2002考研数三真题及解析

1、修正版2002年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分，把答案填在题中横线上）设常数a工»贝0 limln2n 一 2na +1n(l-2")交换积分次序：dyj尸/（X, y）eZv + 心/（忑yM =设三阶矩阵A=1 2 -2、2 1 2、304,三维列向量& =（0丄1）已知Aa与住线性相关，则-10100.07080J510.08032020设随机变量X和Y的联合概率分布为则x?和尸的协方差cov（xy-）=设总体X的概率密度为而Xj,X2，乙是来自总体X的简单随机样本，则未知参数&的矩估计量为.二.选择题

2、（本a共5小题，每小题3分，共15分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设函数/（X）在闭区间a.b:有定义，在开区间（“上）内可导，贝IJ（(A) 当 f(a)f(b)<W.存在使/(g)=0(B) 对任何(«,/?) r 有lim/(;v)-/(§) = 0 F(C) 当 f(a) = f(h)时，存在 §(“#),使广(§) = 0(D) 存在§("上)，使f(h)-f(a) =(g)(b-u)»X尺1»"2设幕级数工(如与工»

3、0的收敛半径分别为止与一，则帚级数为上pF的收敛半w-i/I-I/-)33r-l径为(A) 5(D)-J设A是W X /I矩阵，B是n X /»矩阵，则线性方程组(AB)x = O ()(A)当> /n时仅有零解(C)当ftj > fl时仅有零解(B)当« > W时必有非零解(D)当时必有非零解设A是”阶实对称矩阵，P是H阶可逆矩阵，已知“维列向；！是A的属于特征值几的特征向量，则矩阵属于特征值兄的特征向量是 (A) P*a(B) P'a (C)Pa(D)(p7)l 设随机变量X和Y都服从标准正态分布，则 (A)X+y服从正态分布X*尸服从r分布(

4、OX-和厂都服从r分布(D)X-/r-服从F分布(本题满分5分)J；求极限 lim-firJo arctan(l+Z)Jr dux(l-cos X)四、(本題满分7分)设函数/ = f(A；,Z)有连续偏导数，且Z = Z(x)由方程xe"" -ye' =ze所确定求d"五.(本题满分6分)设g"盍求J闿(曲六、(本题满分7分)设9是由抛物线y = 2x-和直线x = a.x = 2及y = 0所围成的平而区域：0是由抛物线y = 2x-和宜线y = 0x = a所用成的平而区域，其中0 <a<2(1)试求9绕X轴旋转而成的旋转体体枳

5、绕y轴旋转而成的旋转体体积匕:(2)问当d为何值时，K+%取得最大值？试求此最大值.七、（本题满分7分）3693/1+（Y0 VXV+O0）满足微分方程验证函数）3=1+令+話令+話» 严利用的结果求卑级数Z&yyj的和函数.八本题满分6分）设函数/（x）,ga）在仏切上连续，且g（x）o利用闭区间上连续函数性质，证明存在一点 ea,h,使 £/(x)g(x)J.v = /()£ gx)dx.九.（本题满分8分）设齐次线性方程组FOV +1* +加3 + + bx“ =0,bXj +(/%2 +加3 +如=0, bX +翊+加3 + "兀=

6、76;试讨论a#为何值时，方程组仅有零解、有无穷多组解？在有无穷多组解时，求出全部解, +. 本题满分8分）并用基础解系表示全部解.设A为三阶实对称矩阵.且满足条件A'+2A=0,已知A的秩r（A） = 2（1）求A的全部特征值（2）当k为何值时，矩阵A + kE为正宦矩阵，其中£为三阶单位矩阵. 十一.（本题满分8分）假设随机变量U在区间-2,2上服从均匀分布，随机变量1,若卩> 1;"若"G t 若 C/>1;试求：（1）X和Y的联合概率分布；（2）D（X+Y） 十二、（本題满分8分）假设一设备开机后无故障工作的时间X服从指数分布，平均无故

