一类含有分数阶导数的参数激励振动问题

1、一类含有分数阶导数的参数激励振动问题葛志新1 ,陈咸奖2(1.安徽工业大学 数理学院，安徽马鞍山243002; 2安徽工业大学 商学院，安徽马鞍山243002) 摘要：研究了一类具有分数阶导数阻尼的参数激励振动问题首先对含有由Riemann-Liouville定义的分数阶导数的Mathieu振动方程构造渐近解，利用多重尺度法，在激励参数取不同值的情况下，求得渐近解，得到分数阶指数对解的影响关键词：多重尺度；分数阶导数；参数激励;过渡曲线中图分类号:O175.14文献标识码：A1引言文章编号 :振动现象是生活中常见的现象，也是学术界研究的热点话题-11，如Nayfeh在1中讨论的自由振动、非齐次

2、项激励和参数激励下的各种受迫振动问题的渐近解及共振情况，刘灿昌等在2中讨论的参数激励非线性振动时滞反馈最优化控制振动问题的稳定性等他们讨论的问题的导数都用整数阶导数描述随着数学的发展，分数阶导数逐渐进入学者们的视野，学者们发现分数阶导数更能准确描述记忆性材料的导数特性学者们开始研究具有分数阶导数阻尼的振动情况3-11，如-11是研究非齐次项激励的振动问题学者们对用分数阶导数描述外阻尼的参数激励的振动问题研究较少3,4,5，且在3,4,5中使用谐波平衡法对分数阶阻尼Mathieu方程进行研究的.本文将在1 - 15的基础上研究含有参数激励的分数阶导数振 动问题，对用分数阶导数来描述阻尼的Math

3、ieu方程的解用多重尺度法求得渐近解，并研究分数阶导数对解的影响考虑od2ud aud?2 + ( 3+ £COS nt)u + 需=0,(1)其中3是激励参数，0 < £? 1,0 < a < 1, n是大于1的正整数.V2第一种情况：3不接近于n引入多重尺度T 0 = t, T1 =贝Vddi = Do + &D1 + ，-(2) ?收稿日期 xxxx-xx-xx基金项目 国家自然科学基金(31300125)第一作者 葛志新，女，硕士，实验师，1970年10月生，邮箱:gezhixin通信作者 陈咸奖,男,硕士 ,副教授,1970年7月生，邮箱

4、:chenxianjiang1d2其中Dn设?Tndt 2 = D 0 + 2 sD0D 1 +u (t) = U0(T0, T1) + eu1(T0, T1) +我们把(2)-(4)代入到 中,得(D2 + 20eD0D 1)(u0(T0, T1) + eu1(T0, T1) + )+ e RD a(u0(T0, T1) + eu1(T0, T1) + )+0(3 + ecos nt )(u0(T0, T1) + &u(T0, T1) + )= 0 .令式(5)中£同次幕相等D 0 uo + 3u= 0,D2u1 +R3 1 + 2D 0D 1U0 + 0aDt°

5、U0 +uocos nt = 0.所以i 3 T cU0 = A(T1)e 0 +A"(Ti)e其中3 =利用分数阶倒数R a10 DtoU0 = r (1- %) dT0 0Riemann-Liouville定义及性质，我们可得d A。- a(t - t)u0( Td toaA(T1)ei( oT0+ 那)+ cc.这里cc是其前面项的共轭复数项又D 0D 1u 0 = oA(T1)ei(n +oT o)+ cc,u o cos nt =12 A(T1)e这里A= ?牛且1i(oT0+nT0) + -A (T1)ei(oT0-nT0)+ cc2 ，这里 cos nt = cos n

6、T o.所以i( coTD20 U1 + o u1 = - 3 A(| 1)e1 1 _i(oT '+ 歹(T1)e (nan0+) 02+ 2oA(T1)ei(2+ 3T)0+nT。)+ _A_(T1)ei(- oT0 + nT0) + cc.2当o不接近于f时，消去式中长期项，令oaA(T1)eiC)+ 2oA(T )ein = 0,且A(T1)=2 2 1p20则innan3ap e( 2 + 0) + 2«( P+ i p6ei(2+ 0) = 0.把(7)式化简,得把(8)式虚实部分开a _3 p cos2，并化简得 a . na -i 3 p sin + 2 3

