向量在三角形中的应用

1、向量与三角形的内心、外心、重心的应用（带答案）、知识总结:E同量串常用的结论偽* 一耳匚艮以；所对的边分别恥皿（鬲+苗的条件尺存在人穗初为3亠：:PA+b PR*为ZUBt 的内心.-苻=冠1 =丨呢IqP为的外心= OqG 为zufc 的重心*菇同=两* PC=K *苗f 为Alfff前垂心,二、针对性例题:1已知平面内一点 卩及 ABC，若PA+PB+ PC = AB,则点卩与 ABC的位置关系是（）A .点P在线段AB上B .点P在线段BC上C.点P在线段AC上D .点卩在 ABC外部答案解析由PA+ PB + Pc= AB得PA+ Pc=AB Pb=Ap，即 PC = ap Pa= 2

2、ap，所以点 p在线段 ac上.2设P为锐角 ABC的外心（三角形外接圆的圆心）,AP = k（AB+ AC）（k R）,若cos/ BAC = 5,贝U k等于（）253B忆 C.7 D.7答案解析取 BC 的中点 D,连接 PD , AD，贝U PD 丄BC, Ab + AC= 2Ad , AP = k(AB + AC)(k R), AP= 2kAD , A, P, D三点共线, AB = AC, cos/ BAC = cos/ DPC = Dp = Dp =-, PC PA 5 AP= IaD , 2k= 5 解得 k = 14 故选 A.3、.设G为 ABC的重心，且sin A GA

3、+ sin B GB + sin C Gc = 0,则角B的大小为 答案 60 解析 / G是ABC 的重心， GA + GB + GC= 0, GA = (GB + GC),将其代入 sin A GA+ sin B GB + sin C GC = 0,得(sin B sin A)GB + (sin C sin A)GC = 0.又GB, GC不共线，- sin B sin A= 0, sin C sin A = 0,贝U sin B = sin A = sin C.根据正弦定理知 b = a= c, ABC是等边三角形，则角 B= 604. （2017驻马店质检）若 0为 ABC所在平面内任

4、一点，且满足 （0B 0C） （615+ 0C 2OA）= 0,则 ABC的形状 为（）A 正三角形C.等腰三角形B .直角三角形D .等腰直角三角形答案 C 解析 因为(0B0C)(0石+ 0C20A)= 0,即 CB (Ab + Ac)= o,因为 AbAc = Cb, 所以(AB AC) (AB + AC) = 0,即|AB|= |AC|，所以 ABC是等腰三角形，故选 C.4、已知0是平面上的一定点，A, B, C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足OP = 0A+ W + AC）,入 （0,+ 8）,则点P的轨迹一定通过 ABC的（）A .内心 B .外心 C .重心 D .垂心

5、由原等式，得0P 0A = XAB + AC），即AP= XAB + AC），根据平行四边形法则，知 AB + AC是 ABC的中线AD（D为BC的中点）所对应向量AD的2倍，所以点P的轨迹必过 ABC的重心.5本例中，若动点 P满足OP= 0a +入阻+ AC，入 （0 ,+8）,则点P的轨迹一定通过 ABC的叭B| |AC|丿答案内心解析由条件，得 0p0A = /AB + ACAB| |AC| 丿，即 aP=/aB+卑AB| AClJ，而晋和AC分别表示平行于|AB| |AC|Ab, Ac的单位向量，故6、AB + AC跟B训绦1 （i）在 ABC中，已知向量AB与AC满足（号+号）BC

6、 = 0,且詈AC|AB| |AC|AB| |AC|12，则 ABC 为（）迪+公平分/ BAC,即AP平分/ BAC，所以点P的轨迹必过 ABC的内心.|AB| |AC|A .等边三角形B .直角三角形C.等腰非等边三角形D .三边均不相等的三角形解析AB AC分别为平行于Ab , AC的单位向量，由平行四边形法则可知|AB| |AC|詈+号为/BAC的平分线.因为|AB| |AC|AB AC 1 一=+ 1) BC = 0,|AB| |AC|又 A5 AC =aBAC|AB| |AC|AB|AC|三角形.所以/ BAC的平分线垂直于 BC,所以AB = AC.cos/ BAC = 1，所以

7、 cos/ BAC=； 又 0 / BACn,故/BAC =n 所以 ABC 为等边7.在 ABC 中，（BC +BA） C =|AC|2，则 ABC 的形状一定是（）C.直角三角形答案 CD .等腰直角三角形解析 由（BC + BA） AC = |Ac|2, 得Ac （bc + Ba- Ac）= o,即AC（BC+ Ba + CA）= 0, 2ac BA= o, Ac丄BA , A = 90又根据已知条件不能得到|AB|=|ac|,故 ABC 定是直角三角形.8、已知 ABC, P为三角形所在平面上的一点，且点 P满足：aPA+bPB+cPC=O ,则P点为三角形（ ）A.外心B.内心C.重心 D.垂心解在AB，AC上分别取点D，E,使得而二塑，爲半，则I忑I二I aS |=i .b* 以AD, AE为邻边作平行四边形 ADFE,则四边形ADFE是菱形，且If =|疋+爲=些斗. C b AF为/ BAC的平分线. a云+c0 a 云+b? 個+75） +c?（丙十IS）