导数、极坐标小测验

1、高二导数、极坐标小测验一、选择题1.已知函数yf(x)的图象如图，则f(xA)与f(xB)的大小关系是( )Af(xA)>f(xB) Bf(xA)<f(xB)Cf(xA)f(xB) D不能确定2任一作直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s3tt2，则物体的初速度是( )A0 B3 C2 D32t3已知曲线y2ax21过点(，3)，则该曲线在该点处的切线方程为()Ay4x1 By4x1 Cy4x11 Dy4x74若点P在曲线yx33x2(3)x上移动，经过点P的切线的倾斜角为，则角的取值范围是()A. B. C. D.5函数f(x)x3ax2在区间(1，)内是增函数，则实数a的取

2、值范围是()A3，) B3，) C(3，) D(，3)6已知a>0，函数f(x)x3ax在1，)上是单调减函数，则a的最大值为()A1 B2 C3 D47若函数f(x)asin xcos x在x处有最值，那么a等于()A. B C. D8设aR，若函数yeax3x，xR有大于零的极值点，则()Aa>3 Ba<3 Ca> Da<9函数f(x)的单调增区间是( )A(，1) B(1，) C(，1)，(1，) D(，1)，(1，)10在极坐标系中，点的圆心的距离为( )A2 B C D11将极坐标化为直角坐标为( )A B C D12化极坐标方程为直角坐标方程为( )A

3、 B C D二、填空题13直线与圆相交的弦长为 .14把曲线的图象经过伸缩变换得到的图象所对应的方程为 15.如图，内接于抛物线y1x2的矩形ABCD，其中A、B在抛物线上运动，C、D在x轴上运动，则此矩形的面积的最大值是_16已知函数f(x)x3ax2bxc，x2,2表示过原点的曲线，且在x±1处的切线的倾斜角均为，有以下命题：f(x)的解析式为f(x)x34x，x2,2f(x)的极值点有且只有一个f(x)的最大值与最小值之和等于零其中正确命题的序号为_三、解答题17在直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 ，M、N分别为C与x轴、y轴的

4、交点。写出C的直角坐标方程，并求M、N的极坐标；设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程。18若函数f(x)x3ax2(a1)x1在区间(1,4)上为减函数，在区间(6，)上为增函数，试求实数a的取值范围19.将圆上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C。写出曲线C的方程；设直线与C的交点为，P1、P2，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与垂直的极坐标方程。20设a为实数，函数f(x)ex2x2a，xR.(1)求f(x)的单调区间与极值；(2)求证：当a>ln 21且x>0时，ex>x22ax1.21已知函数f(x)x2ln x

5、.(1)求函数f(x)在1，e上的最大值和最小值；(2)求证：当x(1，)时，函数f(x)的图象在g(x)x3x2的下方22已知函数 （I）讨论函数的单调性； （II）证明：若答案1Bf(xA)和f(xB)分别表示函数图象在点A、B处的切线斜率，故f(xA)<f(xB)2B物体的初速度即为t0时物体的瞬时速度，即函数s(t)在t0处的导数s(0)s|t0(32t)|t03.3B曲线过点(，3)，32a21，a1，切点为(1,3)由导数定义可得y4ax4x，该点处切线斜率为k4，切线方程为y34(x1)，即y4x1.4B5Bf(x)3x2a.令3x2a0，则a3x2，x(1，)，a3.6C

6、由积分的几何意义及性质得0dx0，y|x|是偶函数，故C显然正确7C8Af(x)acos xsin x，由题意f0，即a·×0，a.9Cf(x)6dxf(x)dx6dx31215.10B由ya·eax30，得eax>0，a<0，0<eax<1，0<<1，a<3.11Cf(x)>0，又x1，f(x)的单调增区间为(，1)，(1，)12B由题意知，存款量g(x)kx (k>0)，银行应支付的利息h(x)xg(x)kx2，x(0,0.048)设银行可获得收益为y，则y0.048kxkx2.于是y0.048k2kx，令

