专题8数轴穿根法

1、专题：数轴穿根法"数轴穿根法”又称"数轴标根法”第一步：通过不等式得诸多性质对不等式进行移项.使得右侧为0、(注意：一定要保 证X前得系数为正数)例如：(X 2 ) ( x1) (x+ 1 ) >0第二步：将不等号换成等号解出所有根。例如：(x-2) ( x - 1 ) (x+l)=0 得根为：x= 2 ,x=l, x=1第三步：在数轴上从左到右依次标出各根、例如：-1 12第三步：画穿根线：以数轴为标准，从"最右根得右上方穿过根，往左下画线，然后 又穿过'次右跟”上去，一上一下依次穿过各根、第四步：观察不等号，如果不等号为，则取数轴上方，穿根线以内

2、得范围；如果 不等号为"<”则取数轴下方，穿根线以内得范围。例如：若求(x-2) (x-l)(x+l)>0 得解。因为不等号威“”则取数轴上方，穿根线以内得范围。即：一 1 <x< 1或x>2、穿根法得奇过偶不过定律："奇穿过，偶弹回”。还有关于分式得问题：当不等式移项后，可能就是分式，同样就是可以用穿根法得， 但就是注意，解不能让原来分式下面得式子等于0专项训练：1、解不等式。解析：1) 一边就是因式乘积、另一边就是篆得形式，其中各因式未知数得系数为正。2) 因式、得根分别就是、。在数轴上把它们标出(如图1)。3) 从最大根3得右上方开始，向

3、左依次穿线(数轴上方有线表示教轴护函4 /_k图象，数轴下方有线表示数轴;A有函数 沐北菇斫吾示函数得真实图象)。4) 数轴上方曲线对应得得取值区间，为得解集，数轴下男4线对应得得取值区间， 为得解集。不等式得解集为。在上述解题过程中，学生存在得疑问往往有：为什么各因式中未知数得系数为正；为什么 从最大根得右上方开始穿线；为什么数轴上方曲线对应得得集合就是大于零不等式得解集， 数轴下方曲线对应得集合就是小于零不等式得解集。2、解不等式解析：1) 一边就是因式乘积、另一边就是零得形式，其中各因式未知数得系数为正。2) 因式、得根分别为、，在数轴上把它们标出(如图2)。3) 从最大根3得右上方开始

4、向左依次穿线，次数为奇数得因式得根一次性穿过，次数 为偶数得因式得根穿而不过。4) 数轴上方曲线对应得得取值区间，为得解集，数轴下方曲线对应得得取值范围，为得解集、得解集为-23一. 数轴标根法解不等式例1。解下列不等式1 o (x1 ) (x- 2 ) (x+3) >02O (x1 ) (x2) ( x + 3 ) (03。仃一 x ) (x2) (x+1)4。(x 1) * ( x 2 ) (x+ 1 )二. 分式不等式思考 (1)解集就是否相同，为什么？(2)解集就是否相同，为什么？解：方法1：利用符号法则转化为一元一次不等式组，进而进行比较。方法2：在分母不为0得前提下，两边同乘

5、以分母得平方。通过例1,得岀解分式不等式得基本思路：等价转化为整式不等式(组)：(1) (2)例2.解下列不等式12。3o4、5.6.三、含绝对值得不等式得解法x 1 >a( a ) 0)1 x <a ( a >0)例3：解下列不等式1.2。3 . I X，2x >x 2、4.巩固练习1解不等式2、解不等式3、不等式得解集就是4、 (2012山东理)若不等式得解集为，则实数。5、解不等式(2 x- 1 )2 (x-2)3(x+1)6解不等式(3- x)2(x-2)(x+1) 7不等式解法15种典型例题典型例题一例1解不等式：(1):(2).分析:如果多项式可分解为个一次

6、式得积，则一元高次不等式(或)可用"穿根法”求解，但要注意处理好有重根得情况.解：(1)原不等式可化为把方程得三个根顺次标上数轴.然后从右上开始画线顺次经过三个根，其解集如下图得阴影部分、.原不等式解集为(2)原不等式等价于.原不等式解集为说明：用'穿根法”解不等式时应注意:各一次项中得系数必为正;对于偶次或奇次重根可转化为不含重根得不等式，也可直接用“穿根法"，但注意“奇穿偶不穿”，其法如图。典型例题二分析：当分式不等式化为时，要注意它得等价变形 ；(1)解：原不等式等价于用'穿根法”.原不等式解集为。(2)解法一：原不等式等价于，.:原不等式解集为。 解

7、法二：原不等式等价于用“穿根法.原不等式解集为典型例题三例3解不等式分析:解此題得关键就是去绝对值符号，而去绝对值符号有两种方法：一就是根据绝对值得意 义；二就是根据绝对值得性质：或，因此本题有如下两种解法.解法一:原不等式，即.或，故原不等式得解集为.解法二：原不等式等价于即典型例题四例4解不等式.分析：这就是一个分式不等式，其左边就是两个关于二次式得商，由商得符号法则，它等价于 下列两个不等式组：或，所以，原不等式得解集就是上面两个不等式级得解集得并集。也可用 数轴标根法求解.解法一:原不等式等价下面两个不等式级得并集：或或或或或.原不等式解集就是.解法二：原不等式化为。画数轴，找因式根分

