第一讲集合与常用逻辑用语

1、第一讲集合与常用逻辑用语一、主干知识整合 1.集合的概念、关系与运算(1) 集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性。求解含参数的集合问题时要根据互异性进行检验.(2) 集合与集合之间的关系：A? B, B? C? A? C,空集是任何集合的子集，含有n个元素的集合的子集数为2n. 集合的运算：？U(A U B) = (?UA) n(?uB), ?U(A n B) = ( ?uA) U (?uB), ?u(?UA)= A.2 .四种命题及其关系四种命题中原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假，遇到复杂问题正面解决困难的，采 用转化为反面情况处理.3 .充分条件与必要条件若P? q，则

2、P是q的充分条件，q是p的必要条件；若p? q,则p, q互为充要条件.4 简单的逻辑联结词(1)命题pVq,只要p, q有一真，即为真；命题 pA q,只有p, q均为真，才为真； p和p为真假对立 的命题.命题P V q的否定是(p) A ( q);命题P A q的否定是(p) V ( q).5.含有量词的命题的否定“ ?xMp(x) ”的否定为"？Xo MP(Xo) ”；" ？XoMP(Xo)”的否定为"？ X M,p(x) ” 二、要点热点探究?探究点一集合的概念、关系和基本运算例 1(1)2012课程标准卷已知集合A= 1,2,3,4,5,B=( x,y

3、)|xA,y A,xy A，则B中所含元素的个数为()A. 3 B . 6 C . 8 D . 10已知集合 A= z C|z = 1 2ai , a R, B= z C| z| = 2，贝U An B=()A. 1 + /3i,1 罰 B .应i C . 1 + 2芒i,1 20 D . 1 Vsi变式题(1)已知集合 A=x N|0w xw5, ?aB= 1,3,5，则集合 B=()A. 2,4 B . 0,2,4 C . 0,1,3 D . 2,3,4(2)已知集合A. (O,2) Bgy|y= 2X，集合 Nx|y = lg(2 x x若条件p： 3< xw 1,条件q： x +

4、 2x 3<0,则 p是 q的()A.充分不必要条件必要不充分条件充分必要条件)，则 MT N=().(2 ,+s) C . 0,+s) D . ( s, 0) U (2 ,+s)?探究点二命题的认识及其真假判断例 2 (1)2012-湖南卷命题“若a =n，贝U tan a = 1”的逆否命题是()4A.右 a z，贝y tan a z 1 B4.若C.右tan a丰1,贝y a丰才D.若tan a(2)已知命题 p：“ ？x 1,2p) A q”是真命题，则实数A. aw 2 或 a= 1 B,x2 a>0”a的取值范围是(.aw 2 或 1w aw2,命题)q：“？ xo R

5、, x0 + 2axo+ 2 a= 0” .若命题“(C . a>1.2< awif(x) = ax在R上是减函数”是“函数 g(x) = (2?探究点三充分条件、例3(1)2012 山东卷a)x既不充分也不必要条件在R上是增函数”的(A.充分不必要条件B .C.充分必要条件 D .必要条件的推理与判断设a>0且az 1,则“函数)必要不充分条件既不充分也不必要条件B.CD.?探究点四量词与命题的否定 例4A. ?B. ?C. ?D. ?X1,X1,X1,X1,2O12 辽宁卷已知命题P： ?X1,X2R,(f (X2) f(X1)(X2 X1) >0,则 p 是()X

6、2 X1)W0X2 X1) W0X2 X1)< 0X2 X1) < 0X2X2X2X2RRRR(f(X2) f(xi)( (f(X2) f(xi)( (f(X2) f(xi)( (f(X2) f(xi)(变式题命题:A.B.C.D.示例 设平面点集A= （x, y）则AT B所表示的平面图形的面积为3 5n3A.4nB.C.47nD."对任意 a R,方程aX 3x+ 2= 0有正实根”的否定是（）2对任意a R,方程ax 3x + 2 = 0无正实根2 对任意a R,方程ax 3X + 2 = 0有负实根 存在a R,方程ax 3x + 2= 0有负实根 存在a R,方

