完美版圆锥曲线知识点总结复习进程

1、完美版圆锥曲线知识点总结精品文档圆锥曲线的方程与性质1椭圆（1）椭圆概念平面内与两个定点 F、 F2 的距离的和等于常数2 a （大于| F F2 | ）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆11的焦点，两焦点的距离2c 叫椭圆的焦距。若M 为椭圆上任意一点，则有|MF1|MF2|2a 。椭圆的标准方程为：x2y21（ aby 2x21（ ab0 ）（焦点在 ya2b20 ）（焦点在 x 轴上）或ba 22轴上）。注：以上方程中a,b 的大小 a b0，其中 b2a2c2 ；在 x2y2 1 和 y2x21 两个方程中都有ab0 的条件，要分清焦点的位置，只要看x2 和 y2的a2b2a2b2

2、分母的大小。例如椭圆x2y 21 （ m0， n0 ， mn ）当 mn 时表示焦点在 x 轴上的椭圆；当 mnmn时表示焦点在y 轴上的椭圆。（2）椭圆的性质x2y 21 知 | x |a ， | y |b ，说明椭圆位于直线 xa ， yb 所围成的矩形范围：由标准方程b2a2里；对称性：在曲线方程里，若以y 代替 y 方程不变，所以若点( x, y) 在曲线上时，点(x,y) 也在曲线上，所以曲线关于x 轴对称，同理，以x 代替 x 方程不变，则曲线关于y 轴对称。若同时以x 代替 x ，y代替 y 方程也不变，则曲线关于原点对称。所以，椭圆关于x 轴、 y 轴和原点对称。这时，坐标轴是

3、椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心；顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与x 轴、 y 轴的交点坐标。在椭圆的标准方程中，令 x0 ， 得 yb ， 则 B1 (0,b) ， B2 (0, b) 是 椭 圆 与 y 轴 的 两 个 交 点 。 同 理 令 y0 得 xa ， 即A1 ( a,0) ， A2 (a,0) 是椭圆与 x 轴的两个交点。所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档同时，线段A1 A2 、 B1B2 分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a 和 2b ， a 和 b 分别叫做椭

4、圆的长半轴长和短半轴长。由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为a ；在 RtOB2 F2中， |OB2 | b ， | OF2 | c ，| B2F2 | a ，且 | OF2 |2| B2F2 |2|OB2 |2 ，即 c2a2b2 ；离心率： 椭圆的焦距与长轴的比 ec0 ，0e1，且 e 越接近 1， c 就叫椭圆的离心率 。 a ca越接近 a ，从而 b 就越小，对应的椭圆越扁；反之，e 越接近于 0 ， c 就越接近于0 ，从而 b 越接近于 a ，这时椭圆越接近于圆。当且仅当a b 时， c0 ，两焦点重合，图形变为圆，方程为x2y2a2 。2双曲线（ 1）双曲线的概念平

5、面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线（| PF1 | PF2 | 2a ）。注意： 式中是差的绝对值，在 0 2a | F1F2 | 条件下； | PF1 | | PF2 | 2a 时为双曲线的一支；|PF2 | PF1 | 2a 时为双曲线的另一支（含 F1 的一支）； 当 2a| F1F2 | 时，| PF1 | PF2 | 2a 表示两条射线； 当 2a | F1 F2|时， |PF1| PF2 |2a 不表示任何图形； 两定点 F1, F2叫做双曲线的焦点， | F1F2 | 叫做焦距。（ 2）双曲线的性质范围：从标准方程 x 2y 21，看出曲线在坐标系中的范围：双

6、曲线在两条直线xa 的a 2b 2外侧。即 x2a2 ， xa 即双曲线在两条直线 xa的外侧。对称性：双曲线 x 2y21 关于每个坐标轴和原点都是对称的，这时，坐标轴是双曲线的a 2b2对称轴，原点是双曲线x 2y21 的对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。a 2b2收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档x2y21的方程里，对称轴顶点：双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点。在双曲线2b2a是 x, y 轴，所以令 y 0 得 xa ，因此双曲线和 x 轴有两个交点 A (a,0) A2 (a,0) ，他们是双曲线x2y21的顶点。a2b2令 x0，没有实根，因此双曲线和 y

