理论力学复习资料

1、理论力学复习指南第一部分 静力学第1章静力学基本概念和物体的受力分析1 静力学基本概念力是物体间相互的机械作用，这种作用使物体运动状态发生变化或使物体产生变形。前者称为 力的运动效应，后者称为力的变形效应。力对物体的作用决定力的三要素：大小、方向、作用点。 力是一定位矢量。刚体是在力作用下不变形的物体，它是实际物体抽象化的力学模型。等效 若两力系对物体的作用效应相同，称两力系等效。用一简单力系等效地替代一复杂力系 称为力系的简化或合成。2 静力学基本公理力的平行四边形法则 给出了力系简化的一个基本方法，是力的合成法则，也是一个力分解成两个力的分解法则。二力平衡公理 是最简单的力系平衡条件。加减

2、平衡力系公理是研究力系等效变换的主要依据。作用与反作用定律 概括了物体间相互作用的关系。刚化公理给出了变形体可看作刚体的条件。3. 约束类型及其约束力限制非自由体位移的周围物体称为约束。工程中常见的几种约束类型及其约束力光滑接触面约束约束力作用在接触点处，方向沿接触面公法线并指向受力物体。柔索约束约束力沿柔索而背离物体。铰链约束约束力在垂直销钉轴线的平面内，并通过销钉中心。约束力的方向不能预先确 定，常以两个正交分量 Fx和Fy表示。滚动支座约束约束力垂直滚动平面，通过销钉中心。球铰约束约束力通过球心，但方向不能预先确定，常用三个正交分量Fx, Fy, Fz表示。:止推轴承约束约束力有三个分量

3、Fx , Fy , Fz。4. 受力分析对研究对象进行受力分析、画受力图时，应先解除约束、取分离体，并画出分离体所受的全部 已知载荷及约束力。画受力图的要点(1)熟知各种常见约束的性质及其约束力的特点。(2)判断二力构件及三力构件，并根据二力平衡条件及三力平衡条件确定约束力的方向。(3)熟练、正确表出作用力与反作用力。受力分析三步曲：分离物体、画主动力、画约束力（约束个数、约束类型、用约束力代替约束）第2、3章平面力系1. 力矩力矩是度量力对物体转动效果的物理量。平面问题中力F对0点之矩记为M0( F )= _ F h平面问题中力矩是代数量。合力矩定理平面汇交力系的合力对平面内任一点之矩等于各

4、分力对该点之矩的代数和，即Mo(Fr)八 Mo(F )2 平面力偶系的合成和平衡条件(1) 力偶与力偶矩 大小相等，方向相反，作用线平行的两个力F, F'组成力偶，力偶是一 特殊力系。力偶对物体只有转动效应，它与一个力不等效，不能用一个力来平衡。力偶只能与力偶平衡 (习题 2- 13)。力偶对物体的转动效应决定于力偶矩，即M (F , F ) = M 二 Fd力偶矩是代数量。取逆时针转向为正，反之为负。力偶对任意点之矩等于力偶矩，与矩心位置无关。力偶等效条件 同平面内的两个力偶，如力偶矩相等，则两力偶等效。力偶的等效性表明：只要力偶矩不变，可任意改变力的大小和力偶臂的长短；力偶也可在作

5、用面内任意移转。(2) 平面力偶系的合成同平面力偶系可合成为一合力偶，合力偶矩等于各分力偶矩的代 数和M八Mi(3 )平面力偶系的平衡条件力偶系平衡的必要和充分条件是：合力偶矩等于零，即Mi =0一个独立的平衡方程，可解一个未知量。3 .力的平移定理作用在刚体上的力， 可平行移动到刚体上任一点，平移时需附加一力偶，附加力偶的力偶矩等于原作用力对平移点之矩，称为力的平移定理。该定理表明，一个力可以等效于一个力和一个力偶。其逆定理表明，可将平面内的一个力和一个力偶等效于一个力。应用力的平移定理，将力系向一点简化的方法是力系简化的普遍方法。4 .平面力系向平面内一点简化力系向任一点 0(称简化中心)

6、简化，得到通过简化中心的一个力及一个力偶。力的大小、方 向决定于力系的主矢量，力偶的矩决定于力系对简化中心的主矩。力系中各力的矢量和称为力系的主矢量(简称主矢)。即F rF主矢量与简化中心位置无关。力系中各力对简化中心之矩的代数和称为力系对简化中心的主矩。即M。八 Mo(F)主矩与简化中心位置有关。5. 主矢和主矩的解析式如以简化中心为原点，建立直角坐标系Oxy则主矢与主矩的解析表达式分别为F r 八 Xj 、YjMo 二' Mo(F ) =' (xY -yXi)式中X i, Yi为力系中各力在坐标轴上的投影，x i, yi为力F i作用点的坐标。6. 平面力系平衡的必要和充分

7、条件力系的主矢和主矩都等于零，即：Fr ", F -0Mo =嘉 M°(F )= 0平面力系平衡方程的三种形式基本形式二力矩式三力矩式H X = 0HY = 0Z Mo(F) = 0H X = 0迟 Ma(F)= 0Z Mb(F) = 0A B连线与x轴不垂直Z Ma(F)= 0 送 M b(F) = 0Z M c (F) = 0A B C三点不共线第4章.空间任意力系1 计算力在空间直角坐标轴上的投影有两种方法一次直接投影法X = F cos：,Y =F cos :,Z =F cos二次(间接)投影法。X = F sincos = Fxy cos = F cos cos