7、程ax2 3x + 2= 0无正实根抽象概括能力一一集合中三种语言的转换1(y X) y->0 , B=(X, ypx仃 +(y -1 f < 1 ,跟踪练1.集合M=较XXr0集合打，则 MT Nk ()A.(0,+s)B . (1，+s) C . (0,1) D . (0,1) U (1 ,+s)2 .=X1+ X2,已知集合 A= ( x, y)| x2 + y2w 1, B= ( x, y)| K x< 1, K y< 1，则集合N= ( x, y)| xy= y1+ y2, (X1, 0)A,(X2 ,y2)B表示的区域的面积是 .备用例题:2011 陕西卷设

8、集合 M= y|y= Icosx sin 2x| , x R, N= x1X-i, i为虚数A.B.C.D.R,则 MT N 为（）单位，x(0,1)(0,10,1)0,1例22012 天津卷充分而不必要条件 充分必要条件D设 0 R 则"0 = 0” 是"f (X)= cos( x + 0 )( x R)为偶函数”的()B .必要而不充分条件例A.B.C.D32012 江西卷存在四边相等的四边形不.是正方形Z1, Z2 C,乙+ Z2为实数的充分必要条件是Z1, Z2互为共轭复数若x, y R,且x+ y>2，则x, y至少有一个大于1 对于任意n N , CUri

9、+ Cn都是偶数下列命题中，假命题为()既不充分也不必要条件参考答案：例例例例C(2)CA(2)A1 (1) D(2)A 例 1 变式题(1) B(2)A2 (1)4 C 例 4 D3 (1)示例：D【跟踪练】(1) B(2) 12 +兀备用例题：例1:答案C 解析对于M由二倍角公式得 y = |cos 2x sin 2x| =|cos2 x| ,故 OW yw 1.对于 N,因为 x 1-= x + i ,1 由 x T <2,得寸X2 + 172,所以一1<x<1，故 MT N=0,1)，故答案为C.例2:答案A解析本题考查命题及充要条件，考查推理论证能力，容易题.当0

10、= 0时，f(x) = cos( x + 0 ) = cosx为偶函数成立；但当f (x) = cos( x+ 0 )为偶函数时，0 = k n , k 乙0 = 0不一定成立.例3:答案B解析考查命题的真假的判断、含量词命题真假的判断、组合数性质以及逻辑推理能力等.菱形 四边相等，但不是正方形，二A为真命题； Z1, Z2为任意实数时，Z1+ Z2为实数， B为假命题； x, y都小于等于1时，x+ yW2,.C为真命题； rf+d+CU+ Cn= 2n，又n N*, D为真命题.故选 B.【家庭训练题】 集合与常用逻辑用语1.已知集合P = 1, m, Q =卞A. 0IS础演练I1<

11、;x<3,若P n QM ?，则整数m的值为（）B. 1 C . 2 D . 42.设全集A.C.U = x Z 1 w xw 3 , A= x Z| 1<x<3 , B = x Z|x2 x 2w 0,则(?uA)n B=()B . 1, 2 1x 1<x<2 D . x| 1 wxw 23.A .充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件“ P且q是真命题”是“非 P为假命题”的（）4.设集合 M = 1, N= 1 + cosA. 2B . 2, 2C. 0D . 1 , 0m4n, log0.2 (|m|+ 1) k 若 M

12、? N，则集合 N=()I提升训练I5.下列命题中错误的是（）A.命题“若 x2 5x+ 6= 0,贝y x= 2”的逆否命题是“若 XM2，贝U x2 5x+ 6工0”B.若 X, y R，则"x= y” 是 xy>成立的充要条件C. 已知命题P和q,若pV q为假命题，则命题 P与q中必一真一假D. 对命题 P: ? x R，使得 x2+x+ 1<0，则 P: ? x R，贝*x2 + x+ 1 > 06. A = x|x 丰 1 , x R U yy 丰 2, y R , B= z|zm 1 且详 2, A. A= B B . A BC. A B D. An