7、y0，解得x0.024，依题意知y在x0.024处取得最大值故当存款利率为0.024时，银行可获得最大利益13(，1解析f(x)x，又f(x)在(1，)上是减函数，即f(x)0在(1，)上恒成立，又x2>0，故x22xb0在(1，)上恒成立，即x22xb0在(1，)上恒成立又函数yx22xb的对称轴为x1，故要满足条件只需(1)22×(1)b0，即b1.144解析若x0，则不论a取何值，f(x)0，显然成立；当x>0，即x(0,1时，f(x)ax33x10可转化为a，设g(x)，则g(x)，所以g(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减，因此g(x)maxg4，从而a4；

8、当x<0，即x1,0)时，f(x)ax33x10可转化为a，设g(x)，则g(x)，所以g(x)在区间1,0)上单调递增因此g(x)ming(1)4，从而a4，综上所述，a4.15.解析设CDx，则点C坐标为.点B坐标为，矩形ABCD的面积Sf(x)x·x (x(0,2)由f(x)x210，得x1(舍)，x2，x时，f(x)>0，f(x)是递增的，x时，f(x)<0，f(x)是递减的，当x时，f(x)取最大值.16解析f(x)3x22axb，由题意得f(0)0，f(1)f(1)tan 1.，a0，b4，c0.f(x)x34x，x2,2故正确由f(x)3x240得x1

9、，x2.根据x1，x2分析f(x)的符号、f(x)的单调性和极值点.x2(2，)(，)(，2)2f(x)00f(x)00x是极大值点也是最大值点x是极小值点也是最小值点f(x)minf(x)max0.错，正确17解f(x)x2axa1，由题意知f(x)0在(1,4)上恒成立，且f(x)0在(6，)上恒成立由f(x)0得x2axa10，即x21a(x1)x(1,4)，x1(0,3)，ax1.又x1(2,5)，a5，由f(x)0得x2axa10，即x21a(x1)x(6，)，x1>0，ax1.又x1(7，)，a7，同时成立，5a7.经检验a5或a7都符合题意，所求a的取值范围为5a7.18解

10、(1)f(x)x3ax2bxc，f(x)3x22axb，由fab0，f(1)32ab0得a，b2.f(x)3x2x2(3x2)(x1)，令f(x)>0，得x<或x>1，令f(x)<0，得<x<1.所以函数f(x)的递增区间是和(1，)，递减区间是.(2)f(x)x3x22xc，x1,2，由(1)知，当x时，fc为极大值，而f(2)2c，则f(2)2c为最大值，要使f(x)<c2，x1,2恒成立，则只需要c2>f(2)2c，得c<1或c>2.19.解如图所示，设BC为海岸线，A为渔艇停泊处，C为海岸渔站，D为海岸上一点AB9，AC3，B

11、C15.设由A到C所需时间为t，CD的长为x，则tx (0x15)，t令t0，解得x3，x27(舍)在x3附近，t由负到正，因此在x3处取得极小值又t(0)，t(15)，t(3)，比较可知t(3)最小在距渔站3 km处登岸可使抵达渔站的时间最短20解设每次订购电脑的台数为x，则开始库存量为x台，经过一个周期的正常均匀销售后，库存量变为零，这样又开始下一次的订购，因此平均库存量为x台，所以每年的保管费用为x·4 000·10%元，而每年的订货电脑的其它费用为·1 600元，这样每年的总费用为·1 600x·4 000·10%元令y

12、83;1 600x·4 000·10%，y·5 000·1 600·4 000·10%.令y0，解得x200(台)也就是当x200台时，每年订购电脑的其它费用及保管费用总费用达到最小值，最小值为80 000元21(1)解由f(x)ex2x2a，xR知f(x)ex2，xR.令f(x)0，得xln 2.于是当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，ln 2)ln 2(ln 2，)f(x)0f(x)2(1ln 2a)故f(x)的单调递减区间是(，ln 2)，单调递增区间是(ln 2，)，f(x)在xln 2处取得极小值，极小值为f(ln 2)eln 22ln 22a2(1ln 2a)(2)证明设g(x)exx22ax1，xR，于是g(x)ex2x2a，xR.由(1)知当a>ln 21时，g(x)取最小值为g(ln 2)2(1ln 2a)>0.于是对任意xR，都有g(x)>0，所以g(x)在R内单调递增于是当a>ln 21时，对任意x(0，)，都有g(x)>g(0)而g(0)0，从而对任意x(0，)，都有g(x)>0，即exx22ax1>0，故ex>x22ax1.22(1)解f(x)