7、轴没有交点。1）注意：双曲线的顶点只有两个，这是与椭圆不同的（椭圆有四个顶点），双曲线的顶点分别是实轴的两个端点。2）实轴：线段 A A2 叫做双曲线的实轴，它的长等于2a, a 叫做双曲线的实半轴长。虚轴：线段 B B2 叫做双曲线的虚轴，它的长等于2b, b 叫做双曲线的虚半轴长。渐近线：注意到开课之初所画的矩形，矩形确定了两条对角线，这两条直线即称为双曲线x 2y21的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近。的渐近线。从图上看，双曲线2b2a等轴双曲线：1）定义： 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。定义式： ab ；2）等轴双曲线的性质：（ 1）渐近线方程为：yx ；（ 2）渐近线互相

8、垂直。注意以上几个性质与定义式彼此等价。亦即若题目中出现上述其一，即可推知双曲线为等轴双曲线，同时其他几个亦成立。3）注意到等轴双曲线的特征ab ，则等轴双曲线可以设为： x2y 2(0) ，当0 时交点在 x 轴，当0 时焦点在 y 轴上。注意 x 2y 21与 y2x21的区别：三个量 a, b, c 中 a, b 不同（互换） c 相同，还有焦点所169916在的坐标轴也变了。3抛物线收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档（1）抛物线的概念平面内与一定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点 F 不在定直线 l上 )。定点 F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物

9、线的准线。方程 y 22 pxp0 叫做抛物线的标准方程。注意：它表示的抛物线的焦点在x 轴的正半轴上， 焦点坐标是 F（ p ,0 ），它的准线方程是2x p ；2（2）抛物线的性质一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，所以抛物线的标准方程还有其他几种形式：y 22 px ， x 22py ， x22 py .这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下表：y22 pxy22 pxx22 pyx22 py标准方程0)( p0)( p0)( p0)( pyyylFlxo FxFoxlo图形焦点坐标( p ,0)(p ,0)(0, p )(0,p )222

10、2准线方程pxpypypx2222范围x 0x0y0y0对称性x 轴x 轴y 轴y 轴顶点(0,0)(0,0)(0,0)(0,0)离心率e 1e1e1e1说明：（ 1）通径： 过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径；（ 2）抛物线的几何性质的特点：有一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，无对称中心，没有渐近线；（3）注意强调 p 的几何意义：是焦点到准线的距离。收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档4. 高考数学圆锥曲线部分知识点梳理一、方程的曲线：在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹) 上的点与一个二元方程 f(x,y)=0 的实数解建立了如下的关系

11、： (1) 曲线上的点的坐标都是这个方程的解； (2) 以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线。点与曲线的关系：若曲线C的方程是 f(x,y)=0 ，则点 P0(x 0,y 0) 在曲线 C 上f(x0 ,y0)=0 ；点P0(x 0,y 0 ) 不在曲线 C 上f(x 0,y 0) 0。两条曲线的交点：若曲线C1，C2 的方程分别为 f 1 (x,y)=0,f 2(x,y)=0, 则点 P0(x 0 ,y 0) 是 C1，C2 的交点f1( x0 , y0 )0方程组有 n 个不同的实数解，两条曲线就有n 个不同的交点；方程组没有实数0f

12、2 ( x0 , y0 )解，曲线就没有交点。二、圆：1、定义： 点集 M OM=r ，其中定点O为圆心，定长 r 为半径 .2、方程： (1)标准方程：圆心在 c(a,b)，半径为 r 的圆方程是 (x-a) 2+(y-b) 2=r 2圆心在坐标原点，半径为r 的圆方程是 x2+y 2=r 2(2) 一般方程：当D2+E2-4F 0 时，一元二次方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程，圆心为 (D ,E) 半径x2+y 2+Dx+Ey+F=0化为 (x+ D ) 2+(y+E)2=D222是 D 2E 24 F。配方，将方程E 2- 4F2224当 D2+E2-4F=0 时，方