8、区间，定符号。符号原不等式解集就是。说明：解法一要注意求两个等价不等式组得解集就是求每组两个不等式得交集，再求两 组得解得并集，否则会产生误解、解法二中"定符号"就是关键、当每个因式得系数为正值 时，最右边区间一定就是正值，其她各区间正负相间；也可以先决定含0得区间符号，其她各 区间正负相间.在解题时要正确运用、典型例题五例5解不等式.分析:不等式左右两边都就是含有得代数式，必须先把它们移到一边，使另一边为0再解、 解：移项整理，将原不等式化为、由恒成立，知原不等式等价于、解之，得原不等式得解集为、说明：此题易出现去分母得得错误解法.避免误解得方法就是移项使一边为0再解。另

9、外，在 解题过程中，对出现得二项式要注意其就是否有实根，以便分析不等式就是否有解，从而使求解过程科学合理。典型例題六例6设，解关于得不等式、 分析:进行分类讨论求解、 解：当时，因一定成立，故原不等式得解集为、当时，原不等式化为；若时，解得;若时，解得.综上：当时,原不等式得解集为；当时，原不等式得解集为.说明：解不等式时，由于，因此不能完全按一元二次不等式得解法求解因为当时，原不等 式化为，此时不等式得解集为，所以解题时应分与两种情况来讨论。在解出得两根为，后，认为，这也就是易出现得错误之处。这时也应分情况来讨论：当时，；当 时，。典型例题七例7解关于得不等式.分析:先按无理不等式得解法化为

10、两个不等式组，然后分类讨论求解.解:原不等式或由，得：由判别式,故不等式得解就是.当时，不等式组（1 ）得解就是，不等式组（2）得解就是.当时，不等式组（1）无解，（2）得 解就是。综上可知，当时原不等式得解集就是；当时.原不等式得解集就是、说明：本题分类讨论标准"，”就是依据"已知及（1）中'.'，（2）中确定得.解含有 参数得不等式就是不等式问题中得难点，也就是近几年髙考得热点一般地，分类讨论标准 （解不等式）大多数情况下依“不等式组中得各不等式得解所对应得区间得端点”去确定.本 题易误把原不等式等价于不等式.纠正错误得办法就是熟练掌握无理不等式基本类型

11、得解 法.典型例题八例8解不等式.分析:先去掉绝对值号，再找它得等价组并求各不等式得解，然后取它们得交集即可。 解答：去掉绝对值号得，原不等式等价于不等式组原不等式得解集为。说明：解含绝对值得不等式，关键就是要把它化为不含绝对值得不等式，然后把不等式等 价转化为不等式组，变成求不等式组得解、典型例题九例9解关于得不等式.分析:不等式中含有字母，故需分类讨论、但解題思路与一般得一元二次不等式得解法完全一 样：求出方程得根，然后写出不等式得解，但由于方程得根含有字母，故需比较两根得大小，从 而引出讨论.解：原不等式可化为.（1）当（即或）时，不等式得解集为：；（2）当（即）时，不等式得解集为：；（

12、3）当（即或1）时，不等式得解集为： 、说明：对参数进行得讨论，就是根据解題得需要而自然引出得，并非一开始就对参数加以 分类、讨论。比如本题，为求不等式得解，需先求出方程得根，因此不等式得解就就是小于小 根或大于大根。但与两根得大小不能确定，因此需要讨论，三种情况、典型例題十例10已知不等式得解集就是、求不等式得解集.分析:按照一元二次不等式得一般解法，先确定系数得正负.然后求出方程得两根即可解之。 解：（解法1 ）由题可判断出，就是方程得两根，.，、又得解集就是，说明、而»» .，即， 即、又，.，.得解集为、（解法2）由题意可判断出，就是方程得两根，又得解集就是，说明、

13、而,.对方程两边同除以得.令，该方程即为，它得两根为，方程得两根为，.,.不等式得解集就是.说明：（1 ）万变不离其宗，解不等式得核心即就是确定首项系数得正负，求出相应得方程得 根；（2）结合使用韦达定理，本題中只有，就是已知量.故所求不等式解集也用，表示，不等式系 数，得关系也用，表示岀来;（3）注意解法2中用"变换”得方法求方程得根。典型例题十二例12若不等式得解为，求、得值.分析:不等式本身比较复杂，要先对不等式进行同解变形，再根据解集列出关于、式子.解:，.原不等式化为。依题意，、说明：解有关一元二次方程得不等式，要注意判断二次项系数得符号结合韦达定理来解。典型例题十三例1

14、3不等式得解集为，求与得值.分析:此題为一元二次不等式逆向思维题，要使解集为，不等式需满足条件，得两根为，.解法一:设得两根为，由韦达定理得：由题意：,，此时满足,.解法二:构造解集为得一元二次不等式：，即，此不等式与原不等式应为同解不等式，故需满足:说明：本题考查一元二次方程、一元二次不等式解集得关系，同时还考查逆向思维得能力.对 有关字母抽象问题，同学往往掌握得不好、典型例题十四例14解关于得不等式.分析:本题考查一元一次不等式与一元二次不等式解法，因为含有字母系数，所以还考查分类 思想.解:分以下情况讨论(1) 当时，原不等式变为：，(2) 当时，原不等式变为： 当时，式变为，.不等式得解为或、 当时，式变为.当时，此时得解为。当时，此时得解为说明：解本題要注意分类讨论思想得运用，关键就是要找到分类得标准,就本题来说有三级分 类：分类应做到使所给参数得集合得并集为全集，