8、Y = F sinsin二 Fxy sin 二 F cos= sin ：Z = F cos 二 F sin -2. 力对轴之矩力对轴之矩是力使物体绕轴转动效果的度量，是代数量，可按定义或解析式计算 当力与轴相交或平行时，力对该轴之矩等于零。3力对点之矩力对点之矩是力使物体绕该点转动效果的度量，是定位矢量。表为力对点之矩在过该点某轴上的投影等于力对该轴之矩。Mo F 二Mz F i M z Fj Mz F k4 合力矩定理力系的合力对任一点之矩等于力系中各力对该点之矩的矢量和，即Mo Fr 八 Mo(F)5力偶矩矢力偶矩矢是表示力偶三要素的自由矢量，它完全决定了力偶对物体的作用。若两力偶的力偶矩

9、矢相等，则两力偶等效。6 空间力系的合成空间汇交力系合成为通过汇交点的一个合力，其合力矢Fr = ' F空间力偶系合成为一合力偶，其合力偶矩矢M =1 M i空间任意力系向任一点 0简化，得到作用在简化中心 0的一个力和一个力偶， 力的大小、方向 决定于力系的主矢量，力偶矩矢决定于力系对0点的主矩，即Fr 八 FM。八 M o(F)7 空间力系平衡的必要和充分条件空间任意力系平衡的必要和充分条件是：力系的主矢和对任一点的主矩等于零，即M o(F )= 08.空间力系平衡方程的基本形式空间汇交力系空间力偶系空间平行力系空间任意力系' X =0' Mx( F ) = 0&#

10、39; Z 二 0' X 二 0、Mx(F ) = 0' Y =0、M y(F )=0Mx(F )= 0' Y 二 0v My(F ) = 0' Z =0M z( F )= 0My(F )= 0' Z 二 0Mz(F )= 09.物体的重心重心是物体重力的合力作用点。均质物体的重心与几何中心形心重合。重心坐标的一般公式是XcycZc7PXiP厶RyiPv 厶RZiPXcvX dVV对于均质物体ycZcv ydV-VVZ dV_ V第5章摩擦1. 基本概念动滑动摩擦、静滑动摩擦当物体处于临界平衡状态时，静摩擦力的大小F与相互接触物体之间的正压力大小与正比。

11、第二部分运动学第6章点的运动1 矢量法M点位置确定r运动方程r =r t轨迹：矢端曲线-r dr -速度v = limr方向沿轨迹切线Atdt、v _-加速度a = lim v = rA t2、直角坐标法M点位置确定x, y, z运动方程x=f 1(t), y=f2(t), z=f3(t)轨迹运动方程消去时间参数 t，即可得到轨迹的曲线方程。速度v = xiyjzk；"2 丄"2 丄"2 v = , x y - z cos v,x 二 xv cosv,y=y v cos v,z = z v加速度a = xi yj zka =x2y22-zcosa,x=x a co

12、sa,y=y acosa,z = za3. 自然法前提：点的轨迹已知弧坐标的建立：在轨迹上确定M0点，规定“ +”，“-”M点位置确定：弧坐标 s运动方程s = f (t)速度V 二 s. v 二 S2加速度a = s nPa春二s'切向加速度"2san法向加速度Ptan： =a第7章刚体的基本运动1 平动刚体平动的特点是：刚体上各点的轨迹形状、速度及加速度相同。因此，只要求得刚体上任 点的运动，就可得知其它各点的运动，从而确定整体运动。2 .定轴转动描述定轴转动刚体的位置用角坐标运动方程-ft角速度d © =屮dt角加速度:.=d '-dt或3 = k为在

13、z轴上的投影；a = ： k为在z轴上的投影。定轴转动刚体上各点速度 V及加速度a的计算:速度v = 3 r，或 v=R,R为点到转轴的距离。加速度a = a r 3 v其中a、.广a r , 或a . =切向加速度;an =3 v , 或a R 法向加速度。第8章点的合成运动1 .定系和动系理论上讲，若存在两个有相对运动的坐标系，则可指定其中一个为定系，另一个即为动系。但 工程上一般以固定在地面上的坐标系为定系，相对于定系运动着的坐标系称为动系。2 .动点和牵连点动点为研究的对象，是本章的主角。牵连点是动点在动系上的重合点，随动点的相对运动而变，是动系上的点，不同瞬时，有不同的牵连点，弄清牵

14、连点的概念十分重要。3 .三个运动的关系绝对运动一一动点相对于定系的运动；相对运动一一动点相对于动系的运动；牵连运动一一动系相对于定系的运动。(1 )速度合成定理Va = Ve Vr(2 )加速度合成定理其中当动系平动时aa aearaCac = 2g x vrg = 0 , a c = 04 .应用例摇杆滑道机构已知 h、I v、a求：0A干的解：1. 选取动点、动系、静系： 动点：杆BC上销子D点, 动系：固连摇杆OA, 静系：固连地面(机架)。2. 三种运动分析：3. 三种速度分析由速度合成定理:ve =vacosr -vcosr,h 、cos2r二 ve/OD 二 vcos"

