第八章(第一节矩估计法)

1、第八章 参数估计第一节 参数的点估计在研究总体 X 的性质时，如果知 道总体 X 的概率分布，那是再好不过 了。然而，在许多情况下，对总体 的情况知道甚少或只知道部分信 息。在实际问题中遇到的许多总体， 根据以往的经验和理论分析可以知 道总体 X 的分布函数的形式， 但分布 中的一个或几个参数未知，一旦这 些参数确定以后， 总体 X 的概率分布 就完全确定了。例如，总体 X N( , 2) ，但不知道其中参数 和 2 的具体数值，我们要想法确定 参数 , 2 。中 是未知参数(也可以 ( 1, 2, , m) )。设总体 X 的分布函数 F(x; )形 式已知，其 是未知向量试问怎样由样本Xi

2、,X2, ,Xn提供的信息，建立样本的函数即统计量来 对未知参数作出估计？这类问题，称为参数的估计问题。参数估计主要有参数的点估计和参数的区间估计2n现从总体 X 中抽得一个样本 X1,X2, ,X相应的一个样本值观察值为x1,x2,xn；点估计的问题就是要构造一个 适当的统计量 ?(X1,X2, ,Xn) ，用它的 观察值 ?(x1,x2, , xn )来估计未知参数统 计 量 ?(X1,X2, ,Xn) 称 为 的 估 计量，？(Xi,X2, ,XJ称为 的估计值在不致混淆的情况下，估计量与 估计值统称为估计，并都简记为面介绍参数点估计的两种方法：矩估计法和极大似然估计一、 矩 估计法 矩

3、估计是由英国统计学家Pearson,K. 于 1900 年提出的一种 参数估计方 泛的应用。例 1 若要考察成人的身高分 布情况。(人类学、遗传变异学、社会 学要用。)每一个人的身高是一个体， 全体人的身高构成一个总体。由于随机因素的影响，不同 人的身高一般是不一样的。 由中心极限定理和实际经验知 道，人体身高 X N( , 2 )。但不知道其中参数 和 的具体数值。（知道之后，有实 践和检验理论的多种用途。 ）为了确定一个国家或一个 地区内人体的身高总的情况和 2的值 .自然需要估计一个地区人的平 均身高以及身高的差异程度 , 即要 求估计为了对参数 和 2 进行估计，我们从一个地区中随机的

4、抽取 批人，进行身高测量。取样本我们从总体中Xi,X2, ,Xn （对于一次具体的抽取， 它就是具体的数值 x1 ,x2 , ,xn, 在不致 引 起 混 淆 的 情 况 下 ， 今 后 也 用Xi,X2, ,Xn表示随机变量），根据样本 矩在一定程度上反映了总体矩的特 征，自然想到用样本矩作为总体矩 的估计于是，我们分别用样本均值和样 本方差作为总体均值和总体方差2的估计，记为？和?2，即有1 n ?-i1Xi X ,(8.1)n i 11n(Xi X)2 S2 ,(8.2)n 1 i1显然，？和？猪鸟是样本X,X2, ,X 的函数，是统计量，分别称为 和 的矩估计量。若X1 , X2 ,

5、, Xn为样本值(一批次的测 量值),则把X,?- Xin i11 n - 2 2 (Xi x) s , n i分别作为和2的估计值.中，需要进行多批次、对于不同的样本值，估计值也是 不同的。实际 分组次、多年代的测量。通过观测记录，对不同年代、不 同地区，人身高的分布和差别都记 录下来，得出客观结果，分析其原 因，构成科学记载资料数据，积累 人类智慧，可被当代人或后代人借 鉴引用。这种用样本矩来估计相应的总体矩的方法，称为矩估计法。矩估计的一般问题、理论根据和方法：设总体 X 的分布函数为 F(x; 1, 2, , m), 未知参数 问题：试给出参数 值。解决办法如下1212, m 的估计k

