端部受阶跃脉冲载荷的悬臂梁的刚塑性动力响应分析

1、2012 - 2013学年 第2学期课程作业结构冲击端部受阶跃脉冲载荷的悬臂梁的刚塑性动力响应分析一、悬臂梁受阶跃载荷作用1. 端部受阶跃荷载的悬臂梁的刚塑性动力响应1 F( J)(6)2,2)图1AB为例，分析其动态响应。其中梁的P，横截面的塑性极限弯矩为 Mp。在自由端A点突然受到横如图1所示，以一个具有均匀横截面的直悬臂梁 长度为L,单位长度的密度为向力F （t）的作用，此处F （t）为不随时间变化的阶跃荷载。由准静态下的分析容易得到，悬臂梁受端部集中力时的静态塑性失效为Fc=M P/L。当静态集中力达到 Fc时，固定端 B点将形成塑性铰，也就是该点的弯矩达到塑性极限弯矩，M b=M P

2、。1）当FFc时，悬臂梁的变形机构仍然是在固定端B点产生塑性铰，整个梁绕该塑性铰转动。设V为自由端A点的速度，则对悬臂梁利用竖直方向上的动量定理，有：(1)丄 PL=F+Qb2 dtQB为固定端的支反力，以向下为正。对固定端B点的动量矩方程有:则自由端A点的加速度为dvdt3(FL-Mp)3( F -Fc)PL2PL1Qb= -（ F -3Fc） 2由梁上各截面的横向加速度沿着梁的长度方向呈线性分布，既有将（3）代入（1）得固定端剪力(4)色厶“史dt2I /L 丿 dt(5)2得分布荷载与剪力之间的关系dQ = -q=卩筈dxdt2对（6）式进行积分，可得梁上剪力分布:(7)x d2国x X

3、2 Q(x)=丁0 P苕dx=-Fx+3(F-Fc)i-2L2j(8)显然，从弯矩和剪力之间的关系可知，弯矩M应该在剪力为零的位置到达极值。由图可知，若F3Fc时，由（7）式知Qb 0。因而，在悬臂梁中，随着到自由端A点的距离的增加，剪力单调上升但始终为负，同时弯矩从零开始单调增加，即有 矩最大值在固定端 B点。M (x)3Fc时，由（7）式可知Qb0。这表明在 AB之间存在某个位置 X,在该处剪力为零，同时弯矩取极值，即（X ） =M maxM B，最大弯矩等于塑性极限弯矩时产生塑性铰,即M （ X ） = M P。由此可知,固定端具有一个塑性铰的变形机构只在FcF3Fc的情况，塑性铰会出现

4、在 AB之间的某个位置。因此， H点，对应坐标x=入处出现塑性铰。此时梁的AH段绕H点旋转,由于塑性铰H处有M （入）=Mmax=Mp，且Q（兀）=0 ；类似（1）式和（2）式，对梁的AH段列竖直方向的动量方程，以及对 H点的动量矩方程有(9)山匕F2 dt12 d V.Pl2二f 人mp3 dtp由（9）式可知，悬臂梁的加速度为(11)dv 2F dt PL于是，悬臂梁上各截面的横向加速度的分布如下:ddt2/1JL丿dt叽 L丿(12)剪力分布：Q（x）=-F（1-%0xA对上式积分得弯矩分布为1/ 3M （x）=M p Fa（1-% ）, 0x3Fc时，梁上的剪力和弯矩分布规律如图所示：

5、(13)(14)0JC(a)可以看出，从自由端到中间的塑性铰，剪力从F逐渐降低为零，而弯矩是从零逐渐增加到塑性极限弯矩 Mp。在塑性极限弯矩所在的位置H点，有Qh =0和M H = M P。此外，在梁的HB段，弯矩处处等于塑性极限弯矩， 变形，这是由于剪力在这一段恒为零。将（11）式代入（10）式，可得上式表明，塑性铰的位置与荷载强度F越小，塑性铰越靠近固定端M（x）= Mp;但HB段并没有加速度，也没有入=3Mp/F（15）F有关，F越大，塑性铰越靠近加载的自由端A ;由（15）式和（11）式可得梁自由端A点的加速度与荷载的关系有(16)_ 2F2dt 3PMp显然，自由端加速度与载荷强度F