15、() = vcosh5.加速度分析：因牵连运动为定轴转动，vraa-T- ae ae ar ak故有大小a?2OD 2?2 vr方向已知已知已知已知已知v cos2 )2hvcos=2 vr = 2vsin vh作加速度矢量关系图求解：将上式投影到沿切线的n h aev2 cos3ak6.cost轴上，得:aa cost - ae akae =ak aacosr 二 2v2 cos2 二sin ' acos, haJv2a2 匚-2 cos v sin 2 cos rODh2h第9章刚体的平面运动1 .刚体平面运动定义刚体作平面运动的充要条件是：刚体在运动过程中，其上任何一点到某固定平

16、面的距离始终保持不变。2 .平面运动方程刚体的平面运动可以简化成平面图形在平面上的运动。运动方程：| Xa = Xa (t )yA = yA(t)=(t)其中A为基点。如果以 A为原点建立平动动系 Ax' y'，则平面运动分解为跟随基点(动系)的平动和相对于基点(动系)的转动。3 .平面运动刚体上各点的速度分析(1)基点法-应用速度合成定理：VB = vA VBA(2) 速度投影定理(由基点法推论)：刚体上任意两点的速度在这两点连线上的投影相等。(VB)AB(3) 瞬心法(由基点法推论)瞬心是瞬时速度为零的点，把瞬心作为基点求速度的方法，为瞬心法。4 .加速度分析只推荐用基点法

17、分析平面运动刚体上各点的加速度+ n_a o a moaMO第三部分动力学第10章质点运动微分方程1 牛顿第二定律牛顿第二定律为质点的质量与加速度的乘积等于作用在质点上力系的合力，即ma八F它是解决质点动力学的基本定律。2 质点运动微分方程矢量形式mr = 7 Fdv m=E Fdt2直角坐标形式自然坐标形式ml=：Z Fn »P0=送 FbJ研究非自由质点动般在研究自由质点的运动时，常采用直角坐标或极坐标形式的微分方程, 力学问题时常采用自然坐标形式的微分方程。3 质点运动微分方程的应用运用质点运动微分方程，可解决质点动力学两类问题，即(1) 已知质点的运动规律，求作用在质点上的力

18、，通常是未知的约束力。这是点的运动方程 对时间求导数的过程。(2) 已知作用在质点上的力，求质点的运动规律。这是运动微分方程的积分过程，或求解过 程。对于多数非自由质点，一般同时存在以上动力学的两类问题， 对于这种问题一般首先解除约束 以相应的约束力代替， 根据已知的主动力及运动初始条件， 求解质点的运动规律；然后在运动确定 的条件下再求解未知约束力，约束力一般包括静约束力和附加动约束力两部分。利用质点运动微分方程求解质点的运动规律时，视问题的性质，可采用两种分离变量的方法对微分方程进行积分，即dva =dt亠dv dsdv d i v2 '或av” ds dtds ds 12 丿质点

19、的运动规律还决定于初始条件，利用运动的初始条件，可确定定积分的下限或不定积分的积分常数。视问题的性质，也可以用解微分方程的方法求解。4 解决质点动力学问题的步骤(1) 分析质点的受力，分清主动力与约束力。对非自由质点需解除约束，以约束力代替。主动力一般为已知，约束力通常是未知的， 但其方向往往可根据约束的性质确定。画出质点的受力图。(2) 分析质点的运动， 画出质点的运动分析图，一般包括广义坐标，加速度、速度在坐标上的分量等。(3) 列写质点运动微分方程。列方程时要注意力及运动量在坐标上投影的正负号。(4) 微分方程的求解及问题的进一步讨论。第11章动量定理1 质点系动量的计算质点系的动量为质

20、点系中各质点动量的矢量和，即p二' mv在直角坐标系中可表示为p = (' mvx) i (' mvy) j (' mvz)k质点系的动量还可用质心的速度直接表示，即p = x mv = M vC2 质点系动量定理质点系动量定理建立了质点系动量的变化率与外力主矢量之间的关系，可表示为如下几种形式：质点系动量定理M aCF 佝质心运动定理3 动量定理的应用应用动量定理解质点系动力学问题时，应注意以下几点：(1 )质点系动量的变化与内力无关。应用动量定理时，必须明确研究对象，分清外力与内力, 只需将外力表示在受力图上。(2) 应用动量定理可解决质点系动力学的两类问题

21、，即已知力求运动的问题和已知运动求力 的问题。一般用动量定理求未知约束力。(3) 当外力系的主矢量为零时，系统的动量守恒，即左一口卫一工“？叫一常矢量外力系的主矢量在某一轴(如 x轴)上投影为零时，系统的动量在该轴上的分量为一常数母门_匚貝；工陛巧厂和、_常数1. 转动惯量刚体对Z轴的转动惯量第12章动量矩定理JZ 二"mr22 质点系动量矩质点系对任意一点的动量矩为质点系中各点的动量对同一点的矩的矢量和，即质点系对轴z动量矩Lz 八 mz(mM)- L。lz平动刚体Lo 二 mo(mvc)二 rC mVc定轴(z轴)转动刚体Lz二Jz - 平面运动的刚体Lz二mz (mVC) J

