精华特殊平行四边形知识归纳和题型精讲

1、.八年级平行四边形相关知识归纳和常见题型精讲性质和判定总表矩形菱形正方形的矩形边对边平行且相等性角四个角都是直角质对角互相平分且相等线·有三个角是直角 ;·是平行四边形且判定有一个角是直角 ; ·是平行四边形且两条对角线相等 .对称性菱形正方形对边平行，四边相等对边平行，四边相等对角相等四个角都是直角互相垂直平分，且每条互相垂直平分且相等 , 每条对角线平对角线平分一组对角分一组对角·四边相等的四边形；·是平行四边形且有一·是矩形，且有一组邻边相等；组邻边相等；·是菱形，且有一个角是直角。·是平行四边形且两条对角线

2、互相垂直。既是轴对称图形，又是中心对称图形一. 矩形矩形定义 : 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形( 通常也叫长方形或正方形).矩形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，矩形也是轴对称图形，对称轴是通过对边中点的直线，有两条对称轴；矩形的性质 :(具有平行四边形的一切特征 )矩形性质 1:矩形的四个角都是直角矩形性质 2:矩形的对角线相等且互相平分如图，在矩形ABCD 中，AC、BD相交于点 O，由性质 2 有11直角三角形的一个性质： 直角三角AO=BO=CO=DO=AC=BD 因此可以得到2 2形斜边上的中线等于斜边的一半矩形的判定方法矩形判定方法1：对角钱相等的平行四边形是矩形;.矩

3、形判定方法2：有三个角是直角的四边形是矩形矩形判定方法3：有一个角是直角的平行四边形是矩形矩形判定方法4： (4)对角线相等且互相平分的四边形是矩形例 1 已知：如图 ，矩形 ABCD ，AB 长 8 cm ，对角线比 AD 边长 4 cm求 AD 的长及点 A 到 BD 的距离 AE 的长例 2 已知：如图，矩形ABCD 中， E 是 BC 上一点， DF AE 于 F，若 AE=BC 求证：CE EF例 3如图，已知矩形 ABCD 中，E 是 AD 上的一点， F 是 AB 上的一点， EF EC，且 EF=EC， DE =4cm，矩形 ABCD 的周长为 32cm，求 AE 的长例 4、

4、如图，在 ABCD 中， E 为 BC 的中点，连接 AE 并延长交 DC 的延长线于点 F(1)求证： AB=CF ；(2)当 BC 与 AF 满足什么数量关系时，四边形ABFC 是矩形，并说明理由DACBEF二菱形;.菱形定义： 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形【强调】菱形（ 1）是平行四边形； （2）一组邻边相等菱形的性质性质 1菱形的四条边都相等；性质 2菱形的对角线互相平分，并且每条对角线平分一组对角；菱形的判定菱形判定方法1:对角线互相垂直的平行四边形是菱形注意此方法包括两个条件：（1）是一个平行四边形；（2）两条对角线互相垂直菱形判定方法2:四边都相等的四边形是菱形例 1 已知

5、：如图，四边形 ABCD 是菱形， F 是 AB 上一点， DF 交 AC 于 E求证： AFD= CBE 例 2 已知：如图ABCD 的对角线 AC 的垂直平分线与边AD 、 BC 分别交于E、 F求证：四边形AFCE 是菱形例 3 、 如 图 ， 在ABCD 中， O 是对角线 AC 的中点，过点 O 作 AC 的垂线与边 AD 、BC 分别交于 E 、F，求证：四边形AFCE 是菱形 .AE1DOB2FC;.例 4、已知如图，菱形ABCD 中， E 是 BC 上一点， AE 、 BD 交于 M ，A若 AB=AE, EAD=2 BAE 。求证： AM=BE 。BMDEC例 5 （10 湖

6、南益阳）如图，在菱形 ABCD 中， A=60 °,AB =4,O 为对角线 BD 的中点，过 O 点作 OEAB ，垂足为 EDC(1) 求线段 BE 的长O60AEB例 6、（ 2008 四川自贡）如图，四边形 ABCD 是菱形，DE AB 交 BA 的延长线于 E，DF BC，交 BC 的延长线于 F。请你猜想 DE 与 DF 的大小有什么关系？并证明你的猜想例 7、（ 2008 山东烟台）如图，菱形ABCD 的边长为2， BD=2 ， E、F 分别是边AD ， CD 上的两个动点，且满足 AE+CF=2.（ 1）求证： BDE BCF；（ 2）判断 BEF 的形状，并说明理由