7、障工作的时间E（X） 为5小时设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作2小时便关机试 求该设备每次开机无故障工作的时间Y的分布函数F（y）2002年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题【答案】匸茲【详解】“In”里而为“1"型，通过凑成重要极限形式来求极限,=lim1 - 2aIn 1 +n(-2a)In e =l 2a 2an 2na +1nli1 n+ 1 N(l-2a)11111 111n(l-2a)lim Inn(l2d)-2a(2)【答案】jb,vJ'；/U,yXfy【详解】画出与原题中二次积分的限所对应的积分区域q与D"将它

8、们的并集记为DI) y4'/再将后者根据积分泄义化为如下形式，即X从0T上，y从Ftx,所以 22JJ /(坨 y Wb = 2 /寸;/(%, y)dyD【答案】-1 【详解】12-2、/ a'a Aa =2121=2a + 3304>丄亠+ 4,由于Aaa线性相关，（两个非零向量线性相关，则对应分量成比例），所以有a 2a+ 3 3a+ 4_.=,得 2« + 3 = 3« + 4,« = -La 1I/ az a2a+ 3=k1,得、3a + 4'丄ta即或Aa = ka.伙HO）（两个非零向量线性相关，则其中一个可以由另一个线

9、性表出）u = ka2a + 3 = k » 得 a = -l.(k = I)3(1+ 4 = k【答案】-0.02.【详解】厂和灯 尸都是0_1分布，而0-1分布的期望值恰为取H忖的概率由离散型随机变量X和y的联合概率分布表可得X?的可能取值为0和1,且尸的可 能取值也为0和1,且X和Y的边缘分布为pX=0=Q07+018 + 015 = 04： PX = l = 008 + 032+020 = 06 pr = _| = O.O7 + O.O8 = O.I5： Py = 0 = 0J8+0.32 = 0.5： py = l=015+020 = 035：故有X01Y0.40.6px-

10、=o,y- =o = px = aY=o=oi&0.150,50.35-1 0px-=o,r- = i = px=o,y=-i+px = o,y = i=o.o7+oj5=o.22.px- = i,r-=o = px = hy=o=o32,px- = i,r- = i = px = i,r=-i+px = i,r = i = 0-08+02o=o.2 & 而边缘分布律：p|x-=o = pX= 0 = 0.4. px-=l = PX=l=0.6, py2=o = Py=O = O5,Py2=i = py = - + py = i = 0 15 + 0.35 = 0.5所以，（X

11、y2）的联合分布及其边缘分布为0100. 180. 2204010. 320. 280600. 500. 501由上表同理可求得x2y2的分布律为X叨01P0. 720. 28所以由0-1分布的期望值恰为取1时的概率P得到:E(X-)=G.5. £(尸)=06aE(X2尸)=028cov(X r-) = £(X-y')-£(X-)£(r') = 0.28-0.6x0.5 = -0.02【答案】X-1【详解】矩估计的实质在于用样本矩来估计相应的总体矩，此题中被估参数只有一个，故只 需要用样本一阶原点矩（样本均值）来估计总体的一阶原点矩（期望

12、）期望E（X）=匚 xfxdx =匚 X严叫X = 0 + 1样本均值x=-yx, 用样本均值估il期望有EX = X , R卩&+l = 1fx、1 JL-解得未知参数&的矩估讣量为6*=-yx.-i = x-u二选择题(1)【答案】(B)【详解】方法1：论证法.由题设/(X)在开区间("/)内可导，所以/(x)在上)内连续,因此，对于("Q内的任意一点必有lim/W = /«).即有Iim/U)-/()l = 0.故 才十xfi选.方法2：排除法.(A)的反例J f(X)=-1x(aj?亠，有 = 一1 < 0,x = a但/(X)在(“

13、小)内无零点.(C)与(D)的反例，/(X)="7 川 /(-!) = / =1，但尸 W = l(当x = -lX(-1J)，不满足罗尔中值定理,当然也不满足拉格朗日中值崔理的结论.故选(B)【答案】D)【详解】方法1： A是/nX «矩阵，B是nx w矩阵，则AB是加阶方阵，因心 B)< min(心)"(B).当W > 时，有rAB < min(r(A),r(B) < n <.(系数矩阵的秩小于未知数的个数)方程组AB)x = 0必有非零解.故应选(D)方法2： B是心观矩阵，当W > n时"则r(B) =