22、c3 .质点系动量矩定理质点系的动量矩定理建立了质点系动量矩的变化率与作用于质点系上外力的主矩之间的关系。 可表示为如下几种形式：(1) 对固定点的动量矩定理质点系对固定点的动量矩对时间的一阶导数，等于外力系对同一点的主矩，即dtm°(F；(e)rMo(e)dLy(e)(e)話 Fy(Fj >My()dLz(e)(e)矿 mz(Fi戶Mz咗八 mc(Fi(e) = Mc(e)dt(3)刚体绕固定轴转动的微分方程Jz：二 Mz(e)Jzd Mz(e)或dt4 .刚体平面运动微分方程M Xc =无X，(e)M yc 八丫 ,Jc ' mC(F(e);5.动量矩定理的应用在应

23、用动量矩定理时，应注意以下几点：,d2z dt1 2 3=M(e)z用投影式表示为dLx(e)(e)dt = mx (Fi)=Mx(2) 相对质心动量矩定理质点系相对质心的动量矩对时间的一阶导数等于外力系对质心的主矩。即分清内力Mo二0 时，L。二常矢量或对某轴（如z轴）的外力矩为零时，质点系对该轴的动量矩守恒。即Mz二0 时，Lz二常数第13章动能定理1.质点系动能的计算1 2质点的动能：Tmv22质点系的动能等于质点系内各质点动能的总和，即2miv（2 ）刚体动能的计算平动刚体：定轴转动刚体：平面运动刚体：1Mv2JZ 2T 二丄 Jp 2 = Mv； 1 Jc 2 2 2Jz；Jc；Jp

24、分别为刚体对固定轴，质心轴和瞬心轴的转动惯量2. 力的功的计算作用在质点系上的力通常为变力，变力的元功为W = F.ds力在有限路程上的功为WX2 - Q磁 + 跆 + Zdz)如（1）重力在有限路程上的功为即决定于轨迹两端的高度差，而与轨迹形状无关。（2）弹性恢复力在有限路程上的功为-专）而与轨迹形其中"为弹簧刚度系数，弹性恢复力的功仅决定于质点在轨迹两端时弹簧的变形, 状无关。3. 动能定理微分形式的动能定理：dT = a :W积分形式的动能定理：T2 -T, =' W动能定理给出了质点系在运动过程中速度与位置的关系。具有理想约束的一个自由度系统，利用动能定理就可以决定质

25、点系在已知主动力作用下的运动规律。4. 机械能守恒在理想约束的情况下，若作用在系统上的主动力有势，则系统的机械能守恒，即TW =E应用机械能守恒定律可得到系统运动微分方程的初积分。常见势力的势能，（1）重力势能V = TfflgZ式中由零势面铅垂向上为正。（2）弹性恢复力势能V = -U2式中为弹簧的变形量。以弹簧原长处为势能零点。5. 普遍定理的综合应用普遍定理提供了解决质点系动力学问题的一般方法。在许多较为复杂的问题中，往往需要联合应用几个普遍定理以求得问题的解答。例如时常遇到这样一种类型的问题：已知作用于系统上的主动力，需求系统的运动及未知约束力。这时应首先根据系统中各物体的运动情况及系

26、统所受力的特 点，考虑应用哪一个普遍定理可以建立已知的主动力和运动的关系，在理想约束的情形下，应用动能定理常常可以做到这点。由反映这些关系的方程求得系统的运动后，再应用相应的普遍定理，通 常是应用动量定理或动量矩定理，以求出未知的约束力。刚体作平动、定轴转动、平面运动时惯性力与惯性矩的施加。平面汇交力系与平面力偶系 重点难点分析重点：受力分析。难点：平衡关系的建立。解题指导：解析法：（1）仔细审题。这就是要弄清题意，明确已知量和未知量，选取适当的分离体，使要求的未知 量都能被表示在分离体上。（2）画受力图。利用所给出的各种支座和连接的力学模型，画出正确的受力图。特别要善于应 用二力杆和三力平衡

27、定理的概念，以减少未知力的个数。（3）选取坐标系。选取的原则是尽量使一个平衡方程中，只包含一个未知数。通常使一坐标轴 与某一未知力的作用线垂直。（ 4） 列平衡方程。（ 5） 解平衡方程。求得的力的绝对值表示力的大小，力的正负号表示在受力图中所假设的力的 指向是否与实际的指向一致。几何法：（ 1） 仔细审题。（ 2） 画受力图。（此两步骤与解析法相同，所不同的是要事先假定约束反力的指向） 。（ 3） 选择适当的比例尺，根据受力图，作封闭的力的三角形或封闭的力的多边形。作图要先从 已知力开始。（ 4） 用比例尺和量角器从封闭的力的三角形或多边形中确定。平面任意力系 力的平移定理，平面任意力系的简

28、化，平面任意力纱的平衡方程。求解平面静定桁架的内力：（ 1） 节点法。 逐个地取节点为研究对象，应用平面汇交力系的平衡方程，求出各杆的内力。（ 2） 截面法。 将待求内力的杆截断，把桁架分割成两部分， 取其中一部分为研究对象，应用平面任意力系的 平衡方程，求出各杆的内力。重点难点分析 重点：选取平衡对象，建立平衡方程。难点：刚体系统的平衡问题。解题指导解题步骤：1 对于单个刚体的平衡问题，其解题步骤为：（ 1） 取分离体。根据问题的要求，选择合适的平衡对象，并取出为隔离体。（ 2） 画受力图。根据平衡对象与周围物体的联系，确定约束的性质，并根据约束性质分析约束 力，应用作用与反作用定律，分析隔