13、B= ?z R，那么（）7.设 a, b R，则"a>1 且 0<b<1 ”是"a b>0 且：>1 ”的（A .充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8. 已知向量a= (1,2),b= (2,3)，则 X 4是向量 m=扫+ b与向量n= (3, - 1)的夹角为钝角的()A 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件9给出下列说法： 命题“若a= n,则sin a6 p： ? x0 R，使 Sinx0>1 ,nD. 既不充分也不必要条件1=2”的否命题是假命题；则 p: ? x R

14、, sinxw 1;“ 0 =尹2k n (k Z)”是“函数y= sin(2x + ©为偶函数”的充要条件;命题 P:“ ？ x $,才)使 sinx+ cosx=扌”，命题 q： “在 ABC 中，若 sinA>sinB,贝U A>B”， 那么命题(p)A q为真命题.其中正确的个数是()4321A.B.C.D.10 .用含有逻辑联结词的命题表示命题“若xy = 0 ,则x = 0且y = 0 ”的否定是11. 已知 A, B 均为集合 U = 1 , 2, 3, 4, 5, 6的子集，且 AQ B=，(？uB) n A= 1 , (?uA) n (?uB) =2 ,

15、 4，则 Bn (?uA)=.12. 若“ ？ x R, ax2 + 2ax + 1>0”为真命题，则实数 a的取值范围是【家庭训练题】 集合与常用逻辑用语参考答案【基础演练】1. A 解析根据集合元素的互异性mM 1,在P n Q M ?的情况下整数m的值只能是0.2. A 解析集合 U = 1 , 0, 1, 2, 3，集合 A = 0 , 1 ,2，集合 B = 1, 0, 1, 2,所以(?uA) n B = 1, 3 n 1, 0, 1, 2 = 1.3. A 解析P且q是真命题，说明P, q都是真命题，此时非 p为假命题，条件是充分的；当非 p 是假命题时，P为真命题，必须q

16、再是真命题，才能使 P且q是真命题，即在只有 P为真命题的条件下，P且q未必为真命题，故条件不是必要的.m n4. D 解析因为 M? N 且 1 + cos0, log0.2(|m| + 1)<0，所以 Iog0.2(|m| + 1) = 1，可得 |m|+ 1=5,故 m =±4, N= 0, 1.【提升训练】5. C 解析A , D明显正确；对于B , xy> (+)可变为(x y)2< 0,也就是x = y,所以B正确;对于C，pV q为假命题，则命题 P与q都为假命题，故 C错.6. C 解析集合中的代表元素与用什么字母表示无关.事实上 A= ( 8, 1

17、)U (1 ,+s )U ( s, 2) U (2 ,+s )= ( s,+s )，集合 B= ( m, 1) u (1 ,2) U (2 ,+s )，所以 A B.7. Aaa解析显然a>1且0<b<1? a b>0且£>1 ;反之，a b>0且>1 ? a>b且 匕a b>0? a>b 且 b>0,这样推不出aa>1且0<b<1.故“ a>1且0<b<1 ”是“ a b>0且二>1”的充分而不必要条件.b8. A解析m = ( U 2, 2H 3), m, n的夹角为

18、钝角的充要条件是4(沪0). m n<0,即 3( U 2) (2 + 3)<0,即卩 K 3;若 m = ，贝U 入+ 2 = 3 , 2 U 3 =1卩，解得尸7,故 m= jji(jj<0)不n的夹角为钝角的充分而不必要可能，所以，m, n的夹角为钝角的充要条件是?< 3,故K 4是m, 条件.9. B 解析中命题的否命题是“若aM-jT，贝y sin a M*”，这个命题是假命题，如a= 时sina = 1,故说法正确；根据对含有量词的命题的否定方法,说法正确;y= sin (2x +妨为偶函数的充要nJ条件是0= kn+ -(kC Z)，说法不正确；当 x jo,n寸恒有sinx+ cosx>1，故命题P为假命题，綈P为真命题，根据正弦定理 sinA>sinB? 2RsinA>2RsinB?a>b? A>B，命题q为真命题，故(綈p)A q为真命题，说法正确.(注：说法中，根据四种命题的关系，一个命题的否命题与逆命题等价，可以转化为判断原命题的逆命