7、；（ 3）设 BEF 的面积为 S，求 S 的取值范围 .三正方形;.正方形是在平行四边形的前提下定义 的，它包含两层意思：有一组邻边相等的平行四边形（菱形）有一个角是直角的平行四边形（矩形）正方形不仅是特殊的平行四边形，并且是特殊的矩形，又是特殊的菱形正方形定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形正方形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，正方形又是轴对称图形，对称轴是对边中点的连线和对角线所在直线，共有四条对称轴；因为正方形是平行四边形、矩形， 又是菱形，所以它的性质是它们性质的综合， 正方形的性质总结如下：边：对边平行，四边相等；角：四个角都是直角；对角线： 对角线

8、相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角注意： 正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是 45°；正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形，这是正方形的特殊性质正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质正方形的判定方法：? (1) 有一个角是直角的菱形是正方形；? (2) 有一组邻边相等的矩形是正方形? 注意： 1、正方形概念的三个要点：? （1）是平行四边形；? （2）有一个角是直角；? （3）有一组邻边相等2、要确定一个四边形是正方形， 应先确定它是菱形或是矩形， 然后再加上相应的条件，确定是正方形 .例 1 已知：如图，正方形ABC

9、D 中，对角线的交点为O， E 是 OB 上的一点， DG AE于G，DG交OA于F求证： OE=OF 例 2 已知：如图，四边形 ABCD 是正方形，分别过点 A 、C 两点作 l1 l 2，作 BM l 1 于 M ， DN l 1 于 N ，直线 MB 、 DN 分别交;.l 2 于 Q、 P 点求证：四边形PQMN 是正方形例 3、（ 2008 海南） 如图， P 是边长为 1 的正方形 ABCD 对角线 AC 上一动点（ P 与 A、C不重合），点 E 在射线 BC 上，且 PE=PB .（ 1）求证： PE=PD ； PE PD ；（ 2）设 AP=x, PBE 的面积为 y. 求

10、出 y 关于 x 的函数关系式，并写出x 的取值范围； 当 x 取何值时， y 取得最大值，并求出这个最大值.ADPBEC例 4（ 2006 年河南省）如图，梯形 ABCD中， ADBC， AB=AD=DC， E 为底边 BC的中点，且 DE AB，试判断 ADE的形状，并给出证明例 5：（ 2008 深圳） 如图，在梯形 ABCD 中， AB DC， BD ，交 CD 的延长线于点 E，且 C 2 E（1）求证：梯形 ABCD 是等腰梯形（2）若 BDC 30°， AD 5，求 CD 的长E;.DB 平分 ADC ，过点 A 作 AEABDC图 5.例题讲解例一 .分析：（ 1）因

11、为矩形四个角都是直角，因此矩形中的计算经常要用到直角三角形的性质，而此题利用方程的思想，解决直角三角形中的计算，这是几何计算题中常用的方法解：设 AD=xcm ，则对角线长（ x+4）cm，在 Rt ABD 中，由勾股定理： x 282( x4) 2 ，解得 x=6 则 AD=6cm （ 2） “直角三角形斜边上的高 ”是一个基本图形，利用面积公式，可得到两直角边、斜边及斜边上的高的一个基本关系式：AE×DB AD× AB ，解得 AE 4.8cm例二 分析： CE、 EF 分别是 BC， AE 等线段上的一部分，若AF BE ，则问题解决，而证明AF BE ，只要证明 A

12、BE DFA 即可，在矩形中容易构造全等的直角三角形证明：四边形 ABCD 是矩形，B=90 °，且 AD BC 1=2DFAE ， AFD=90 °B= AFD 又AD=AE ，ABE DFA （ AAS ） AF=BE EF=EC此题还可以连接DE ，证明 DEF DEC，得到 EF EC菱形 例 1 证明： 四边形 ABCD 是菱形， CB=CD ， CA 平分 BCD BCE= DCE 又 CE=CE ， BCE COB （ SAS） CBE= CDE 在菱形 ABCD 中， AB CD ， AFD= FDC AFD= CBE 例 2 证明 ：四边形 ABCD 是平