13、程表示一个点(-D ,-E );22当 D2+E2-4F 0 时，方程不表示任何图形 .（ 3）点与圆的位置关系已知圆心 C(a,b),半径为 r, 点 M的坐标为 (x0,y ) ，则 MC r点 M在圆 C内，0MC =r点 M在圆 C上， MC r点 M在圆 C内，其中 MC =(x 0 - a)2(y 0 - b) 2。（ 4）直线和圆的位置关系：直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系：直线与圆相交有两个公共点；直线与圆相切有一个公共点；直线与圆相离没有公共点。直线和圆的位置关系的判定：(i)判别式法； (ii) 利用圆心 C(a,b) 到直线 Ax+By+C=0的距离AaBbCdA2

14、与半径 r 的大小关系来判定。B2三、圆锥曲线的统一定义：平面内的动点P(x,y) 到一个定点 F(c,0)的距离与到不通过这个定点的一条定直线l 的距离之 比是一个常数 e(e 0), 则动点的轨迹叫做圆锥曲线。其中定点F(c,0) 称为焦点，定直线l 称为准线，正常数e 称为离心率。当 0 e1 时，轨迹为椭圆；当e=1 时，轨迹为抛物线；当 e 1 时，轨迹为双曲线。四、椭圆、双曲线、抛物线：椭圆双曲线抛物线收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档1到两定点 F1,F 2 的距1到两定点 F1,F 2 的距离离之和为定值之差的绝对值为定值2a(2a>|FF |) 的点的轨2a(

15、0<2a<|F F |) 的点的轨1212与定点和直线的距离相定义迹迹等的点的轨迹 .2与定点和直线的距2与定点和直线的距离之离之比为定值 e 的点的比为定值 e 的点的轨迹 .轨迹 . （0<e<1）（ e>1）点集： (M MF1+ MF2点集： M MF1 - MF2 .点集 M MF =点 M到直轨迹条件 F1 22 2 2a.线 l 的距离 .=2a,F 2a.=± 2a, F F图形方标准2222xy1( a b >0)xy1(a>0,b>0)y22 px方程a 2b 2a 2b2程参数xa cosxasecx2 pt2yb

16、 sinyb tan(t 为参数 )方程(参数 为离心角）(参数 为离心角）y2 pt范围 a x a， b y b|x|a ， y Rx0中心原点 O（0，0）原点 O（0，0）顶点(a,0), (a,0),(a,0), (a,0)(0,0)(0,b) , (0,b)对称轴x 轴， y 轴；x 轴， y 轴;x 轴长轴长 2a,短轴长 2b实轴长 2a,虚轴长2b.1212( c,0)p,0)焦点F (F (c,0), F( c,0)F (c,0), F2收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档x=± a 2x=± a 2x=- p准线cc2准线垂直于长轴，且在椭准线

17、垂直于实轴，且在两顶点准线与焦点位于顶点两侧，圆外 .的内侧 .且到顶点的距离相等 .焦距2c（c= a 2b 2 ）2c （ c= a 2b2）离心率ec (0e1)ec (e1)e=1【备注 1】双曲线：aa等轴双曲线：双曲线 x2y 2a 2 称为等轴双曲线，其渐近线方程为yx ，离心率 e2.共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线 .x2y2x 2y2x2y 2.a 2b 2与 a 2b 2互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：a20b 2共渐近线的双曲线系方程：x 2y 2(0) 的渐近线方程为 x 2y 20 如果双曲线的渐近线为a 2

18、b 2a 2b2xy时，它的双曲线方程可设为x 2y2(0).0a2b2a b【备注 2】抛物线：（ 1）抛物线 y 2 =2px(p>0) 的焦点坐标是 (p ,0) ，准线方程 x=-p ，开口向右；抛物线 y 2 =-222px(p>0) 的焦点坐标是 (-p ,0) ，准线方程 x= p ，开口向左；抛物线 x2 =2py(p>0) 的焦点坐标是p ) ，准线方程 y=- p22(0,，开口向上；22p ），准线方程 y= p ，开口向下 .抛物线 x2 =-2py （p>0）的焦点坐标是（ 0,-22p ；抛物线 y2 =-2px(p>0) 上（ 2）抛

