完全平方公式(提高)知识讲解

1、初一数学下优质学案、专题汇编（附详解）完全平方公式（提高）【学习目标】1. 能运用完全平方公式把简单的多项式进行因式分解2. 会综合运用提公因式法和公式法把多项式分解因式;3发展综合运用知识的能力和逆向思维的习惯.【要点梳理】要点一、公式法一一完全平方公式两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方.2 2 2 2 2即 a +2ab+b =(a+b) , a -2ab+b2(ab ).形如a2 +2ab +b2 , a2 -2ab +b2的式子叫做完全平方式要点诠释：（1）（2）逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式；完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的

2、平方和加（或 减）这两数之积的 2倍.右边是两数的和（或差）的平方 .完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件.套用公式时要注意字母 a和b的广泛意义，a、b可以是字母，也可以 是单项式或多项式.知识要点】【因式分解之公式法 要点二、因式分解步骤（1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式；（2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法；（3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解（以后会学到） 要点三、因式分解注意事项（1）因式分解的对象是多项式；（2 ）最终把多项式化成乘积形式；（3）结果要彻底，即分解到不能再分解为止.【典型例题】 类型一、公式法一一完全平方公

3、式【高清课堂400108因式分解之公式法例4】1、分解因式:(1) -3ax2 + 6axy -3ay2 ；42 24(2) a -2a b +b ;(3) 16x2y2-(x2+4y2)2 ；(4) a4 8a2b2+16b4.【答案与解析】解：(1) -3ax2 +6axy-3ay2 =-3a(x2-2xy + y2)=-3a(x-y)2 .(2) a4 -2a2b2 +b4 = (a2 -b2)2 =(a +b)(a-b)2 =(a + b)2(a-b)2.(3) 16x2y2-(x2 中4y2)2初一数学下优质学案、专题汇编(附详解)2 2 2 2 2 2 2 2= (4xy) -(X

4、 +4y ) =(4xy + x +4y)(4xy-x -4y ) =(x +2y)2(X2 4xy+ 4y2) = (x +2y)2(x 2y)2 .(4) a4-8a2b2+16b4 =(a2-4b2)2 =(a+2b)(a-2b)2 =(a + 2b)2(a-2b)2.【总结升华】(1)提公因式法是因式分解的首选法.多项式中各项若有公因式，一定要先提公因式，常用思路是：提公因式法；运用公式法.(2)因式分解要分解到每一个因式不能再分解为止.举一反三：【变式】分解因式：(1) 4(x+a)2 +12(x + a)(x +b) + 9(x + b)2.(2) 4(x+ y)2-4(X2-y2

5、) +(x-y)2.【答案】 解：(1)原式=2(x + a)2+2 'Zd+a) ”3(x + b)+3(x + b)2=2(x + a) +3(x+b)2 =(5x + 2a+3b)2 .(2)原式=2(x+y)2-2 ”2(x + y) ”(x-y) + (x-y)2=2(X + y) -(x-y)2 =(x + 3y)2.2、(2016?大庆)已知 a+b=3, ab=2,求代数式 a3b+2a2b2+ab3.【思路点拨】 先提公因式ab,再根据完全平方公式进行二次分解，然后带入数据进行计算 即可得解.【答案与解析】解：a3b+2a2b2+ab3=ab (a2+2ab+b2)=

6、ab (a+b) 2将 a+b=3, ab=2 代入得，ab (a+b) 2=2 x 32=18 .故代数式a3b+2a2b2+ab3的值是18.【总结升华】在因式分解中要注意整体思想的应用，对于式子较复杂的题目不要轻易去括号.举一反三：【变式】若x , y是整数，求证：(x + y Xx+2y Xx+3y Xx+4y )+y4是一个完全平方 数.【答案】解: (x + y Xx +2y Xx + 3y Xx +4y )ty4j(x + y )(x+4y)(x+2y )(x+3y )+22224=(x +5xy+4y)(x +5xy + 6y)+y初一数学下优质学案、专题汇编（附详解）2 2令

7、X2 + 5xy+4y = u上式 u(u +2y2) + y4 = (u + y2)2 = (x2 +5xy + 5y2)2AQQ Q即(X+y Xx+2y Xx+3y X X+4y )+y =(x +5xy + 5y )类型二、配方法分解因式x2 -2x-8 =(x2 -2x +1 )-1 -82= (x-1 ) -9= (x-1 +3)(x-1-3) = (x + 2)(x4)那该添什么项就可以配成完全平方公式呢?我们先考虑二次项系数为 1的情况：如X2 +bx添上什么就可以成为完全平方式?X2+bX+(+嗨+簣毎2因此添加的项应为一次项系数的一半的平方那么二次项系数不是 1的呢？当然是

8、转化为二次项系数为1 了 .分解因式：3x2 +5X-2.【思路点拨】 提出二次项的系数 3,转化为二次项系数为 1来解决. 【答案与解析】2f 252 y解：女0 3x2 +5X-2 =3lx2 +Yx三(I 33丿=3 X2+ |X-ILV 6丿一坐36x+l15 6丿叫+|+庆+|-6f 1 ）5+2）卜一3丿初一数学下优质学案、专题汇编(附详解)【总结升华】配方法，二次项系数为1的时候，添加的项应为一次项系数的一半的平方 次项系数不是1的时候，转化为二次项系数为1来解决.类型三、完全平方公式的应用4、( 2015春?娄底期末)先仔细阅读材料，再尝试解决问题：完全平方公式x2±

9、2xy+y2=(x±y) 2及(x±y) 2的值恒为非负数的特点在数学学习中 有着广泛的应用，比如探求多项式2x2+12x - 4的最大(小)值时，我们可以这样处理：2解：原式=2 (x +6x- 2)2=2 (x +6x+9 - 9- 2)2=2 (x+3)- 112=2 (x+3)- 22因为无论x取什么数，都有(x+3) 2的值为非负数2所以(x+3)的最小值为0,此时x=- 32进而 2 (x+3)- 22的最小值是 2X 0- 22= - 22所以当x=- 3时，原多项式的最小值是-22.解决问题：2请根据上面的解题思路，探求多项式3x - 6x+12的最小值是多

10、少，并写出对应的x的取值.【答案与解析】2解：原式=3 (x - 2x+4)2=3 (x - 2x+1 - 1+4)=3 (x- 1) 2+9,无论x取什么数，都有(x - 1 ) 2的值为非负数，2( x- 1) 的最小值为0,此时x=1, 3 ( x - 1) +9 的最小值为：3X 0+9=9,则当x=1时，原多项式的最小值是 9.【总结升华】 此题考查了完全平方公式，非负数的性质，以及配方法的应用，熟练掌握完全 平方公式是解本题的关键.举一反三：【变式1】若 ABC的三边长分别为a、b、c,且满足a?+6ab + 10bc = 0 ,求证:【答案】a +c =2b.解：a2 16b2-c2 +6ab +10bc=a2 +6ab+9b2 -(25b2 -10bc+c2 )2 2=(a +3b ) -(5b -c )2 2所以(a +3b ) (5b c) =02 2(a+ 3b) =(5b-c)初一数学下优质学案、专题汇编（附详解）所以 a +3b = ±(5b -c)所以 a + c =2b或8b =ca因为 ABC的三边长分别为 a、b、c, ca<b , 所以8b =c - a cb，矛盾，舍去.所以 a +c=2b.2【变式 2】(2015 春？萧山区期中)若(2015- x) (2013 - x) =2014,则(2015 - x) + (201