


版权说明:本文档由用户提供并上传,收益归属内容提供方,若内容存在侵权,请进行举报或认领
文档简介
1、一类含有分数阶导数的参数激励振动问题葛志新1 ,陈咸奖2(1.安徽工业大学 数理学院,安徽马鞍山243002; 2安徽工业大学 商学院,安徽马鞍山243002) 摘要:研究了一类具有分数阶导数阻尼的参数激励振动问题首先对含有由Riemann-Liouville定义的分数阶导数的Mathieu振动方程构造渐近解,利用多重尺度法,在激励参数取不同值的情况下,求得渐近解,得到分数阶指数对解的影响关键词:多重尺度;分数阶导数;参数激励;过渡曲线中图分类号:O175.14文献标识码:A1引言文章编号 :振动现象是生活中常见的现象,也是学术界研究的热点话题-11,如Nayfeh在1中讨论的自由振动、非齐次
2、项激励和参数激励下的各种受迫振动问题的渐近解及共振情况,刘灿昌等在2中讨论的参数激励非线性振动时滞反馈最优化控制振动问题的稳定性等他们讨论的问题的导数都用整数阶导数描述随着数学的发展,分数阶导数逐渐进入学者们的视野,学者们发现分数阶导数更能准确描述记忆性材料的导数特性学者们开始研究具有分数阶导数阻尼的振动情况3-11,如-11是研究非齐次项激励的振动问题学者们对用分数阶导数描述外阻尼的参数激励的振动问题研究较少3,4,5,且在3,4,5中使用谐波平衡法对分数阶阻尼Mathieu方程进行研究的.本文将在1 - 15的基础上研究含有参数激励的分数阶导数振 动问题,对用分数阶导数来描述阻尼的Math
3、ieu方程的解用多重尺度法求得渐近解,并研究分数阶导数对解的影响考虑od2ud aud?2 + ( 3+ £COS nt)u + 需=0,(1)其中3是激励参数,0 < £? 1,0 < a < 1, n是大于1的正整数.V2第一种情况:3不接近于n引入多重尺度T 0 = t, T1 =贝Vddi = Do + &D1 + ,-(2) ?收稿日期 xxxx-xx-xx基金项目 国家自然科学基金(31300125)第一作者 葛志新,女,硕士,实验师,1970年10月生,邮箱:gezhixin通信作者 陈咸奖,男,硕士 ,副教授,1970年7月生,邮箱
4、:chenxianjiang1d2其中Dn设?Tndt 2 = D 0 + 2 sD0D 1 +u (t) = U0(T0, T1) + eu1(T0, T1) +我们把(2)-(4)代入到 中,得(D2 + 20eD0D 1)(u0(T0, T1) + eu1(T0, T1) + )+ e RD a(u0(T0, T1) + eu1(T0, T1) + )+0(3 + ecos nt )(u0(T0, T1) + &u(T0, T1) + )= 0 .令式(5)中£同次幕相等D 0 uo + 3u= 0,D2u1 +R3 1 + 2D 0D 1U0 + 0aDt°
5、U0 +uocos nt = 0.所以i 3 T cU0 = A(T1)e 0 +A"(Ti)e其中3 =利用分数阶倒数R a10 DtoU0 = r (1- %) dT0 0Riemann-Liouville定义及性质,我们可得d A。- a(t - t)u0( Td toaA(T1)ei( oT0+ 那)+ cc.这里cc是其前面项的共轭复数项又D 0D 1u 0 = oA(T1)ei(n +oT o)+ cc,u o cos nt =12 A(T1)e这里A= ?牛且1i(oT0+nT0) + -A (T1)ei(oT0-nT0)+ cc2 ,这里 cos nt = cos n
6、T o.所以i( coTD20 U1 + o u1 = - 3 A(| 1)e1 1 _i(oT '+ 歹(T1)e (nan0+) 02+ 2oA(T1)ei(2+ 3T)0+nT。)+ _A_(T1)ei(- oT0 + nT0) + cc.2当o不接近于f时,消去式中长期项,令oaA(T1)eiC)+ 2oA(T )ein = 0,且A(T1)=2 2 1p20则innan3ap e( 2 + 0) + 2«( P+ i p6ei(2+ 0) = 0.把(7)式化简,得把(8)式虚实部分开a _3 p cos2,并化简得 a . na -i 3 p sin + 2 3
7、i p 2 wp0= 0.2(8)由(9)(10)得当3 ,为为定义域内常数时其中a 1na3 cos,2a- 1 na3 sin -2-2(9)(10)P,p是指数性衰减,运动是有界的原问题的渐近解可表示u(t) = A(T1)ei3T0 + A_(T1)e-i3To+ 0( 9= p( 0 3To) + p(-i( 0=2 pcos( 0 + 3t)+ 0( £),3a-1 sin na-T2 13To) + 0( £)1na0= 3a- Ti cos一 + Ci, p = C2e2这里Ci, C2由初值决定.我们可以发现 a对原问题的影响在振幅与频率上 图1,且当a定
8、时,振幅指数性衰减.我们因此可以得到在一定的条件下 2.,振幅变化规律如u的变化曲线,如图2.01.81.61.4u1.51.00.5iJ11A f i1020304050-0.51f 7A0.20.4 . 0.6 - 0.8 1.0-1.0V1 T1= 1,3 =图2当 a =,3t图13 , 9=0, (0) = 1曲线2.00(0) = 0,p(0)=1时,ya曲线,这 里y是u(t)的振幅0.1, 00)=时,u t3第二种情况:3当时,引入22v3 =3=+ 9 3.为了消去长期项令2nan3aA(T1)ei( 2)+ 23A(T1)ei21 .-A"(T1)e- 2i31