19、物线 y 2 =2px(p>0) 上的点 M(x0,y0) 与焦点 F 的距离 MFx02的点 M(x0,y0) 与焦点 F 的距离MFpx02p ，顶点到准线的（ 3）设抛物线的标准方程为 y 2 =2px(p>0) ，则抛物线的焦点到其顶点的距离为距离 p ，焦点到准线的距离为 p.22（ 4）已知过抛物线 y 2=2px(p>0)焦点的直线交抛物线于、B两点，则线段称为焦点弦，设AABA(x1,y1),B(x2,y2)，则弦长 AB = x1x2+p 或 AB2 p( 为直线 AB的倾斜角 ) ， y1 y2p2 ，sin 2x1 x2p2, AFx1p ( AF 叫做

20、焦半径 ).42五、坐标的变换：（ 1）坐标变换：在解析几何中，把坐标系的变换( 如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方向) 叫做坐标变换 . 实收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档施坐标变换时，点的位置，曲线的形状、大小、位置都不改变，仅仅只改变点的坐标与曲线的方程.（ 2）坐标轴的平移：坐标轴的方向和长度单位不改变，只改变原点的位置，这种坐标系的变换叫做坐标轴的平移，简称移轴。（ 3）坐标轴的平移公式：设平面内任意一点M，它在原坐标系 xOy 中的坐标是（ x,y) ，在新坐标系 x O y中的坐标是 ( x' , y' ) . 设新坐标系的原点O在原坐标系 xOy 中

21、的坐标是 (h,k)，则xx'h 或x'xhyy'ky'yk叫做平移 ( 或移轴 ) 公式 .（ 4）中心或顶点在(h,k)的圆锥曲线方程见下表：方程(x - h) 2+ (y - k) 2=1a2b2椭圆(x - h) 2+ (y - k) 2=1b 2a 2(x - h) 2- (y - k) 2=1a2b2双曲线(y - k) 2- (x - h) 2=1a 2b 2(y-k)2=2p(x-h)2(y-k)=-2p(x-h)抛物线(x-h) 2=2p(y-k)(x-h) 2=-2p(y-k)焦点焦线对称轴x=± a2x=h( ± c+h

22、,k)+hy=kcy=± a2x=h(h,± c+k)+ky=kcx=± a2x=h( ± c+h,k)+ky=kcy=± a2x=h(h,± c+h)+ky=kc( p +h,k)x=-p +hy=k22(-p +h,k)x= p +hy=k22(h,p +k)y=-p +kx=h22(h,-py=px=h+k)+k22六、椭圆的常用结论：1. 点 P 处的切线 PT 平分 PF1F2在点 P 处的外角 .2. PT平分 PF1F2在点 P 处的外角，则焦点在直线 PT上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点 .

23、3. 以焦点弦 PQ为直径的圆必与对应准线相离 .4. 以焦点半径 PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切 .收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档5.若 P0 ( x0 , y0 ) 在椭圆 x2y21 上，则过 P0 的椭圆的切线方程是 x0 xy0 y1.a2b2a2b26.若P0 ( x0 , y0 )在椭圆 x2y21外，则过P0作椭圆的两条切线切点为1、P2，则切点弦 P1P2 的直a2b2P线方程是 x0 xy0 y1.a2b27.椭圆 x2y21 (a 的左右焦点分别为1，F 2 ，点 P 为椭圆上任意一点F1PF2，则a2b2b 0)F椭圆的焦点角形的面积为S F1P

24、F2b2 tan .28.椭圆 x2y21（a b 0）的焦半径公式a2b2| MF1 | a ex0 , | MF2 |aex0 ( F1 (c,0) , F2 (c,0)M ( x0 , y0 ) ).9. 设过椭圆焦点 F 作直线与椭圆相交 P 、Q两点， A 为椭圆长轴上一个顶点，连结 AP 和 AQ分别交相应于焦点F 的椭圆准线于 M、 N两点，则 MFNF.10. 过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点 P、 Q, A 1 、A2 为椭圆长轴上的顶点， A1P 和 A2Q交于点 M，A2P 和 A1 Q交于点 N，则 MFNF.11. AB是椭圆 x2y21(x0, y0 )的中

