《概率论与数理统计》学习笔记

1、学习好资料欢迎下载概率论与数理统计（19）电子科技大学应用数学学院，徐全智吕恕 主编。2004版第6章数理统计的基本概念概率论与数理统计是两个紧密联系的姊妹学科，概率论是数理统计 学的理论基础，而数理统计学则是概率论的重要应用数理统计学是使用概率论和数学的方法，研究如何用有效的方式收 集带有随机误差的数据，并在设定的模型下，对收集的数据进行分析, 提取数据中的有用信息，形成统计结论，为决策提供依据.这就不难理解，数理统计应用的广泛性，几乎渗透到人类活动的一切领域！如：农 业、生物和医学领域的“生物统计”，教育心理学领域的“教育统计” 管理领域的“计量经济”，金融领域的“ 保险统计”等等，这些统

2、计 方法的共同基础都是数理统计.数理统计学的内容十分丰富，概括起来可以分为两大类：其一是研 究如何用有效的方式去收集随机数据，即抽样理论和试验设计；其二是研究如何有效地使用随机数据对所关心的问题做出合理的、尽可能精确 和可靠的结论，即统计推断.本书主要介绍统计推断的基本内容和基本方法.在这一章中先给出 数理统计中一些必要的基本概念， 然后给出正态总体抽样分布的一些重 要结论.6.1总体、样本与统计量一、总体在数理统计中，我们将研究对象的全体称为总体或母体，而把组成 总体的每个基本元素称为个体.、样本样本是按一定的规定从总体中抽出的一部分个体"这里的“按一定 的规定”，是指为保证总体中

3、的每一个个体有同等的被抽出的机会而采 取的一些措施"取得样本的过程，称为抽样.三、统计量随机样木是对总休a行统汁分析与推断的依据，当我们蕊収样本庙往往不 足点接利用样木进行推撕，而是要对样本进行“加一 y 整MS以把它们所提供 的关上总休X的信息集中起来.为此我们引a统计fi的定义.设A,亠.A为來门总体A的一个样本t若样木函数以A）中 不含任何术知参数，则称弹A , .n）为一个统计量.统计量般是样木的连续餉数，显然它足随机变量.常用的统计fi有：1 “A = X f称为样木Wj值*它与总休均值白切的关系；用二匕 i CA-V）称为样木方幷亏用是样本昭分敢程度 N I （=1的一个

4、合理的刻画它与总体方斧仃密W的关系 “称为样水标比從:儿=丄I A'J （A为fF意整数）！称为样木k阶原点矩；弘=丄7 （人"为任意整数人称为样木k阶中心炬.样本IS点矩和样木+心审统称为样本祁-显然占二特别值得注;克的是样 木一阶屮心矩必，它与样木方差屮只相基一个实数因了:必=G吐6.2抽样分布统计量是我们对总体的分布规律或数字特征进行推断的基础.由于 统计量是随机变量，所以在使用统计量进行统计推断时必须要知道它的 分布.统计量的分布称为抽样分布.一、三个重要分布L才2分布有&-0*I.V0：定义6,M 设随机变量r的概率密度函数为iWO.则称随机变fir服从门市

5、度为的X分彳人记为/ -Z5） 其中门2为r函数，定义为rC .S） = £ V'e Mv（5 >0）.定理6. 2. 1设H个相互独立并口都服从正态分布泓（K1 ）的随机变量龙 J昇氾(6, 2. 1)尤=1昭i - I则称随机变fiF服从自由度为"的F分布定理6. 1 I中,nrtl®是指（6. 2. I ）式右端所包含的独立变屋的个数.这介定理nJ利用随机变量的函数的分布并村口山度n运用数学01纳法得到证I从此处从略.不同门山度的F分布的槪率密度曲线图形如图6. I所示 设r ?（ H，对于给定的止数«（0<«<