9、T1 = 0,2(11)设a(T1) = pe 0则我们得到nana i( 2 + 0)舄 i ( 2 +3 pe 2+ 2w( p + i p0)e 20)1e u0+2 31T1)= 0.化简得nan3a pd 2 + 2 w( p'+ i p0)ei 2 +-p e i(2 0+2 31T1) = 0.(12)我们把(12式虚实部分开,得ana-13apC0S - 2®P 肝p cos(2 0+ 2 3 T ) = 0,221 1a . na13 p sin+ 2 3 p -psin(2 0 + 2 3 T ) = 0221 1令x= 2 0+ 2 3仃1,则(13)(
10、14)转化为a1c3 x= 3 cos+cos x+ 2 3 3,22 1(13)(14)(15)23 P_a3 Sin 2na+1 -sin2(16)由(15)(16)得ln( p2) = - In | 3 acosna 1+2 22pTcosa3a - n一l3 cos+2(-sin斗2-sin XX2cos x+ 2 313j(-3asin 号 + 3 acos 号 + 2 31 3)x2 31 3 I +3a cos 二 + 1 cos x + 2 313 d x+ln 1 c 1 .2 2可以发现过渡曲线由下式决定,为an_a c13 cos + 2 3 G= ±2 1 2
11、 若 3 1,则1 cos亍(31=±-±42.因此31随a的增大而增大,如图3.?10.2 .A1. 0-0.2-0.4-0.61.0.2 .0.4 0.6 0.8L图3所以过渡曲线为1nacos 211na2£ +)£+ 0 ( £ +3= (1± 4 -2)-=(1 ± 4 )-(1 士 4 ) cos 2a对过渡曲线的影响在&项上,并且过渡曲线随着a的增大而向右移,如图4,5令B = Br + iB i,则(17)可转化为“B r cosnana133aBisin-23B i + 233 1B r +=0,(
12、18)222 BraB r sinnana13+a D .3 B icos+ 2 wB r + 2 33B i -=0.(19)222 Bi :寻找(18)(19)的形如Br =breY1T1,Bi :=beY1T1的解.把Br =breY1T12Bi =:beY1T1代入(18)(19),得1.41.41.21.21.01.00.80.8A'0.2 0.4 一0.6 0.8 1.00.2 0.4图4 当 £ = 0.1 时,图5 当5 -a曲线/ a曲线£ = 0.01 时,0.6 0.8 1.0为了研究渐近解,引入变换A =naJBei( 2Be-i WlTl,
13、并代入(11),得nn12 wBei2 - 2i 331Bei2 + -B = 0.2(17)3“br COsA23ab sin P 2. + 2. +2- 2®Ybi+ 2 wdbr +Lbr = 0,2a Ina.ana1c3 brsi n+ 3 hcos 丁 + 2Y3br+ 2 ssb - 2b = 0. 求(20)(21)的非零解.由(20)(21)关于未知数br, b的系数行列式为 0,得na21/ a. na2-(3 cos + 2 3 31) + = ( 3 sin + 2 3v1).242从而把(22)代入(20)得即±" 4 - ( 3 aco
14、s 号 + 2 3 31)2 - 3 a sin 罗2 3a na3 sin + 2 3Ybr = ?bi,3acos 尹 + 2 3 31 + 1V1nabr = 士 4 - ( 3a COS 2 + 2 3严)2 bi3 acos + 2 3 312 2(20)(21)(22)(23)把(23)及变换 A = Be- i 31T1 ,b = Br + iB i,Br = breY1T1, Bi = beY1代入(4),得u = (Br + iB i)ei(3T0- 31T1) + (Br - iBi)e- i(3丁0- 3订门 +即nn厂ti 1u = ( B r + iB i)e 2 +
15、 ( B r - iB i)e 2 + “,从而得到u = 2 B ru的近似表达式,即V1COS 2t -2Bi Sin 2t + O( 9 nanast - ( 3 a cos 2+2 33 1)a1e23Sin 2 )1an4 - ( 3 coS 2- + 2 3 31)12V( 3acos 于2 3 31 +nnCOS 2t -S" 2 七)n ast(-4 - ( 3 a cos 2 +2 33 1 ) - 3 a sin+ a2e2321ana c4 - ( 3 cos -J- + 2 3 31)12na2 )(an3 COS+ 2 3 312n cos -2nt- si
16、n - t)+ O( 9+这里ai, a2由初始条件确定由解可知va对解的影响在振幅上9t(4 - ( 3COS令pi = ena4-( 3 a cos 2+2 33 1)23t-V1p3 = ena£t(-4-( 3 a cos 2 +2 3 3 1 )23P4 = ena2a、a -2+23 3 1 )-3 sin2 3 vna2 )naSin 2 )naa cos 2+22 3naSin 2 )-1ana4 - ( 3 a COS + 2 3 31)sin3 ana2 )1an4 - ( 3 a coS -7 + 2 3 31)- - ,可得到一定条件下a对p(i = 1,2,