6、EXkk(152)jm ),k 1,2,m;或k E(XEX)kk( 1,2, m),k1,2, ,m;其次，对总体进行随机抽样，设 X1,X2,Xn为来于总体首先求出总体矩：X的样本,Xi,X2, ,x为样本值（观察值,抽样结果,具体记录下来的一组数）.构造样本矩:1 n-Xik, n i1Bk1 n k -(Xi X), n i 1n2(Xi X) oi 112理论上已知，在一定条件下成立A Lx：n i 1或Bk -n iEXk(XiX)kE(X EX)k于是，可把Ak-nXik作为EXk的近似值 即令(人为作出方程组),m) Ak,m,k(k 1,2, 或令k ( 1 ,2 ,k 1,

7、2, 得到含 式；m) Bk ,m,m个方程m个未知数的?i 1,2, ,m解这m个联列方程组可得至U ,m的一组解(记为)：, ?m 就 称 作 为 , 其观察值称为i(A1,A2, ,Am),则 把 这 组 解 ?1, ?2,12,m的矩估计量 矩估计值 .矩估计的另一种观点首先在方程组12k( 1, 2, , m)k , k 1,2, ,m,L , m), i 1,2, ,m; 中的k用Ak替换,得至U中, 求解出解i(然后将其i(A1,A2, ,Am),1,2, ,m)(i 称 ?ii(A1,A2, ,Am),m) 为 i ( i 1,2, ,m) 的矩估?( i 1,2, 计量 ;

8、将样本值代入得矩估计值 .根据依概率收敛的随机变量的性质，可知L , m)?i i(A1,A2, ,Am) P i( ( n ) 。( i 1,2, ,m) 。( 或从方程组 k ( 1, 2, , k 1,2, 中, 求解出解 i(12) k , ,m,) , i 1,2, ,m;将其中的k用Bk替换,得到 ?ii(B1,B2, ,Bm),( i 1,2, ,m)称 ?ii (B1,B2, ,Bm)( i 1,2, ,m) 为 i( i 1,2, ,m) 的矩估计 量; 将样本值代入得矩估计值 .)1x , f(x; ) 0,Xn为来自于总体例2 设总体X的概率密度为0 x 1其它，X1,X

9、2,X的样本,X1,X2, ,Xn为样本值，求的矩估计1 EX xf(x; )dxx 1dx1x dx0-x1然后令Xi X即得X,1即有 (1)X,解之得？解先求总体矩把?作为的矩估计量,亠作为的矩估计值.1 x例3有一批零件，其长度X N( , E(X EX)2 DX 2)，现从中任取4件，测得长度(单位：mm分别为12.6,13.4,12.8,13.2。试估计解由于X N( , 2),和2的值总体矩1 EX2则得1 n -A - Xj Xn j 1s2，于是? XX，S2，1 n一 Xi n i 11 n 2 niii(Xi X)分别为和2的矩估计量;将样本值代入一 1? x -(12.

10、6 13.4 12.8 13.2)13 ,?s21 2 2 2 2(12.6 13)2 (13.4 13)2 (12.8 13)2 (13.2 13)20.1334 1得 禾n 2的估计值分别为 13(mm)和 0.133(mm)2。对于由总体矩和样本矩作等式 的原则，总体矩和样本矩都有多种, 要用同样种类的矩列出等式。多个 参数时，列等式的方式不唯一，因 此，矩估计的方式不是唯一的.例如 两个参数1, 2情形的矩估计, 几种可有如EX A XEX2 A21， 2中方式或 EX A XE(X EX)2 B2，22 2EX A1 X或 E(X EX)t2e tdt S2设总体X的概率密度为f(X,(求的矩估计量？.解法一虽然f(x,)中仅含有一个参数，但因11 EXxf(X； )dxXdx 02 EX2 x2 f (x; )dxAix2 1 2 .x e dx2Xx2e dxnXi2A2 ,A21nil