6、的平方成正比。2. 悬臂梁受阶跃载荷作用的结论1）变形机构随着阶跃载荷的幅值F的变化而变化；若 F比准静态失效载荷 Fc高三倍以上，则变形机构与准静态失效机构不再相同；(2.4)2)3)阶跃载荷的幅值越大，变形区域越接近加载端; 加载自由端的加速度可以表示为d Vdt0,0FFC-3( F- F) /(PL), F F 兰 3F2F2/(3PLM p),Fa3Fc悬臂梁自由端的加速度随载荷的变化曲线如下图:悬臂梁受脉冲载荷作用1.矩形脉冲载荷F-：0,O t 3Fc=3M p / L ,则在响应的第一阶段(对应的时间区间O t td)，根据上节分析可知，悬臂梁中将出现位于 扎O =3Mp /

7、Fc L处的驻定铰。在t=td，载荷幅值突然由 Fo降低为零，则塑性铰将离开其初始位置塑性铰的位置也在变化，即入=入(t),亦即形成移行铰。仍以AH段为研究对象，利用对自由端A点的动量矩定理积分可得f Pxdx=Mpt0 dtp而梁上点的速度分布为竺=0 h - x/dt I / L1 2由以上两式可得Pa (t) U =M pt在悬臂梁动态响应的第I阶段,6 p对应时间0 t td，动量定理给出(2.9)3MptI(2.10)由此可知，初始时刻位于 入0处的塑性铰，随时间增加将向固定端移动，移形铰的移动 速度为d A 3M p不=(2. 11)显然，移形铰的移动速度是一个常数。由此也容易计算

8、移形铰移动到固定端B点的时间为t=IL /3Mp(2. 12)因此，将td tt2时间区间内的变形称为悬臂梁动态响应的第n阶段。在此阶段中,自由端的速度及位移分别为v(t)=2l / Pk=2l2/3PMpt(2. 13)LlIIt 2I 2l 2 i(t)=4+f -2dt二t2 。考虑进入第川阶段后对固定端的动量矩的变化，有-PL2W -6)=M p(t12)3(2. 16)式给出此阶段速度随时间变化的关系式为(2. 17)W t)话(I -M p/L )(2. 18)显然，当速度 (t)减小到零时，对应整个悬臂梁动态响应结束，即系统的总响应时间t=IL / Mp =3t2(2. 19)在

9、响应结束时刻t=tf，自由端的总位移为tf 3 r M4=( tf心壮kL(2. 20)4 =丄定f PM p I 3If。T!l3Fc 力(2. 21)同时，还可以得到在第川阶段中悬臂梁绕根部的转角:(2. 22)2I2dPLM pr tJ/s,_第二相第三相1上图给出了悬臂梁受到矩形脉冲载荷F=12Fc作用时，其塑性铰位置以及自由端速度随时间的变化曲线。在第I阶段，梁的中部入0处出现一个驻定铰，变形为绕驻定铰的转动，自由端的速度线性增加； 在第n阶段，塑性铰开始向悬臂梁的固定端移动，其移动速度恒定，同时自由端的速度按时间的倒数下降；在第川阶段塑性铰停留在悬臂梁的固定端，自由端的速度线性下降

10、；最后自由端速度降低为零，整个动态响应过程结束。为了确定梁的最终变形，首先考虑第n阶段的曲率，(2. 23)d0/ 、 d入 Udtdt 几也就是该截面的角速度。 这里d日/dt与9的运动学关系参照了梁的原构型，还要用到曲率(2. 22)式把曲率K(x)和塑性铰位置 入联系起来了。由曲率在直角坐标系中的表达式,(x) = d2/dx2(2. 24)对x积分两次，可以得到第n阶段的变形,灼2(x)= 21hn L-X _il,兀 xL23PMpt I X L J(2. 25)在叠加上第i,n两个阶段的变形，可以得到梁的最终变形曲线，即12 J x2 f L T!41 + In P 叫ip 3 I