29、离体所受力的可能方向和作用线，画出隔离体的受力 图。（ 3） 列平衡方程求解。建立已知力与未知力之间的关系，求解未知力。2 对于刚体系统平衡问题 求解刚体系统平衡问题的基本方法与分析单个刚体平衡问题的方法大体相似，但也有一些差异。根据刚体系统平衡问题的特点，求解刚体系统平衡问题，一般可按下列步骤进行：（ 1） 判断刚体系统的静定与超静定性质，只有肯定了所给的刚体系统是静定的，才着手求解。 对于超静定问题，需要平衡方程联合相应数量的补充方程才能求解。（ 2） 先考虑整体平衡，求得某些未知的约束力，然后根据要求的未知量，选择合适的局部或单 个刚体作为研究对象，根据约束性质及作用力与反作用力定律，区

30、分施力体与受力体，区 分内力与外力，画出研究对象的受力图。（ 3） 分别考虑不同研究对象的平衡，建立平衡方程，求解未知量。方法与技巧1 单个刚体求解过程中要注意以下问题（ 1） 对单个物体的平面任意力系问题，其解步骤与平面汇交力系问题的解题步骤基本相同，不 同之处是平面任意力系的独立平衡方程有三个，可解出三个未知数。（ 2） 要根据实际情况，选择合适的坐标轴，尽量使一个平衡方程中出现一个未知力。（ 3） 建立平衡方程时，要考虑力系中所有的力，任何一个力都不能遗漏。（ 4） 要正确确定每一个力在坐标轴上投影的大小和正负号，特别要注意正负号。（ 5） 当未知约束力的作用线确定， 而方向不能确定时

31、（一般情况下均如此） ，可以先假定方向 （ 般假定约束力的正方向与坐标轴正向一致） 。然后，根据所得结果的正负号，判断未知约束 力的实际方向：若所得结果为正，则实际方向与所设方向一致；若为负，则实际约束力的 方程与所设方向相反。（ 6） 当未知约束力的作用线不能确定时，可先假设未知约束力在两个坐标上投影的方向（一般 设为正向）。然后建立平衡方程，这时，约束力的投影方向为已知，投影大小为未知。由平 衡方程求得约束力投影的大小，唧 可求得相应的约束力。2 刚体系统求解求解过程中需要注意的几个问题（ 1） 当有几个平衡对象可供选择时，应考虑选择哪能一个最合适，或者先选择哪能一个，然后 再选择哪一个。

32、选择的原则是，能够利用平衡条件确定某些未知力（不一定确定全部未知 力）的部分应优先考虑。（ 2） 当刚体间相互作用力的方向无法确定时，可以称假设其方向。必须注意的是，当所求结果 为负时，表示施力体作用在所研究的刚体上的方向与实际方向相反。（ 3） 画各个构件的受力图时，要特别注意作用与反作用定律、二力平衡及三力平衡定理等概念 和原理的应用。虽然所有构件的受力图对建立平衡方程及求解所感兴趣的未知数不一定都 有用，但是同时画出所有构件的受力图，会减少受力分析的错误。（ 4） 建立平衡时，应尽量使一个平衡方程中只出现一个未知力，以避免求解联立方程。（ 5） 解方程时，若求得的约束反力为负值，说明在受

33、力图中假设的约束反力方向与实际方向相 反。但若用它代入另一方程中求解其他未知数时，应连同其负号一并代入。（ 6） 可以利用解题过程中尚未被选为研究对象的刚体，对其作受力分析，建立平衡方程，以验 证所得结果的正确性。（ 7） 铡体系的平衡问题是静力学的重点内容，多数情况下，是各种考试心肝考的内容。3 受力分析时应注意的几个问题（ 1） 怎样根据问题的性质，选取合适的研究对象。所谓“合适” ：一是指在研究对象上既有未知 力又有已知力；二是指所选择的研究对象上受力比较简单。（ 2） 一定要根据约束性质确定研究对象上所受力约束力，力争做到，在研究对象上每画一个力 都有充分的依据，切忌主观随意以及毫无根

34、据的猜测。4 刚体系统的“内力”和“外力”1） 刚体系统或其分系统中的各个刚体之间的相互作用力，对于系统而言，都是“内力” 。内力 总是成对出现的，它们两两大小相等，方向相反，而且作用在同一条直线上。2） 当考虑刚体系统的平衡问题时，要特别注意那种对于系统是内力，对局部或单个刚体却是 外力的力。这种力很容易被漏掉。5 刚体系统的“整体平衡”与“局部平衡”当刚体系统处于平衡状态时， 其中的每一个局部以及每个刚体也必然处于平衡状态。 反之亦然。因 此，求解刚全系统的平衡问题时，作用于系统及每个局部上的力系，既满足整体的平衡要求，也满 足局部的平衡要求。 （此为刚化公理应用之结果）空间力系空间任意力

