用插空法解“不相邻”排列问题

1、用插空法解“不相邻”排列问题插空法是解决“不相邻”排列问题的专项工具，正如 “相邻问题用捆绑，非邻问题用插空” .一般使用插空法时， 学生应先将无限制条件的元素排列好，再将不相邻的元素插 入到已经排好的元素之间或者两端 .在应用插空法时， 我们要 注意所插空元素的特点、细节和要求，采取配套的方法和策 略，才能一举攻克“不相邻”排列问题 .一、所插空的元素可以相邻例 1 12 名同学合影， 站成前排 4 人后排 8 人，现摄影师 要从后排 8 人中抽 2 人调整到前排，若其他人的相对顺序不 变，则共有多少种不同的调整方法？解 （解法 1 ）调整的 2 人分为相邻和不相邻两种情况， 则不同的调整方

2、法有 C28?（ A25+A15A22） =840 种.（解法 2）采用逐个插空法 .先在前排 5 个空位中插入其 中 1 人，有 5 种插法，余下的 1 人再插入 5 个人所形成的 6 个空位中，有6种插法，所以共有 C28?5X 6=840种.例 2 有 7人排成一排照相，其中有甲、乙、丙 3人不能 相邻的排法共有多少种？解 除了甲、乙、丙以外的4人先排好，有A44种排法.4 人排好后形成 5个空位，再将甲、乙、丙 3人插入 5个空位 中.当3人互不相邻时，有A35种排法；当其中有2人相邻时， 有 C23A25A22种排法，所以共有 A44( A35+C23A25A22) =4 320 种

3、排法 .二、所插空的元素需要分组例 3 某停车场有连成 1排的 9个停车位， 现有 5辆不同 的车需要停放，要求 2 辆车相邻，还有 2 辆车也相邻，另有 1 辆车单独停放的停法共有多少种？解 9 个停车位， 5 辆不同的车停放， 还剩下 4 个停车位， 这 4 个停车位形成 5 个空位 . 根据题意， 可先考虑 5 辆不同的 车分成 3 组，然后“分配”到 3 个空位，这是一个不同元素 的部分均匀非定向分配问题 .从 5 个空位中选 3 个空位有 C35 种方法，将部分均匀的3个组“分配”到这3个空位，有?A33 种方法 .由于“捆绑”的车之间可以交换顺序，有A22?A22种方法，所以共有

4、C35?A33A22A22=3 600种方法 .三、所插空的元素没有顺序例 4 某人在飞碟射击项目中射击 8枪，命中 4枪.若命 中的 4枪中恰好有两个 2枪连续命中(不能出现 4枪连续命 中)，有多少种不同的情况？解 把两个连续命中目标的 2枪“捆绑”在一起，形成 两个“大元素” .由于这两个“大元素”不相邻，所以使用插 空法.先将剩余的没有命中目标的 4枪排好，因为元素相同， 所以只有 1种排法 .接下来，把两个“大元素”插入已经排好 的 4 枪形成的 5 个空档中 .由于“大元素”没有区别，所以没 有次序之分，有 C25 种插法，即共有 C25=10 种不同的情况 .四、所插空的元素需要

5、分类 当遇到要求一部分元素不相邻，另有一部分元素也不相 邻，从而形成“几个非相邻”并存的情况，即一次插空演变 为二次插空、多次插空的时候，需要考虑将所插空的元素进 行分类讨论 .现在这种题目在考试中比较时尚， 解题时需要对 其条分缕析 .例 5 有 3 本不同的数学书， 2 本不同的物理书， 3 本不 同的化学书，全部竖起排成一排，若要求数学书互不相邻， 同时物理书也互不相邻，则有多少种排法？解 第一类，先排 3 本化学书，有 A33 种排法，然后插 入 3 本不同的数学书，有 A34 种插法，最后插入 2 本不同的 物理书，有A27种插法，所以共有A33A34A27=6 048种排法.第二类

6、，先排 3 本化学书，有 A33 种排法，然后把“数 学书、物理书、数学书”看成整体，它和另 1 本数学书进行 插空，有A23A12A24种插法，最后把剩下的1本物理书插空， 有 A16 种插法， 所以共有 A33A23A12A24A16=5 184种排法 .第三类，先排 3 本化学书，有 A33 种排法，然后把“数 学书、物理书、数学书、物理书、数学书”看成整体进行插 空，有 A33A22A14 种插法，所以共有 A33A33A22A14=288 种 排法.综合以上四种情况，最终结果为 96+96+32+16=240 种排法.五、特殊要求与不相邻处理的先与后例 7 有红、蓝、黄三种颜色的球各

7、 7 个，每种颜色的 7 个球上标有数字 1，2，3，4，5，6，7，从中任取 3 个标号 不同的球，这 3 个球颜色互不相同且所标数字互不相邻的取 法种数有多少？解 题中有两个限制条件：3个球颜色互不相同；3个球的标号不同且互不相邻 .不相邻问题是我们熟悉的条件， 我们可以从不相邻问题入手打开思路 .第一步：先从 1，2，3， 4，5，6，7 这 7 个数中找出不相邻的 3 个不同数字，把 7 个 数字分成两类，即被选中和未被选中，把未被选中的4 个按从小到大的顺序排成一列，只有 1 种排法，从已经排好的数 字形成的 5 个空位（包括两端）中选取 3 个空位，插入被选 中的3个数字，有C35种插法；第二步，给选出的 3个数字 找颜色，有 A33 种方法，所以共有 C35A33=60 种选法 .注 本题若从限制条件 “3 个球颜色互不相同”