等差数列_例题解析

1、等差数列例题解析【例1】在100以内有多少个能被 7个整除的自然数？解,100以内能被7整除的自然数构成一个等差数列，其中a1=7,d=7,an= 98.代入 an = a1 +(n1)d 中，有98= 7+(n 1) 7解得n= 14答 100以内有14个能被7整除的自然数.【例2】在1与7之间顺次插入三个数 a, b, b使这五个数成等差数列，求此数列.解设这五个数组成白等差数列为 an由已知:a = 1 25 = 7.-7=- 1 + (51)d 解出 d=2所求数列为：一1, 1, 3, 5, 7.【例3】在等差数列5, -31, 2, 1,的相邻两项之间22 ，插入一个数，使之组成一

2、个新的等差数列，求新数列的通项. 1解原数列的公差d二 3123 一 (-5)= 1 ,所以新数列的公差1-d =233,期通项为4an335 (n 1) n44323=一 n 44234【例4】 在1000,2000内能被3整除且被4除余1的整数共有多少个?解 设 an=3n, bm= 4m-3, n, mCN令 an=bm,则 3n=4m 3n= 4m3为使n为整数，令 m=3k, 3得n=4k-1(k N),得an, bm中相同的项构成的数列cn的通项cn =12n- 3(nC N).贝 U在1000, 2000内cn的项为 84 123, 85 123,，166 123，n= 1668

3、4+1=83. .共有 83 个数.【例5】三个数成等差数列，其和为 15,其平方和为83,求此三个数.解 设三个数分别为 xd, x, x+d.(x d) + x + (x + d) = 15(x d)11g一 一，即 2ac= b(a+c).b a c2ac= b(a+c)=2b2, b2=ac.又 a、b、c不为0,a、b、c为等比数列，又 a、b、c为等差数列，a、b、c为常数列，与aw b矛盾,.假设是错误的.a、b、c不可能成等差数列.例8解答下列各题： +x2+ (x+d)2 = 83解得 x= 5, d = 2所求三个数为3、5、7或7、5、3说明 注意学习本题对三个成等差数列

4、的数的设法.例6已知a、b、c成等差数列，求证：b+c, c+a, a+b也成等差数列.证 :a、b、c成等差数列2b=a + c (b + c) + (a+ b) = a+ 2b + c=a+ (a+ c)+ c= 2(a+c)，b+c、c+ a、a+b成等差数列.说明 如果a、b、c成等差数列，常化成 2b=a+c的形式去运用；反之， 如果求证a、b、c成等差数列，常改证 2b=a+c.本例的意图即在让读者体会 这一点.一一 一 111 一.、一一【例7】右一、一、一成等差数列，且aw b,求证：a、b、c、不a b c可能是等差数列.分析 直接证明a、b、c不可能是等差数列，有关等差数列

5、的知识较难运用，这时往往用反证法.证 假设a、b、c是等差数列，则 2b=a+c111又 1、1、 xk 1ak 2成等差数列，ab c(1)已知等差数列an, anw0,公差dwo,求证:对任意k C N,关于x的方程akX1 ak + 2ak+x+ ak+2 = 0 有一公共根；1若方程的另一根为x求证数列是等差数列；1 XkA(2)在 ABC中，已知二边& b、c成等差数列，求证：cotBCcot- cot u也成等差数列.22分析与解答akx2+2ak+x+ ak+2 = 0.an为等差数列，2ak+1 = ak+ak+2akx2 + (ak+ ak+2 )x + ak+2 = 0(a

6、kx+ ak+2)(x + 1)=0 , ak。x= - 1 或 xk =11ak 2akakakak ak 2 2d:an为等差数列,d为不等于零的常数、一-,，一1方程有一公共根1,数列是等差数列1 xk(2)由条件得 2b=a+c 4RsinB = 2RsinA + 2RsinC, 2sinB = sinA + sinC . 4sin 且 cos 旦 =2sin cos一 .A+B + C=兀 2222. sin* 二 cosB222sinB = cosAC22分析至此，变形目标需明确，即要证2cot 二 cotb cot 一由于目标是半角的余切形式,般把切向弦转化，故有cot cot

7、A cos 2A sin 2C cos 2C sin 2Asin 2A C sin2A C sin-sin-C1-(cos一（将条件代入）A Ccos）2B2 cot -22 cos -2B Bsin 2sin cot 、cot 、cot 成等差数列.【例9】若正数a1，a2, a3，an+1成等差数列，求证:分析,an证明, an . an 1设该数列的公差为d,则.anan 1an.aan 1an 1da1 一 a2=a2 a =an-an+1=-d, , a1 an+1 = nd_ d = a_an-L n a1 a2左式=a a2, a3a ana a n 1aa2a2 a3右式【例10】设xwy,且两数列x, a