35、系平衡方程（六个） ，重心（对称法，组合法，积分法，实验法） 重点难点分析重点：空间任意力系简化；重心计算。难点：空间几何关系。解题指导：解题步骤空间力系平衡问题的解题步骤和方法与平面力系基本相同， 即取研究对象， 画受力图和列写平 衡方程求解等。另外还需注意以下几点：（ 1） 首先要对研究对象，受力情况与所选坐标轴之间的关系有清晰的空间概念，并能正确 地表示出空间的约束力。（ 2） 熟练地计算力在空间坐标轴上的投影和力对轴的矩。（ 3） 当力与坐标轴相交或平行时，力对该轴之矩等于零。在建立力矩方程时，应使力矩轴 与尽可能多的未知力平行或相交。以减少方程中的未知量，简化计算。（ 4） 空间力系

36、的独立投影平衡方程总数不能超过三个，而独立的力矩平衡方程可以超过三 个（甚至多达六个） 。有时用力矩平衡方程代替投影平衡方程较方便，但应注意力矩平 衡方程的独立性。 （三个力矩平衡方程形式的平衡方程为基本式平衡方程， 相应的还有 四矩式、五矩式、六矩式平衡方程。如同平面任意力系的二科研项目式、三矩式平衡 方程，四、五、六矩式平衡方程也有限制备件。在使用四、五、六矩式平衡方程过程 中，一般也不会出问题。只要所列的方程能把要求的全部求出，则所列的平衡方程一 般就没有违反平衡方程的聘用制条件。 ）（ 5） 空间任意力系是力系中最一般的情形，空间任意力系的平衡方程是平衡方程最一般的 形式，空间（平面）

37、汇交（共点）力系、空间（平面）力偶系、平面任意力系、空间 （平面）方法与技巧，空间力系求解过程中要注意以下问题： 要根据实际情况，选择合适的坐标轴，尽量使平衡方程写得简单，解得简单。 建立平衡方程时，要考虑力系中所有的力，不能遗漏。要正确确定每一个力的坐标轴上投影泊大小和正负号，特别要注意正负号。 当未知约束力的方向不能确定时（一般情况下均如此） ，可采用设正法及分量形式确定。 当有几个平衡对象可供选择时，应考虑选择哪一个最合适， 选择的原则是， 在研究对象上 既有未知力又有已知力， 能够利用平衡条件确定某些未知力 （不一定确定全部未知力）的部分 应优先考虑。必须注意的是， 当所求结果为负时，

38、 表明施力体作用在所研究的刚体上力的方向与实际方 向相反。根据作用力与反作用力定律， 这一刚体对于施力体的反作用力亦与原假设的方向相反。 因此，当下一步以施力体作为研究对象时， 可以将所设之反作用力的方向改成与实际方向一致， 然后建立平衡方程，也可以不改变其作用方向，而将上一步所得的负值代入平衡方程。可以利用解题过程中尚未被选为研究对象的刚体， 对其作受力分析， 建立平衡方程， 以验 证所得结果的正确性。建立力矩平衡方程时， 所选择的坐标轴应尽量与某些未知力作用线相交或平行。 这样，在 一个力矩平衡方程中出现的未知力就比较少，从而使计算简化。在很多情形下，空间力系的六个平衡方程中，有几个是自然

39、满足的， 这些方程是无助于求 解未知力，因而无需写出。摩擦重点：考虑摩擦的平衡问题。难点：运动状态不定时的有摩擦平衡问题。点的运动学重点难点分析1 重点：点的运动的基本概念（速度与加速度，切向加速度和法向加速度的物理意义等） 选择坐标系，建立运动方程，求速度、加速度。求点的运动轨迹。2 难点：运动方程的建立。解题指导：1 第一类问题（求导） ：建立运动方程然后求导。若已知点的运动轨迹，且方程易于写出时，一 般用自然法，否则用直角坐标法。根据点的运动性质选取相应的坐标系，对于自然法要确定坐 标原点和正向。不管用哪种方法，注意将点置于一般位置，而不能置于特殊位置。根据运动条 件和几何关系把点的坐标

40、表示为与时间有关的几何参数的函数，即可得点的运动方程。2 第二类问题（积分） ：由加速度和初始条件求运动方程，即积分并确定积分常数。刚体的简单运动重点难点分析：1 重点：刚体平移、定轴转动基本概念；刚体运动方程，刚体上任一点的速度和加速度。2 难点：曲线平移。解题指导：首先正确判断刚体运动的性质。 其后的分析与点的运动分析一样分两类问题进行。 建立刚体运 动方程时，应将刚体置于一般位置。点的合成运动重点难点分析：1 重点：动点和动系的选择；三种运动的分析。速度合成与加速度合成定理的运用。2 难点：动点和动系的选择。解题指导：1 动点的选择、动系的确定和三种运动的分析常常是同时进行的，不可能按顺

41、序完全分开。2 常见的运动学问题中动点和动系的选择大致可分以下五类：（ 1） 两个（或多个）不坟大小的物体独立运动， （如飞机、海上的船舶等）对该类问题，可根据 情况任选一个物体为动点，而将动系建立在另一个物体上。由于不考虑物体的大小，因此 动系（刚体）与物体（点）只在一个点上连接，可视为铰接，建立的是平移动坐标系。（ 2） 一个小物体（点）相对一个大物体（刚体）运动，此时选小物体为动点，动系建立在大物 体上。（ 3） 两个物体通过接触而产生运动关系。其中一个物体的接触只发生在一个点上，而另一个物 体的接触只发生在一条线上。选动点为前一物体的接触点，动系则建立在后一物体上。此 时，那条线就是动