7、i p 2 wp0= 0.2(8)由(9)(10)得当3 ,为为定义域内常数时其中a 1na3 cos,2a- 1 na3 sin -2-2(9)(10)P,p是指数性衰减，运动是有界的原问题的渐近解可表示u(t) = A(T1)ei3T0 + A_(T1)e-i3To+ 0( 9= p( 0 3To) + p(-i( 0=2 pcos( 0 + 3t)+ 0( £),3a-1 sin na-T2 13To) + 0( £)1na0= 3a- Ti cos一 + Ci, p = C2e2这里Ci, C2由初值决定.我们可以发现 a对原问题的影响在振幅与频率上 图1,且当a定

8、时，振幅指数性衰减.我们因此可以得到在一定的条件下 2.，振幅变化规律如u的变化曲线，如图2.01.81.61.4u1.51.00.5iJ11A f i1020304050-0.51f 7A0.20.4 . 0.6 - 0.8 1.0-1.0V1 T1= 1,3 =图2当 a =,3t图13 , 9=0, (0) = 1曲线2.00(0) = 0,p(0)=1时，ya曲线，这 里y是u(t)的振幅0.1, 00)=时，u t3第二种情况：3当时，引入22v3 =3=+ 9 3.为了消去长期项令2nan3aA(T1)ei( 2)+ 23A(T1)ei21 .-A"(T1)e- 2i31

9、T1 = 0,2(11)设a(T1) = pe 0则我们得到nana i( 2 + 0)舄 i ( 2 +3 pe 2+ 2w( p + i p0)e 20)1e u0+2 31T1)= 0.化简得nan3a pd 2 + 2 w( p'+ i p0)ei 2 +-p e i(2 0+2 31T1) = 0.(12)我们把(12式虚实部分开，得ana-13apC0S - 2®P 肝p cos(2 0+ 2 3 T ) = 0,221 1a . na13 p sin+ 2 3 p -psin(2 0 + 2 3 T ) = 0221 1令x= 2 0+ 2 3仃1,则(13)(

10、14)转化为a1c3 x= 3 cos+cos x+ 2 3 3,22 1(13)(14)(15)23 P_a3 Sin 2na+1 -sin2(16)由(15)(16)得ln( p2) = - In | 3 acosna 1+2 22pTcosa3a - n一l3 cos+2(-sin斗2-sin XX2cos x+ 2 313j(-3asin 号 + 3 acos 号 + 2 31 3)x2 31 3 I +3a cos 二 + 1 cos x + 2 313 d x+ln 1 c 1 .2 2可以发现过渡曲线由下式决定，为an_a c13 cos + 2 3 G= ±2 1 2

11、 若 3 1,则1 cos亍(31=±-±42.因此31随a的增大而增大，如图3.?10.2 .A1. 0-0.2-0.4-0.61.0.2 .0.4 0.6 0.8L图3所以过渡曲线为1nacos 211na2£ +)£+ 0 ( £ +3= (1± 4 -2)-=(1 ± 4 )-(1 士 4 ) cos 2a对过渡曲线的影响在&项上，并且过渡曲线随着a的增大而向右移,如图4,5令B = Br + iB i,则(17)可转化为“B r cosnana133aBisin-23B i + 233 1B r +=0,(

12、18)222 BraB r sinnana13+a D .3 B icos+ 2 wB r + 2 33B i -=0.(19)222 Bi :寻找(18)(19)的形如Br =breY1T1,Bi :=beY1T1的解.把Br =breY1T12Bi =:beY1T1代入(18)(19),得1.41.41.21.21.01.00.80.8A'0.2 0.4 一0.6 0.8 1.00.2 0.4图4 当 £ = 0.1 时，图5 当5 -a曲线/ a曲线£ = 0.01 时,0.6 0.8 1.0为了研究渐近解，引入变换A =naJBei( 2Be-i WlTl,