17、3, 4)的影响,如图6,7;同时我们也能得到u的曲线图,如图8.p3cos .0.60.40.2-0.2°2 °.4 °.6 °8 1.0 A-0.4 L 八0na图 7 当 st= 1,n =22na cos .22,3 1 ,3 = - 2 _时,P2 a , p a 曲图 8 当 9 = 0.1, n=2, 3 1, 31=na-cos 2 , a =, U (0)=2迈0.5, u 3) =- 0.5 时,u(t)t曲线4结论通过以上研究接近于n时2 ,我们可以得到用分数阶导数表示阻尼的Mathieu方程的渐近解.当"亍不u (t)
18、= 2 p cos( 0 + 3t)+ 0(9,其中a- 1 -13 T 1 cosC1,3a - 1 sin nap = C2e21衰减的;当3且C1, C2由初值决定,分数阶指数对解的振幅与频率都有影响 V ,3 4时,V1na2nat 4-( 3 a cos 2+2 33 1)- 3 sin 2)2 3(V24 - ( 3 a COS 号 + 2 3 31)-12,并且振幅是指数型nnC0S 2t -S" 2 七)u = a ieV121na2na£t(-4-( 3 a cos 2 +2 3 3 1)- 3 a sin 2 ) -4 - ( 3a COS + 2 3
19、3l)+ a 2e(3 a COS + 2 3 31 + 12 2 这里a1, a2由初始条件决定,分数阶指数只对解的振幅有影响,振幅指数型增大.通过对含有分数阶导数的Mathieu振动方程解析渐近解的研究,我们明确了该方程的振动规律包括周期、振幅、频率这个研究为我们进一步研究含有分数阶导数的 程其他性质,如稳定性、极限环、分叉等提供了依据3acos + 2 331 +n ncos - t-si n-1)+°”Mathieu振动方参考文献1 Nayfeh A. H. Introduction to perturbation techniquesM. Shanghai: Shangha
20、i TranslationPublishing House, 19902 刘灿昌,岳书常,许英姿,等.参数激励非线性振动时滞反馈最优化控制J.振动与冲击,2015,34(20):6-9LIU Can-chang, YUE Shu-chang, XU Ying-zi, et al. Optimal control of parametric excitated nonlinear vibration system with delayed linear and nonlinear feedback controllersJ. Journal of vibration and shock,2015
21、,34(20):6-93 R. H. Rand, S. M. Sah, M. K. Suchorsky. Fractional Mathieu equation. Communications inNonlinear and Science Numerical Simulation,2010, 15(11):3254-32624 A. Y. T. LEUNG, ZHONGJIN GUO, H. X. YANG. Transition Curves and Bifurcations of a classof Fractional Mathieu -Type Equations J. Intern
22、ational Journal of Bifurcation and Chaos, 2012, 22(11):1853-18535 A Mesbahi,M Haeri,M Nazari, et al. Fractional delayed damped Mathieu equationJ. InternationalJournal of Control , 2015,88(3):622-630(9)陈林聪,李海锋,李钟慎,等.宽带噪声激励下含分数阶导数的Du? ng-van del Pol振子的稳态响应J.中国科学:物理学力学天文学,2013, 43 (5):670 - 677Chen L C
23、, Li H F, Li Z S, et al. Stationary response of Du? ng-van del Pol oscillator with fractionalderivative under wide-band noise excitations (in Chinese). Sci Sin-Phys Mech Astron, 2013, 43: 670 - 6777 杨建华,刘厚广,程刚.一类五次方振子系统的叉形分叉及振动共振研究J.物理学报,2013,62(18):180503Yang Jian-Hua, Liu Hou-Guang Cheng Gang. The
24、 pitchfork bifurcation and vibrationalresonancein a quintic oscillatorJ. Acta Phys. Sin.,2013.62(18):1805038 张路,谢天婷,罗懋康.双频信号驱动含分数阶内、外阻尼Dufng振子的振动共振J.物理学报,2014,63(1):010506Zhang Lu, Xie Tian-Ting, Luo Mao-Kang.Vibrational resonance in a Du? ng system with fractional-order external and intrinsic dampi
