同余问题教师版

1、同余问题在整数除法运算中，被除数与除数可以是整除的关系，也可能不是整除的关 系，而许多问题，只需要知道余数，由此形成专门研究余数的问题，即同余问题。、带余除法的定义如果a和b是两个整数，b > 0，那么一定有而且只有两个整数 q , r，使a= bq + r, ( 0<rv b)。 或 a *b = qr。我们称r为a除以b的余数，q为a除以b的不完全商。整数可以按照余数分类。一个整数除以正整数b时，余数只可能是0,123，b-l，这b种情况。所以我们可以按照整数除以正整数b的余数情况把整数分为b类。比如，一个整数除以3的余数只可能是0,1和2,所以整数可以分为3类，即被3整数的一

2、类，记为3k，被3除余1的一类，记为3k +1,被3除余2的 一类，记为3k + 2,其中k为任意的整数。二、同余的概念两个整数a和b除以整数m （m > 0），如果所得的余数相同，则称a和b关于模m同余，并用下面的同余式子表示a三 b( mod m )。Hm| (aF。ab (mod m ) Ha= b+ km , ( k为自然数)三、同余的性质1、（反身性）a? a (mod m )；2、a=a±qm(mod m )；（对称性）agb (mod m )；那么b三 a (mod m )；（传递性）ab (mod m ) , bc（mod m ），那么a三C(mod m )；如

3、果a三b(mod m ) , £d ( mod m )，那么 a土CSb±d(mod m )；ak 三 bk (modac三bd ( mod m ) ； an?bn (mod m ) ,( n 为正整数)；m)( k为正整数)； 6、a + bc (mod m )，当且仅当 a三cb (mod m )；四、例题讲解 例1、（ 1）求3 2011除以13的余数；（2）几天是星期四，在过 4737是星期几？ （ 3） 求4735 + 5281 X27924的末位数字。方法两种:第一种:找余数的特征第二种:利用同余的性质 2: aWa±qm （mod m ）；例2、一个

4、大于1000的数被3除余1，被5除余1，被7除余1，这个数最小是多少？5、7都余1，则这个数减去1之后，能够同时被 3、5、7整除，然后方法：除以3、公倍数，比1000大的最小倍数，最后再加 1.例3、有一个2011位数，它的每一个数位上都是2,这个数除以13,商的第100位是几?方法：找2222这个数除以13的商的规律。JJ222*13 = 170940170940 例4、一个数被4除余3，被5除余4，被6除余5，这个数最小是多少?方法：这个数加1冈W是4、5、6的倍数。求最小的即它们的最小公倍数。例 5、有一些小朋友，如排成 5 行，则多 1 人，排成 6 行，则多 5 人，排成 7 行，

5、则 剩余 4 人，那么至少有多少小朋友。方法： 5k 1（5k + 1 ）*6余5的最小k找出来，然后继续下去。例 6、一个整数分别去除 75,125,201 ，所得的三个余数之和为 31 ，问：这三个余数中 最小的一个是多少？例 7、用 2836， 4582， 5164 和 6522 除以一个相同的自然数，所得的余数相同，这个 自然数最大是几？方法： 6522 与 5164 的差为除数的倍数， 4582 与 2836 的差为除数的倍数，然后找这 两个差 的最大公因数。例 8、从自然数 11000 中，18 整除。最多取出多少个数使得所取出的数中任意三个数之和能被方法：取出的这些书必然除以0,

6、6,12 这三个。18 同余，且这个余数的 3 倍为 18 的倍数，余数可以是例 9、证明任意的平方数除以8 的余数只可能是 0,1 或 4.（平方数的重要特征）方法：分奇数，偶数讨论：（2k) 2与(2k + 1)2例10、下面的七张数字卡片中，有3张是未知整数，这3个未知整数都是3的倍数,张卡片上写的数字是几?并且这3个整数的和是180.有3个同学，每人取走2张卡片，各自的两张卡片上的数 字之和都相同，请问剩下的16134提示：抽出的所有数字之和为461 1793的倍数。3、例11、在黑板上写着数字 时写上它们的数字之和除以 的两个数中，其中一个数是1、1,2,3,4 ,2011。然后从所

7、写的数字中擦出某些数字，同7的余数。这叫一次操作。若干次操作后，在黑板上剩下100 ,那么剩下的另外一个数是多少？提示：同余性质，一次擦若干个与一次全部擦完最终的余数是一样的。一个数位100，贝y 100这个数没有擦，其余的全部一次擦去(1+ 2 + 3 +99 + 101 +2011 )*7的余数找出来，五、练习.1001"1002 ，小 1003," 1004 ZZ 人 八”宀 冃 口3 X7 X13 X17 的个位数字是几?2008年5月12日是星期一，问，2011年的六一儿童节是星期几?+ ,c10 .J00 .zJ000 _ 10000 - J00000 ” 入卄

8、人伞,求10 + 10 + 10 + 10+ 10除以7的余数。4、证明： 2011201120122012不是平方数。一种是找各位数字是几？平方数的各位数字只能是 0,1,4,5,6,9 然后进行判断,注意, 满足这个条件的不一定是平方数,方法 2,根据平方数除以 8的余数去判断。5、小马虎在做一道除法算式时,将被除数237 写成 273 ,计算出的结果商比正确答案多 3,而余数恰好相同。请问这道除法的除数是几？6、有三个数 1989,901, 和 306 被同一个自然数除，所得得余数相同，求着个自然数。7、甲、乙、丙三个数分别为 603,939,393，某数A除甲所得的余数是 A除乙数所得

9、余 数的两倍，A除乙数所得的余数是 A除并数所得余数的两倍，则 A等于几？想法把余数变成一样，丙数X 4,乙数X 2,甲数除A的余数相同。最后验证。8、把1开始的整数一次写下去，一直到 189位上，12345678910111213，那么这个数用 9 除的余数是多少？ 提示：找到写到什么书为止，个位数字之和。9、一支总人数是5的倍数, 人；若横排3人编队，最后 少人？10、在一张纸上连续写下:且不小于1000人的队伍，若横排4人编队，最后是32人，若横排2人编队，最后是1人，求这支队伍至少多2012201120102009 321.把第一个数字 2乘以2加上第二个数字0，然后再乘以2加上第三个数字1，再乘以2加上第四个数字2,，一 直到最后一个数字1，得到一个新数，这叫一次操作，若干次操作后，得到一个 1位 数，请问这个一位数是几？ 设 A= 201220112010 321 = 2X10“ + 0 X10n-1 + 1 X10n-2 + 3X102 + 2 X10 + 1。新数 B = 2 X2n + 0X2n-1 + 1 X2n-2