被 3 整除。解答因为 6 筐水果的总重量： 8+9+16+19+23+27=102（千克），根据题意，剩下的 5 筐中香蕉与苹果总重量之和是 3 的倍数，那么卖出的一筐苹果也必须是 3 的倍数。从 6 筐水果数中可知有两种情况，卖出一筐苹果可能是 9 千克或是 27 千克。如果卖出的一筐苹果是9 千克，那么 102 9=93(千克 )。根据剩下的 5 筐中香蕉的重量与苹果总重量的 2 倍，则苹果为 93÷（ 1+2） =31（千克）。从剩下的 8、16、19、 23 和 27 中可知 8 千克和 23 千克为苹果（ 8+23=3

22、1）。最后剩下 16 千克、 19 千克和 27 千克这三筐为香蕉。如果卖出的一筐苹果是 27千克，同理，102 27=75(千克 )，苹果为 75÷(1+2)=25(千克 )，即 16 千克与 9 千克这两筐。香蕉便是最后剩下的 8 千克、 19 千克和 23 千克这三筐。所以本题有两种答案： 如果卖出的那筐是 9 千克苹果，则剩下的 5 筐中 8 千克、 23 千克两筐为苹果， 16 千克、 19 千克和 27 千克三筐为香蕉。如果卖出的那筐是 27 千克苹果，则剩下的 5 筐中 9 千克、16 千克两筐为苹果， 8 千克、19 千克、23 千克三筐为香蕉。例 8把 1 至 19

23、97 这 1997 个自然数依次写下来，得一个多位数123456789101112131994199519961997，试求这个多位数除以9 的余数。'.思路剖析根据一个数能被 9 整除的特征可以知道： 一个自然数除以 9 的余数，等于这个自然数各个数位上数字和除以 9 的余数。所以上面求多位数除以 9 的余数问题，便转化为求 1 至 1997 这 1997 个自然数中所有数字之和是多少的问题。解答解法一：因为 1 至 9 这 9 个数字之和为 45，所以 10 至 19，20 至 29，30 至 39， ， 80 至 89，90 至 99 这十个数的各位数位上的数字和分别为： 45+

24、10，45+20，45+30，45+40， ， 45+80，45+90。所以， 1 至 99 这 99 个自然数各位数字之和为：45+55+65+125+135=900因为 1 至 99 这 99 个自然数各数位上数字之和为 900，所以 100 至 199，200 至299， ，800至 899，900 至 999 这些 100个数各位数位上的数字和分别为： 900+100，900+200， ，900+800，900+900。所以， 1 至 999 这 999 个自然数各位上数字之和为：900+1000+1700+1800=13500因为 1 至 999 这 999 个自然数各位上数字和为1

25、3500，所以 1000 至 1999 这 1000个自然数各数位上的数字和为13500+1000=14500，这样 1 至 1999 这 1999 个自然数各数位的数字和为： 13500+14500=28000。1998、1999 这两个数各数位上的数字和为： 27、28。280002728=27945， 9 能整除 27945，所以多位数除以9余 0解法二：将 0 至 1999 这 2000 个自然数一头一尾搭配成如下的100 组：（ 0， 1999），（ 1，1998），（ 2， 1997），（ 3，1996），（ 4， 1995），（ 5，1994），（6，1993）（7，1992），

26、（8，1991）（ 9，1990），（ 10，1989）， ，（ 994，1005），（995，1004），（996，1003），（997，1002），（ 998，1001）（ 999，1000），以上各组两数之和为 1999，并且每一组数相加时都不进位， 1至 1999 这 1999 个自然数的所有数字之和等于：（ 1+9+9+9） ×1000=280001998、 1999 这两个数各位数上的数字之和为： 27、28。28000 27 28=27945，9 能整除 27945，所以多位数除以9 余 0。'.解法三：因为依次写出的任意连续9 个自然数所组成的多位数，一定能被

27、9整除。而从 1 至 1997 一共有 1997 个数，1997÷9=221 8，1990、1991、1992、1993、1994、1995、1996、1997 这 8 个数所有数位上的数字和为19+20+21+22+23+24+25+26=180，180 能被 9 整除，所以多位数除以9余 0。点津为什么依次写出的任意连续 9 个自然数所组成的多位数一定能被 9 整除呢？下面解释一下。因为任意连续的 9 个自然数的各数位上的数字和除以 9 的余数，必定是 0，1，2 ，7，8 这 9 个数，而这 9 个数的和为 36，36 能被 9 整除，所以任意依次写出的 9 个连续自然数组成的多位数一定能被 9 整除。发散思维训练1这个四位数，同时能被2、 3、 4、 5、 9 整除，求此四位数。255 块糖分给甲、乙、丙三人，甲分到糖的块数是乙的 2 倍，丙最少，但也多于 10 块，三个人各分几块？3已知 4205 和 2813 都是 29 的倍数， 1392 和 7018 是不是 29 的倍数？4老师买了 72 本相同的书， 当时没有记住每本书的价格， 只用铅笔记下了用掉的总钱数 137元，回校