25、ngs driven by the two-frequencysignalsJ. Acta Phys. Sin.2014,63(1): 0105069 韦鹏,申永军,杨绍普.分数阶van der Pol振子的超谐共振J.物理学报,2014, 63(1): 010503 Wei Peng, Shen Yong-Juny, Yang Shao-Pu. Super-harmonic resonance of fractional-order van der Pol oscillatorJ. Acta Phys. Sin.,2014, 63(1): 01050310 申永军,杨绍普,邢海军.含分数阶微
26、分的线性单自由度振子的动力学分析J.物理学报,2012, 61(11):110505Shen Yong-Jun, Yang Shao-Pu, Xing Hai-Jun. Dynamical analysis of linear single degree-of-freedom oscillator with fractional-order derivativeJ. Acta Phys. Sin., 2012, 61(11):11050511 申永军,杨绍普,邢海军.含分数阶微分的线性单自由度振子的动力学分析(n )J.物理学报, 2012,61(15): 150503Shen Yong-Ju
27、n, Yang Shao-Pu, Xing Hai-Jun.Dynamical analysis of linear single degree-of-freedom oscillator with fractional-order derivative( n )J. Acta Phys. Sin., 2012, 61(15):15050312 莫嘉琪.非线性分数阶微分方程的奇摄动J.应用数学学报,2006, 29(6):1086-1090Mo J Q. Singular perturbation of nonlinear fractional di ? erential equationJ.
28、 Acta Mathematicae Applicatae Sinica,2006, 29(6):1086-109013 葛志新,陈咸奖.一类含有两参数的小迟滞方程的渐近解J.应用数学学报,2014,37(3):407-413 GE Z X,CHEN X J. The asymptotic solution of a class of small delay equations with Two ParametersJ. Acta Mathematicae Applicatae Sinica,2014,37(3):407-41314 葛志新.一类二次奇摄动Robin问题J.工程数学学报,201
29、1,28(2): 245-250GE Z X.A Class of the quadratic singularly perturbed boundary value problems with the Robin conditionJ. Chinese Journal of Engineering Mathematics,2011,28(2):245-25015 葛志新.一类两参数奇异摄动拟线性微分方程组的边值问题渐近解J.工程数学学报,2013,30:611-618GE Z X. Asymptotic solutions about a class of the quasilinear system of di?
温馨提示
- 1. 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
- 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等,如果需要附件,请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
- 3. 本站RAR压缩包中若带图纸,网页内容里面会有图纸预览,若没有图纸预览就没有图纸。
- 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
- 5. 人人文库网仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑,并不能对任何下载内容负责。
- 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容,请与我们联系,我们立即纠正。
- 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。
最新文档
- 中国巯丙基甲基二甲氧基硅烷项目商业计划书
- 哈尔滨市人民医院医疗事故处理条例考核
- 晋城市人民医院颅底肿瘤切除术技术考核
- 大同市人民医院腹腔镜技能模拟训练考核
- 中国双丙戊酸钠项目创业计划书
- 邯郸市人民医院前哨淋巴结活检技术专项考核
- 朔州市中医院微创颈椎后路钥匙孔技术考核
- 巴彦淖尔市人民医院隐形矫治技术专项技能考核
- 张家口市中医院护理学科质量管理考核
- 延边州中医院疑难手术技术考核
- 燃气安全使用管理制度范本
- 围堰施工工序质量验收评定规范
- 2025陕西寰宇正信科技产业发展有限公司招聘(71人)笔试参考题库附带答案详解
- 2025年高考英语试卷(全国Ⅱ卷)(解析卷)
- 2025年小学道德与法治教师招聘真题(含答案)
- 风电场作业安全培训内容课件
- 2025年成人高考专升本《政治》真题(含答案)
- 秋天的宝贝课件
- 海关贸易安全培训教材课件
- 2025至2030中国CMP抛光材料行业项目调研及市场前景预测评估报告
- 2025年广东省中考英语真题及参考答案
评论
0/150
提交评论