14、71;> (系数矩阵的秩小于未知数的个数)方程组& = 0必有非零解，即存在欠0工0使得=两边左乘A,得即A& = 0有非零解，故选(D)【答案】(B)【详解】方法1：由题设根据特征值和特征向量的世义，Aa = Aa. A是阶实对称矩阵, 故设P)=B,则上式左乘pL.右乘得(P )T BpF = (pr )7 P A(P 厂)pT，即 A = pL BpT ,所以 Aa = (PBP)a = Aa两边左乘 p7 ,得(刃0'0P)a = P(2a)得 B(pf a) = ylPa根据特征值和特征向量的定义.知5 =(卩仏卩)的对应于特征值兄的特征向量为pTa ,

15、即应选(B)方法2：逐个验算(A), (B). (C). (D)中哪个选项满足，由题设根据特征值和特征向量的左7*义，Aa = Aa. A是“阶实对称矩阵，故A=A设(PAP)属于特征值兄的特征 向量为即(p7AP§=/t§,其中(pT/i=py/fp-w对(A),即令g = P"a,代入PUp"(严匕)工兄严匕对(B), pTApJ(p7a) = PA(p"pT)a = p7A()a = P'Aa=A(P'a)成立.故应选(B)(4)【答案】C【分析】F变量的典型模式是：r = x； + x；+X；,其中Xj要求满足：X用互独

16、立，XjN(O,l)称力2为参数为川的才2变量y/zb(ii) F变量的典型模式是：尸=兰2，其中X要求满足：X与y相互独立X力2("2)，称F为参数为(«p«2)的F变量.【详解】方法h根据题设条件，X和y均服从N(0,1)故x2和尸都服从/(I)分布， 答案应选(C).方法2：题设条件只有X和y服从N(ai),没有X与y的相互独立条件.因此，x?与y? 的独立条件不存在，选(B)、(D)项均不正确题中条件既没有X jY独立，也没有(x,y)正态，这样就不能推出X+Y服从正态分布的选项(A).根据排除法，正确选项必为(C).三【详解】fX firarctan(l

17、 + f)( ditJo Jox(l-cos«v)等limXtUf f arctan(l+z)Jr du Jo JoX2洛 liin=A-MJJo Mcmn(l + 0df 洛如巩00(1 + 工2)2；1 _ 2 n _n=j Qy3 463x四【详解】方法1：用一阶微分形式不变性求全微分.如=fdx + f；dy + f；dzz = z（x,y）由所确总，两边求全微分，有dxe 一)0 ) = d(疔)n (加)一(&) = d(ze)=> xe'cJx + edx - ye- Jy - edy = zel/z + edz ,解出边=心+1）+ 1）心，（设

18、Z +冷0）.所以如也+血+小心+皿一 n心dx +“ "0(y+i)72 h 7.、_叫+1)._心+ 1)0"Z + 1)dyaa aa方法2： = f；+f；, = /；+£二（根据多元函数偏导数的链式法则） dxox dydy下而通过隐函数求导得畤，养两边对龙求偏导数，有"2+eY=(zH+6>t)冬,dx得密=竺±匚（込+1工0）类似可得，密=_2£二，代入?，字表达式dx H + e “dy zQ + Qox dyduoxze +e再代入恥詈如諛中，得Jy-Y五【详解】首先要从/(sin'x) = 求出/(x

19、) sinxIt = sin X ,则有 sinx = JIT, a= arcsin-Tn > 于是 7'(")=竺兽区.(通过换元 4u求出函数的表达式)J芒“心去迸&=Jf arcsin ,=ovX2sinrcosfdf (换元积分法)cosf=2" sin/dr =2ZcosZ + sin/ + C (分部积分法)=2 J-x arcsin Vx + 4x + C.六【分析】旋转体的体积公式：设有连续曲线r：y = fx(a<x<h). /(j)>0与宜线x = a.x = h及天轴用成平而图形绕X轴旋转一周产生旋转体的体枳V=