6、1）.称満足关系式的数龙：（川）为F（h）分布的上侧临界值或上侧分位数见图仗2.分位数的概念 在统计推断中有重要的应用.RJ6. I给定H及Q（O<a < I九由附表3可查得£5）.例如 就山IR）%茨扁"（5）厂匕S33.r分布具有以下重要性质.性质1设r人则有肛兀）=/；,（才2）=2”.NnJI证 E（f）= M V A ；） = y E（ ） = V /）（ A；）二儿”帶）=y /（ A；）= y /«A ；）- A C A ：）r fTiE"'小.工丄I !.v - IiTiE已二二 f 眉一=V （3-1） =2/；.i

7、 =性质2设互独立，且y,-r5,则有此性质的证明可利用相互独立随机变量之和的概率密度公式得到.#实上, 直观地从式（6.2. I）出发，将,+打看成（个标准正态分布变最的平方 和亦可解释此结论”性质2说明”2分布具有可加性,它还可以推广到任意有限个 相互独立且服从F分布的随机变量之和的情况性质3当足够大时，有处（MH + % tST,式中J如是标准正态分布的上侧分位数，即I仃是满足等式/= I -«的数.事实上，出独立同分布中心极限定理吠'=V巧”5人当，F足够大时,i=ir近似服从正态分布A（.即得性质3.当45时，在附表3中杳不到Ms）的值,这时可由性质3作近似计算.王

8、/分布定义6Z 2设随机变童F的概率应度函数为f( -t)= ( I + ),冃佇)川则称F服从n由度为的t分布，记为71(心左理6, 2.2设随机变量 相互独立.VA'<OJ儿记则随机变T服从门由度为的/分布. 证明从略+/分布的概率密度曲线的图形关于纵轴对称，如图6. 3所示.设心亠对于给定的正数a(0<a<l).称满足关系式"£ > f口(") = /j-C .V )il.t = tv的数嘉J)为2分布的上侧分位数，见图H丄给运H及a( 0 < a < I )»由附表4可査得/( n ).例如訂o詔10)

9、 = 2. 2281.lhny( .V ) = W(龙)=75因此，当H足够大时畀近似服从A<0,1分布.实际上当n>45时八分布便与正 态分布儿乎没有差异，此时3. F分布 定义6. 2.3设随机变量r时概率密度函数为J11 +Ftj忤）_1+-1 （们 T + "T, .V > 0；帥倚 0,则称卜、服从第一口由度为第二S由度为幻的0分布，记为F - E（.秋1 ,“2定理6, 2,3 设随机变tt .V,相互独立八J -疋弋巾人记页，则随机变量*服从第一口由度为町第二fi由度为的*'分布. 证明从略.卜'分布的槪率密度曲线图形如图a 5所示设屮

10、“），对于给定的正数a（O<a<J），称满足关系式P F > 心 “4 ） = I/f （A ）di = Ct爲5,叱厂的数F心"4 ）为/（町）分布的上侧分位数.见图6. 6.給® 及qCO <Q < I人可由附表5査得/*'（ ；1,川2人例如心昭乳&）=5” 60.附表5仅给出了 a较小（k 10.0. 05 J）. 0253）. 01,0.症）时的上侧分位数 值，对于口较大（接近I ）的匚J也）值可利用如下性质计算.5 ) = 1 -at.=1 -r1 1>."小（心劝）,n =/< <I*人一山，心所以图6. 6从而利用上式,可计算a接近I的55 “2 '的值+例如,r分布和分布和F分布常常被人们称为数理统计学中的三大统计分布.二、抽样分布定理定理6. 2,4 设h，1三，仁是止态总体一（如十）的样本八，屮分别是样 本均值和样本方差，则有A S-相互独立；5 - 1 ） f2 片疔"(2)(3 )(4)定理念2.5 设L 勺和5J叱分别是来自正态总体 'SiPp和'5才用）的样本，并且它们相互独及八分别是这两组 样本的样本均值和样本方