13、行四边形， AE FC 1=2又 AOE= COF， AO=CO ， AOE COF EO=FO 四边形 AFCE 是平行四边形又EFAC ，AFCE 是菱形 (对角线互相垂直的平行四边形是菱形)例 6、解： DE DF;.证明如下：连结 BD四边形 ABCD 是菱形 CBD ABD( 菱形的对角线平分一组对角) DFBC，DEAB DF DE( 角平分线上的点到角两边的距离相等)例 7 、正方形 例 1 分析：要证明 OE=OF ，只需证明 AEO DFO，由于正方形的对角线垂直平分且相等， 可以得到 AOE= DOF=90° ，AO=DO ，再由同角或等角的余角相等可以得到 EA

14、O= FDO ，根据 ASA 可以得到这两个三角形全等，故结论可得证明：四边形 ABCD 是正方形， AOE= DOF=90° ， AO=DO （正方形的对角线垂直平分且相等）又 DG AE ， EAO+ AEO= EDG+ AEO=90° EAO= FDO AEO DFO OE=OF 例 2 分析：由已知可以证出四边形PQMN 是矩形，再证 ABM DAN ，证出AM=DN ，用同样的方法证AN=DP 即可证出 MN=NP 从而得出结论证明： PN l1， QM l1，;. PN QM ， PNM=90° PQNM ， 四边形 PQMN 是矩形四边形 ABCD

15、是正方形 BAD= ADC=90° ，AB=AD=DC （正方形的四条边都相等，四个角都是直角） 1+2=90°又 3+2=90°， 1= 3ABM DAN AM=DN 同理 AN=DP AM+AN=DN+DP即MN=PN 四边形 PQMN 是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）例 3 （ 1）证法一： 四边形 ABCD 是正方形， AC 为对角线， BC=DC , BCP= DCP= 45°. PC=PC， PBC PDC （ SAS） . PB= PD ， PBC= PDC .又PB= PE ， PE=PD . （ i ）当点 E 在线段 BC 上

16、 (E 与 B、C 不重合 )时， PB=PE， PBE=PEB， PEB=PDC ， PEB+PEC= PDC+ PEC=180°， DPE =360°-( BCD+ PDC+ PEC)=90 °， PE PD.）（ii ）当点 E 与点 C 重合时，点P 恰好在 AC 中点处，此时，（iii ）当点 E 在 BC 的延长线上时，如图. PEC=PDC ， 1= 2， DPE =DCE =90°， PE PD.综合（ i）（ ii ）（ iii ） , PE PD .（ 2） 过点 P 作 PFBC，垂足为 F，则 BF=FE. AP=x， AC= 2

17、 ， PC=2 - x， PF=FC =2 (2x) 12 x .22BF=FE=1- FC =1-( 12 x )=2 x .22 SPBE=BF ·PF= 2 x (12 x)1 x22 x .2222即 y1 x22 x (0 x 2 ).22ABPE PD .APBFEDP1H2CEDC;. y1 x22 x1 ( x2 ) 21 .22224 a1 0，2. 当 x2 时， y 最大值 1 .24（1）证法二：过点 P 作 GF AB，分别交AD、BC 于 G、F. 如图所示 . 四边形 ABCD 是正方形， 四边形 ABFG 和四边形GFCD 都是矩形，AG32DAGP

18、和 PFC 都是等腰直角三角形.P GD=FC =FP ， GP=AG =BF ， PGD= PFE=90 °.1又 PB=PE， BF=FE，BF E GP=FE， EFP PGD （ SAS） . PE=PD . 1=2. 1+ 3= 2+ 3=90°. DPE =90°. PE PD.（2） AP=x， BF=PG=2 x ，PF=1-2 x .22 SPBE=BF ·PF=2 x (12 x)1 x22 x .2222即 y1 x22 x(0 x 2 ).22 y1 x22 x1 ( x2 ) 21 .22224 a1 0，2 当 x2 时， y 最大值1 .24(注：用其它方法求解参照以上标准给分.)C例 4【解析】 ADE是等边三角形理由如下：AB=CD，梯形ABCD为等腰梯形， B= C E 为