20、Ja【详解】 V； =(2x-dx = (32-)岭=兀/2/ 一兀4 xdy =托/ 0<n < 2.4”(2) V = Vi+K=(32-"5) + 兀/根据一元函数最值的求法要求驻点，令= 4;rt?(l-«)=0.daciVdV得d = l当0VdV1时>0,当1<"<2时<0,因此"=1是V的唯一极值点且 dada是极大值点，所以是V的最大值点，maxv = .七【解】(1) )0)=1+-+-+兰+竺+=l+£丄,3! 6! 9!?)！幺?)！由收敛半径的求法知收敛半径为S ,故由幕级数在收敛区间

21、上逐项可导公式得_导3d心_ G召(3«)!(3/1-1)! *同理得y 喀3"一2)!从而W3iiI»站皿"回哼启）陀时严氓而* r。=1 +V （由e"的麦克劳林展开式） "!=e这说明,）,（犬）=工是微分方程/+y + y = 的解，并且满足初始条件心）?）!» rP”介3"1心?）!（2）微分方程y"+# + y = Q对应的齐次线性方程为/ + y+y = O,英特征方程为八小=0,其特征根为一*孕，所以其通解为y =门C, cosX + C, sin x.2 2另外，该非齐次方程的特解形式为

22、代入原非齐次方程得 所以c =二故微分方程3'* + / + y = 的通解为y = /2C,cos X + C. sina + -. '223/ = -ixe(C,cosx+C, sin.r + /-C,xxsinx + C,cosj + ie' '2'2'2"222 -3冷品 G-2GX芈)加(2s£)gs 孚+ *由初始条件y(O) = l,/(O) = 0得_0斤I1 = e -C|cos xO + C,sin x0 + -r = C +- '223'30 = -xt* (C -2C| X)sinxO-

23、xt- (C. -2C, x)cos x0 + -*2-*222 I -223=_ic.c,xa2 "23解得*G+£g+*o2于是得到惟一的一组解：G=-G =0从而得到满足微分方程/ + / + y = 及初始条件y(O) = ty(O) = 0的解，只有一个.为y = lehosx + e3 23» 丫3川r.O ?)!另一方而，由(1)已知)，(工)=工2=也是微分方程h+y + y = K及初始条件 y(0) = 1, y0) = 0的解，由微分方程解的唯一性，知 + yL = lecosx + -e'(<x<-).n )!323八【

24、详解】方法h因为/(X)*J g(x)在a.h I:连续，所以存在K尤2使得f(Xy = M = max /(x), /(%,) = /«= inin /(x),满足加</(x)<M又巩兀)>0,故根据不等式的性质"农 </Cv)g(x) < Mg(x)根据定积分的不等式性质有M M J： g(x)J.v,所以 ni<Cf(x)sx)dx<M f g(x)dxJaV f(x)gx)dx由连续函数的介值世理知，存在歹eS",使/(§)=f g(x)dx即有 J：j'(x)g(x)dx = /(§)

25、：g(x)厶.方法2：因为/(X)g(x)在g,/?卜.连续，且g(x)>0,故/(x)g(x)dx与必都存在，且f g(x)dx>0 Jafbf(x)g(x)dxb“记如7= h f 于是 £ j xg(x)dx = /£ g(xdx = £ hg(xcfx,即J g(x)dx。"“jfi£(/w-/og(A-xv=o因此必存在使/(§) = /?不然，则在(仏/?)内由连续函数的零点；4理知要么fx)-h恒为正，从而根摇积分的基本性质得p/(x)-/0gUXv>0：要么fx-h 恒为负，同理得£(/(x

26、)-A)g(x)J%<0,均与f (/(肝-/?)&(兀)必=0不符.由此推知存在§小)使/(§) = "，从而J： fx)g(x)clx = /(§)( g(xdx .九【详解】方法1：对系数矩阵记为A作初等行变换2行行3行行nii-mTah-ah-aba-h0h 0 a-h b-a0a-h)当 = b(HO)时，r(A) = l,AX=O的同解方程组为西+七+兀=0,基础解系中含有-1个(未知数的个数系数矩阵的秩)线性无关的解向量，取兀2*3，,兀为自由未知量，分别取-2 =1,3 =0 =0 >大2=°，大3=1兀1=