42、点的相对运动轨迹。（ 4） 两个物体或多个物体通过接触或约束而产生运动关系。其中两个物体的接触也有上述点、 线关系，但提供线的物体运动状态不简单，而其上有运动状态已知或明确的点。此时，将 此点选为动点，动系建立在接触处的物体（如套筒）上。（ 5） 两个物体通过接触而产生运动关系。两个物体各为接触提供了一条线。对此类问题通常有 两种分析方法： A 如果一个物体的接触线是圆弧，则选其圆心为动点，动系建立在另一物 体上； B 假想有一个忽略大小的环套在两条接触线上，将其设为动点，分别将动系建立在 两个物体上，共同研究小环的运动。此时两条线分别是小环在两个动系的相对运动轨迹。3 选择动系时通常希望相对

43、运动简单明确，但不是所有问题都能做到这一点。（如第一类问题多数不能明确相对运动轨迹。此时可将相对速度分解为两个垂直分量来计算。4 速度和加速度合成定理是矢量式， 各可以建立两个投影方程， 如果未知数过多将无法全部求得。 可以选择适当的投影轴，使得不需计算的未知短量垂直于投影轴，减少方程中的未知数。5 速度和加速度合成定理表示的是合成关系，不是平衡方程。在写投影方程时，应先写绝对速度 （加速度）的投影和等号，再写等号右边的各个加速度的投影。要注意投影的正负号。6 有些问题最后关心的是加速度，但在计算时首先要分析速度，在不是很困难的情况下最好将动 点的各个速度都计算出来，以备加速度分析使用。7 要

44、注意不能遗漏关于简直氏加速度的分析，正确判断其方向、计算其大小。刚体的平面运动重点难点分析：重点：平面运动的分解；基点与动点的选择；速度瞬心的确定；投影方程的建立。难点：运动学综合问题的求解。解题指导：1. 刚体的平面运动可以视为跟随基点的平移与绕基点转动的合成，也可以有其他的分解方 法。2. 基点的选择是任意的，一般选运动状态已知的点。基点不同，随基点平移的速度、加速度 等将有变化，但平面运动刚体转动的角速度、角加速度是不随基点的选择而变的。3. 平面运动刚体内的点的速度计算常用的有三种方法，即基点法、速度投影法和瞬心法，它 们各有特点：(1) 基点法：该方法延续了点的合成运动的分析思路，通

45、用性强，适用于计算各种运动学 物理量。但计算步骤多，不灵活。(2) 投影法：该方法在计算速度时是最快捷的。但它却只能用来求速度。(3) 瞬心法：该方法可以用来求速度，也可用来计算角速度。缺点是有时几何关系复杂。4. 在点的合成运动与刚体的平面运动结合，就构成了复杂的运动学综合问题。对于这类问题常可用“逆向分析，顺向求解”的方法。即先对要计算的物理量进行分析，找出合成关系,看看合成关系中哪些是待求的，再对这些待求的物理量进行分析，找出合成关系，再看要 计算哪些量，依次类推，直到可用已知条件求解。而求解过程与分析过程顺序正好反向。5. 在综合问题坟解时常遇到某一中间物理量是其他物理量的短期聚落量运

46、算结果，对这种结 果不一定要求出，而是可将这种关系式直接代入后面的运算过程中。6. 与点的合成运动分析一样，有的物理量方向可以假设，如切向加速度等，但法向加速度和 简直氏加速度的方向一般是可以确定的，不能任意假设。方向反了就会得到错误的结果。质点动力学d2rcdt2八Fi是整个动力学任务的中心问题，十。也有些混合问题，即已知部分建立质点运动微分方程的方法，或质点动力学的建模方法, 分重要。已知运动求力(第一类问题)和已知力求运动(第二类问题) 运动和部分力，求未知的运动和力。基本要求:1. 理解质点动力学基本方程和基本概念。2. 能正确建立直角坐标形式与弧坐标形式的质点运动微分方程。3. 掌握

47、质点动力学两类基本问题的解法。对运动初始条件的力学意义及其在确定质点运动规 律中的作用有清晰的认识。重点难点分析：重点：建立质点运动微分方程；掌握两类问题的解法。质点的运动规律不仅取决于质点的质量和作用力，还与质点运动的初始条件 (运动开始时质点的位置和速度)有关。在第二类问题中，积分常数或定积分的上下限由初始条件决定。在数值计算中，常用投影形式的微分方程。在建立运动微分方程时，应该注意各物理量投影的正负号。微分方程等号左边总设为正，等号右边是力在坐标轴上的投影，应注意投影的正负。一般情况下，力是时间、速度和位置的函数。因此，加速度也是这些参量的函数。在求解动力 学问题时，不要无根据地用交变速