11、2I2, fL)皿1 p lx丿几0 x L(2. 26)右图给出了 f =6,12两种情况下，梁的最终变形曲线，其中f=F0/Fc为无量纲的载荷强度。当f =6时，初始塑性铰的位置珀/L=0.5;而当f =12时，初始塑性铰的位置)t/L=0.25，显然札是与载荷强度相关的。两种情况下，梁的 变形曲线在靠近固定端的一段是完全 重合的，而在靠近自由端的一端，载 荷强度大的矩形脉冲产生的最终变形 显然大于载荷强度小的情况。进一步分析动态响应过程中的能 量消耗分配。由上面的讨论，已知各 阶段的变形。在矩形脉冲输入能量的 第i阶段，由自由端在 td时刻的变形(2. 22)式给出了梁上某截面的转角对时

12、间的变化率,A，容易计算矩形脉冲的总输入能量为Ein=Fo4 =1 F0/(3PM P)(2. 27)其中第I阶段和第川阶段变形为绕驻定塑性铰的刚体转动，因此由（2.8 ）式和（2. 22）式给出的第I阶段和第川阶段的转角61和0 3，可计算这两个阶段中由于塑性变形而耗散的能量，分别为Di =M p0i = I 乍。/ PM p)(2. 27)DM p曳=2I2/(3 PL)(2. 28)三个变形阶段的能量耗散之和等于矩形脉冲的总输入能量, 耗散能的比值如下：由此可以得到三个阶段塑性D1.D2 .D3_1.：2 2FJ 2F,:.:cF。-En Ein Ein 3 （3F。丿从上式可知，悬臂梁

13、在对自由端矩形脉冲的动态响应过程中,(2. 29)其变形的第一阶段必定耗散输Fo/Fc越大，第入能量的1/3 ;第三个阶段的能量耗散水平取决于矩形脉冲的幅值，幅值 三阶段的能量耗散越小，相应的第二阶段的能量耗散则增大。若矩形脉冲的强度幅值非常高, 即对应于Fo/Fc1的情况，则第二阶段在移形铰上耗散的能量会显著高于第三阶段在根部驻定塑性铰耗散的能量。图8能量耗散外载的功，总能Ein ,qnMp1 2,f塑性耗散D = Di +D2 +D3d1DIMp=日14p2fd2三虫Mp1 2 2=Cokadx-： p2(f -3)9d3Mpeind1 : d2 : d3（2 2、13f丿1 f 3情形,

14、梁根部固定铰 两相：I相（加速运动，0t td ）; II相（减速运动，td t3，梁的响应包含3个相，当f很大时，第2相最重要，其特征是由于外FC载突然卸除而触发的塑性铰移行；与3相相联系的是，梁变形也由三部分构成：绕固定铰H0的转动；由移行铰引起的 HOB段的曲率连续变化；绕梁根部 B的转动。在梁的最终形状中，仅HB段具有塑性曲率；移行铰到达根部的时间 t2与Fo无关，但第2相所耗散的能量却与 Fo有关。外载越强， 移行铰耗散的能量所占比例越大。任意形状的脉冲：F(t)30, F(O)Fcra 3.16图11当F(t)随时间变化，塑性铰位置 A(t )也会随时间变化。即，任意形状的脉冲作用下, 会出现移行铰。塑性铰位置A(t )倚赖于F(t)，也相关于梁的速度场。图2.8运动机构场，AH段的运动方程=赵T)= ，V(T)=jJ(tW，其中 J(T)=，0fWdl 冲)31移行铰的移行速度 z三3JW)-f a 9，因此其移行方向取决于sign（A ）= sign心（a ）-f （t三3Tf） f（T ）】,oT*0，移行铰必然向梁的根部移动，且在T = P/3到达根