27、0 rA =0,3=0兀,=1得方程组-1个线性无关的解=l丄0,o珂一心丄。,o，境-=(l.O,0,1 »为基础解系，方程组AX=O的全部解为X=/（点+kg严+匕一嵩一苴中«（j = 12“一 1）是任意常数.当 工 b 且 a H -(/I -)b 时 f当Q丰b时,/ahb b、2行/心）/abhb、b-aa-h0 0nlf (fl-6)-110 0Ath-a0a-h 0T-10I 0b_a00 *a_b.1001>a + n-b 0I行3行xiA=a + (n-)h 丰 0 r(A)=儿 AX =0 仅有零解.当 = （”一l）b时，rA） = fi-tA

28、X =0的同解方程组是-X| + *2 = 0,-X, += 0,_X|+£ = a基础解系中含有1个线性无关的解向量,取舜为自由未知量，取x,=U得方程组1个非零解M = i丄即我基础解系,故方程组的全部解为X=kg,英中鸟是任意常数.方法2：方程组的系数行列式w=把第2 «列加到第1列d + («-l)Z?d + («-l)ba + n-Vh提取第1列的公因子a + (n-)b第2行-第1行第你第%+(“ha-b0b 0 a-h 第”行第1行0a-b= S + («-l)Z?Ka_b)z(1)当 工且b时，A HO .r(A) = H方程组

29、只有零解.(2)当 a=b(HO)时,第2行-第1行 第3行-第1行 第川行-第1行方程组的同解方程组为基础解系中含有个(未知数的个数系数矩阵的秩)线性无关的解向量，取/2心宀为自由未知量，分别取大2 =1心=0，旺=0 ,兀2 =0书=1， =0， x,=0,x,=0厲=1得方程组-1个线性无关的解纟严卜ua,0§2=卜1010,01,知=卜10宀01为基础解系，方程组AX=0的全部解为+其中 坯j = 12”一 1)是任意常数.(1)当 4 = 一("一1妙工0)时,(1-/!)/?hbhb(1-/?)/?1-n1-H2行-1行3行-1行1一fl_n0-n17丿-Iti

30、-n(02n行分别X丄n把第2刀行都依次加到第1行h (1_«)乞r(A) = H-.其同解方程组是A, -x, =a一 X3 =0,召一兀=0,得方程组1个基础解系中含有个线性无关的解向量，取天I为自由未知量，取x,=U非零解§ = 1丄，即其基础解系，故方程组的全部解为X=kg,英中鸟是任意常数.十【详解】(1)设兄是A的任意特征值，a是A的属于兄的特征向量，根据特征值、特征两边左乘A,得Aa = AAa =兄加=+2水得(才+2A)a = (，+ 2/l)a因 A'+2A=0,czhO,从而上式(-4'+2A)a =(A'+2A)a = 0,所

31、以有a?+2/1 = 0,故A的特征值几的取值范为a-2因为A是实对称矩阵，所以必柑似于对角阵A,且A的主对角线上元素由A的特征值组成，且r（A） = r（A） = 2.故A的特征值中有且只有一个0-2-2（若没有0,则卜-2,故r（A） = r（A） = 3与已知矛盾：若有两个0,则人=0-20,故r(A) = r(A) = O与已知故rM） = r（A） = le知矛盾：若三个全为6矛盾）.故-2A-A =-20HP A有特征值人（2）A + kE是实对称矩阵，A有特征值人=/=-2,人=0,知A + kE的特征值为k-Zk-Zk.丙为矩阵正世的充要条件是它的所有的特征值均大于零，故k-2>Qk>05 ak>Q故k>2时A + /cE是正定矩阵.十一【分析】（X#）有四个可能值，可以逐个求出.在il算过程中要注意到取值打U的值 有关.U的分布为均匀分布，汁算概率不用积分都行，可以直接看所占区间的长度比例即 可【详解】（X"）只有四个可能值（一1