25、点，则 kOMkABb2a2b2的不平行于对称轴的弦，M为 ABa2，即K ABb 2 x0 。a2 y012. 若 P0 ( x0 , y0 ) 在椭圆x2y21 内，则被 Po 所平分的中点弦的方程是x0 x y0 y x02y02；a2b2a2b2a2b2【推论】：1、若 P0 ( x0 , y0 ) 在椭圆x2y21内，则过 Po的弦中点的轨迹方程是x2y2x0x y0 y。椭圆a2b2a2b2a2b2x2y21（ ）的两个顶点为A1 ( a,0) , A2(a,0)，与y轴平行的直线交椭圆于PP时APa bo1 1a2b21、 2与 A P 交点的轨迹方程是x2y21.22a2b2收

26、集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档2、过椭圆 x2y21 (a 0, b 0) 上任一点 A( x0 , y0 ) 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,Ca2b2两点，则直线 BC有定向且 kBC b2 x0（常数） .a2 y03、若 P 为椭圆 x2y21（ ）上异于长轴端点的任一点,F1,F 2是焦点,PF1F2,a2b2a b0PF2 F1，则 actanco t.ac224、设椭圆x2y21（ ）的两个焦点为F、F ,P （异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在ab02a2b21PFF 中，记F1 PF2,PF1F2,F1 F2P，则有since .12sinsina5、若椭圆

27、x2y2（ ）的左、右焦点分别为12211F、F ，左准线为 L，则当 0ea2b2ab0时，可在椭圆上求一点P，使得 PF1 是 P 到对应准线距离 d 与 PF2 的比例中项 .6、P 为椭圆x2y21（ ）上任一点,F,F 为二焦点， A 为椭圆内一定点，则a2b2ab 0122a | AF2 | | PA | | PF1 |2a| AF1 | , 当且仅当 A, F2 , P 三点共线时，等号成立 .7、椭圆 ( xx0 )2( yy0 )21与直线 AxByC0 有公共点的充要条件是a2b2A2a 2B2b 2( Ax0By 0C)2 .8、已知椭圆 x2y2、Q为椭圆上两动点，且O

28、POQ. （1）a2b21 （ab0）， O为坐标原点， P1111224a2b2a2b22 .22a22; （2）|OP|+|OQ|的最大值为22 ; （ 3） S OPQ 的最小值是a2b|OP| |OQ|ba b9、过椭圆 x2y21（ ）的右焦点F作直线交该椭圆右支于的垂直平分a2b2ab0M,N两点，弦 MN线交 x 轴于 P，则 | PF |e .|MN |2收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档10、已知椭圆 x2y21 （ a b0） ,A、 、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x 轴a2b2B相交于点 P(x0 ,0) ,则a2b2x0a2b2.aa11、设 P 点

29、是椭圆 x2y21（a ）上异于长轴端点的任一点,F1、F2 为其焦点记a2b2b0F1 PF2，则 (1)| PF1 | PF2 |12b2.(2)S PF1F2 b2 tan .cos212、设 A、 B 是椭圆 x2y21 （ a ）的长轴两端点，P是椭圆上的一点，,a2b2b0PABPBA,BPA，c、e 分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1) | PA|2ab2 | cos |.(2)a2c2cos2tan tan12S PAB2a2b2e .(3)b2a2 cot .13、已知椭圆 x2y21 （ a b0）的右准线 l 与 x 轴相交于点 E ，过椭圆右焦点 F 的直线与椭a2b2

30、圆相交于 A、B 两点 , 点 C 在右准线 l 上，且 BCx 轴，则直线 AC经过线段 EF 的中点 .14、过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直 .15、过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直 .16、椭圆焦三角形中 , 内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e( 离心率 ). （注 : 在椭圆焦三角形中 , 非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点 . ）17、椭圆焦三角形中 , 内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.18、椭圆焦三角形中 , 半焦距必为内、外点到椭圆中心