13、并代入(11),得nn12 wBei2 - 2i 331Bei2 + -B = 0.2(17)3“br COsA23ab sin P 2. + 2. +2- 2®Ybi+ 2 wdbr +Lbr = 0,2a Ina.ana1c3 brsi n+ 3 hcos 丁 + 2Y3br+ 2 ssb - 2b = 0. 求(20)(21)的非零解.由(20)(21)关于未知数br, b的系数行列式为 0,得na21/ a. na2-(3 cos + 2 3 31) + = ( 3 sin + 2 3v1).242从而把(22)代入(20)得即±" 4 - ( 3 aco

14、s 号 + 2 3 31)2 - 3 a sin 罗2 3a na3 sin + 2 3Ybr = ?bi,3acos 尹 + 2 3 31 + 1V1nabr = 士 4 - ( 3a COS 2 + 2 3严)2 bi3 acos + 2 3 312 2(20)(21)(22)(23)把(23)及变换 A = Be- i 31T1 ,b = Br + iB i,Br = breY1T1, Bi = beY1代入(4),得u = (Br + iB i)ei(3T0- 31T1) + (Br - iBi)e- i(3丁0- 3订门 +即nn厂ti 1u = ( B r + iB i)e 2 +

15、 ( B r - iB i)e 2 + “，从而得到u = 2 B ru的近似表达式，即V1COS 2t -2Bi Sin 2t + O( 9 nanast - ( 3 a cos 2+2 33 1)a1e23Sin 2 )1an4 - ( 3 coS 2- + 2 3 31)12V( 3acos 于2 3 31 +nnCOS 2t -S" 2 七)n ast(-4 - ( 3 a cos 2 +2 33 1 ) - 3 a sin+ a2e2321ana c4 - ( 3 cos -J- + 2 3 31)12na2 )(an3 COS+ 2 3 312n cos -2nt- si

16、n - t)+ O( 9+这里ai, a2由初始条件确定由解可知va对解的影响在振幅上9t(4 - ( 3COS令pi = ena4-( 3 a cos 2+2 33 1)23t-V1p3 = ena£t(-4-( 3 a cos 2 +2 3 3 1 )23P4 = ena2a、a -2+23 3 1 )-3 sin2 3 vna2 )naSin 2 )naa cos 2+22 3naSin 2 )-1ana4 - ( 3 a COS + 2 3 31)sin3 ana2 )1an4 - ( 3 a coS -7 + 2 3 31)- - ，可得到一定条件下a对p(i = 1,2,

17、3, 4)的影响，如图6,7;同时我们也能得到u的曲线图，如图8.p3cos .0.60.40.2-0.2°2 °.4 °.6 °8 1.0 A-0.4 L 八0na图 7 当 st= 1,n =22na cos .22,3 1 ,3 = - 2 _时,P2 a , p a 曲图 8 当 9 = 0.1, n=2, 3 1, 31=na-cos 2 , a =, U (0)=2迈0.5, u 3) =- 0.5 时,u(t)t曲线4结论通过以上研究接近于n时2 ，我们可以得到用分数阶导数表示阻尼的Mathieu方程的渐近解.当"亍不u (t)

18、= 2 p cos( 0 + 3t)+ 0(9,其中a- 1 -13 T 1 cosC1,3a - 1 sin nap = C2e21衰减的；当3且C1, C2由初值决定，分数阶指数对解的振幅与频率都有影响 V ,3 4时，V1na2nat 4-( 3 a cos 2+2 33 1)- 3 sin 2)2 3(V24 - ( 3 a COS 号 + 2 3 31)-12，并且振幅是指数型nnC0S 2t -S" 2 七)u = a ieV121na2na£t(-4-( 3 a cos 2 +2 3 3 1)- 3 a sin 2 ) -4 - ( 3a COS + 2 3

19、3l)+ a 2e(3 a COS + 2 3 31 + 12 2 这里a1, a2由初始条件决定，分数阶指数只对解的振幅有影响，振幅指数型增大.通过对含有分数阶导数的Mathieu振动方程解析渐近解的研究，我们明确了该方程的振动规律包括周期、振幅、频率这个研究为我们进一步研究含有分数阶导数的 程其他性质，如稳定性、极限环、分叉等提供了依据3acos + 2 331 +n ncos - t-si n-1)+°”Mathieu振动方参考文献1 Nayfeh A. H. Introduction to perturbation techniquesM. Shanghai: Shangha

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