48、或交速运动公式。在静力学中，约束反力只决定于主动力。但在动力学中，约束反力不仅与主动力有关，还与质点的加速度有关。在求约束反力的动力学问题中，要特别注意。难点：经变量代换再积分的方法。对于第二类问题：当力是常量或F = F(t)时，直接分离变量，逐次积分。当F = F(x)或F二F(v)时，先变量代换，再分离变量积分。也可用常系数二阶线性微分方程求解。当力的函数非常复杂或是非线性方程时，用计算机按数值积分方法求解。动量定理 动量与冲量1. 动量P 八 mivi(1) 质点的动量：质点的质量与速度的乘积p = mv(2) 质点系的动量：质点系内各质点动量的矢量和(动量主矢)(3) 质点系的动量还

49、等于质点系的总质量与质心速度的乘积P =：mvc(1) 力的元冲量：在微小时间间隔内，力的元冲量为：dl二Fdt(2) 在时间间隔t1t2内，力的冲量为:23. 质心坐标公式' m r质点系质心(质量中心)C到某固定点的矢径rC为 rcm动量定理1. 动量定理(1 )质点的动量定理d -微分形式：质点的动量对时间的一阶导数，等于作用于质点上的力，即：丄(mv)二Fdt积分形式：在一段时间内，质点动量的变化，等于作用力在同一时间内的冲量，即：t2mv2 -mw = t Fdt 二 I(2) 质点系的动量定理，即:微分形式：质点系动量对时间的一阶导数，等于作用于质点系上外力的矢量和(外力主

50、矢)dPdt八Fi积分形式：P2 - P1 - Ie等于具体计算中，常用动量定理的投影形式：即质点系动量在坐标轴上的投影对时间的一阶导数， 作用于质点的所有外力在同一轴上的投影的代数和。质点系动量在某方向上投影的变化，等于作用于质点系所有外力冲量在同一方向投影的代数和。2. 动量守恒定理3 定常流形式的动量定理 附加动压力质心运动定理1 .质心运动定理:m2dt22. 质心运动守恒定理: 基本要求：1. 深刻理解质点系的动量、质心的概念。2. 熟练计算质点系的动量和质心坐标。3. 掌握动量定理与质心运动定理的各种表达形式，并熟练应用它们求解动力学问题。重点难点分析重点：1. 质点系的动量；2.

51、 动量定理与质心运动定理的各种表达形式。动量及冲量都是矢量，是有大小和方向的量。质心运动定理与牛顿第二定律在数学形式上相似，但意义不同。牛顿第二定律是公理，它描述 的是质，即质点的质量与加速度的乘积等于力。质心运动定理是导出的定理，它描述的是质点 系质心的运动规律。难点：动量定理中力的计算。质点系的内力总是成对出现的， 因此内力的主矢为零， 对任一点的主矩也为零。 内力冲量的矢 量和亦为零，这是内力的三个重要性质。只有外力才能改变质点系的动量，因此在质点系的动量定理中根本不考虑内力。解题指导1.动量定理常见题目类型：(1)求约束反力力问题；(2)突然解除约束问题；(3)已知主动力求运动冋题;(

52、4)综合动力学问题。2. 解题步骤：(1) 选定研究对象：可以选质点，也可以选质点系，在千金情况下，取整体为研究对象往往会 对解题带来方便，因为系统的内力不必考虑。(2) 进行受力分析和运动分析。(3) 建立方程，应用定理的微分形式时，必须取运动的一般位置建立方程，应用定理的积分形 式成守恒形式时，必须明确所考查过程的始末位置及所对应的时间。(4) 解出未知量。3. 注意的问题：(1) 动量是矢量，运算时必须同时考虑其大小和方向，特别要注意取投影时的正负号。当质点 作复合运动时，应采用质点的绝对速度来计算其动量。(2) 在应用质心系动量定理时，总是把作用力分为外力与内力，但因内力不能改变质点系

53、的动 量，故只需考虑外力，而不必考虑内力。(3) 动量定理建立了动量与冲量的关系，在动量方程(定理)中所包含的物理量有质量，速度、 力和时间，所以在解决与速度、国和时间有关的问题时，应用动量定理较为简便。(4) 当质点系的南心的加速度为已知或通过运动学关系可以求出时，质心运动定理实际上就是 外力的关系式，而外力一般包括主动力和约束反力。若主动力为已知，则可从这个关系式 中求出约束反力。此外，若已知质点系的外力，则可用质心运动定理确定质点系质心的运 动。(5) 动量守恒定理是动量定理的特殊情形。它反映了机械运动在移动中相互传递的一个方面。动量矩定理质点和质点系的动量矩ijk1.质点的动量矩：M

54、O (mv) = r 江 mv =xyzmvxmvymvz2.质点系的动量矩:LO =送 MO(mv)=x mv3. 动量矩在过固定点 0的直角坐标系上的投影:4. 定轴转动刚体对转轴的动量矩：Lz二J z动量矩定理1. 质点的动量矩定理质点对某固定点的动量矩对时间的一阶导数，等于作用于质点上的力对同一点之矩。即dMO(mv) = r F = MO(F) dt2. 质点系的动量矩定理质点系对某固定点的动量矩对时间的一阶导数，等于作用于质点系上所有外力对同一点之矩的 矢量和，即d dtL。八 M°(Fe)3. 动量矩守恒定律当外力对某固定点之矩矢量和始终为零时，质点系对同一点的动量矩保持不变。刚体绕定轴的转动微分方程1. 转动惯量J z 八 mr22. 刚体定轴转动微分方程式定轴转动刚体对转轴的转动惯量与角加速度的乘